基于产品使用率的柔性基本质保策略优化设计

苏 春， 赵家彬

(东南大学 机械工程学院，南京 211189)

质保是指制造商对所售产品在一定期限和条件下，因自身质量引起的缺陷或故障现象，向顾客提供的维修、更换、退赔等承诺[1].对顾客来说，质保可以避免在一定期限内因产品故障或未达到预期性能而导致的损失.同时，质保合同也明确了制造商应承担的有限责任，可以避免因顾客不合理的质保索赔而造成不必要的利益损害.

基本质保费用通常包含在产品售价中.质保条款设计与产品质量、售价以及制造商的预期利润等因素相关，科学的质保策略应有利于制造商和顾客的双赢.Yeh等[2]对质保期内的产品采用预防性维修，提出涵盖可靠性、生产能力、质保期和价格的集成优化模型.Park等[3]提出一种可修产品的质保成本模型，同时实施可更新最小维修-替换质保和役龄替换策略，扩展了役龄替换策略.Xie等[4]考虑产品销售过程的随机性，构建期望折扣质保成本及其方差模型，计算给定周期内累计的折扣质保成本.上述研究均针对一维质保展开，并以产品使用时间的单一维度来定义质保.对于风力机、工程机械等产品，质保条款不仅要考虑使用时间，还应考虑使用量等因素，此即二维质保或多维质保.

制造商为顾客提供维修、更换等质保服务会产生一定的服务成本.维修策略不同，维修和质保成本会存在较大的差异.Shafiee等[5]将质保决策中的维修模型分为仅考虑事后维修、同时考虑事后维修和预防性维修、质保期结束后的维修3种类型.Wu等[6]将预防性维修模型分为线性、非线性、兼有线性和非线性3种类型.Huang等[7]以顾客使用率为基础，通过优化预防性维修周期来降低质保成本.Su等[1]以役龄回退因子表征预防性维修强度，优化预防性维修的周期和强度，分阶段优化质保成本.Pan等[8]考虑改进因子与预防性维修成本、系统使用年限和学习效应之间的关系，以长期平均成本率最小为目标优化预防性维修策略.现有的质保合同及其维修策略大多是刚性的，制造商为顾客提供相同的质保合同条款，未考虑顾客个性化需求和产品使用情况的差异性.此外，故障建模很少考虑产品使用时间与使用量之间的相关性.

Moskowitz等[9]率先提出柔性二维质保概念，制造商以相同的质保成本为顾客提供差异化的质保区间.Wang等[10]分别从制造商和顾客的角度，研究二维质保政策下的最优预防性维修策略.Shahanaghi等[11]采用回归方法拟合质保成本与质保期之间的函数关系，获得柔性质保区间.Su等[12]以二手产品为研究对象，分析质量升级等可靠性增长措施对二手产品质保成本的影响，构建柔性的质量升级策略和二维质保合同.目前，尚未见到面向二维基本质保的柔性质保策略和价格设计的研究工作.

本文研究二维柔性基本质保策略的设计问题，采用Copula函数描述产品使用时间和使用量之间的相关性，建立故障和非等强度的预防性维修模型；以利润最大化为目标，分别建立产品销量和利润模型；考虑产品使用率分布，求解利润优化模型，优化基本质保期长度、维修策略和质保成本，获得产品标准的基本质保策略.在此基础上，以保证不同使用率的顾客均能享受合理的质保服务为目标，在质保成本相同的前提下设计柔性基本质保策略，为不同使用率的顾客制定具有价格差异的柔性质保策略.

1 模型构建

1.1 质保成本模型

以W(T，X)表示产品二维矩形基本质保区间，T、X分别为产品基本质保期使用时间和使用量的上限，T>0，X>0.当使用时间或使用量中的任意一个指标达到其上限时，基本质保期结束.以r表示产品的实际使用率，设r0为使用率的参照基准(r0=X/T)，则基本质保期的结束时间可以表示为

(1)

在质保期内，产品若发生故障将会产生维修、更换、维修人员差旅以及人工等成本，则质保成本为上述成本之和.考虑到差旅以及人工等费用易于统计分析，本研究主要关注维修成本及更换成本.

机电产品的故障率可以用浴盆曲线来描述.经过出厂前老化测试等过程后，在有效寿命期，产品的故障率趋于稳定.在二维质保故障建模中，产品使用时间、使用量等参数可以表示为时间的函数.设F1(t)、F2(x)分别为T和X的累积分布函数，利用Copula函数可以构造二维联合分布函数，F(t,x)=Copula(F1(t),F2(x);θ)，其中θ为Copula函数的相关系数.其概率密度函数f(t,x)和故障率函数h(t,x)分别为

在Copula函数族中，Clayton Copula函数可以描述正相关关系以及解释尾部相关对可靠性的影响，适用于系统可靠性建模[13].将不同样本在同一时刻的性能退化数据视为服从某一分布的随机变量，建立故障模型.该方法关注产品的总体属性，适用于退化趋势不明显的情况.设T、X分别服从尺度参数为α1和α2、形状参数为β1和β2的两参数Weibull分布，构造Clayton Copula函数，则联合概率分布函数为

F(t,x)=1-{exp[θ(t/α1)β1]+

exp[θ(x/α2)β2]-1}-1/θ

(4)

式中：α1>0，α2>0，β1>1，β2>1，θ∈(0,+∞).变量T和X之间的相关系数为τ=θ/(2+θ)，θ越大则相关度越高.

若直接对式(4)求二阶偏导以获得故障率的函数表达式，模型将变得十分复杂.采用边缘法，将使用量转化为产品年龄和使用率的函数，并假定同一顾客在质保期内的使用率保持不变[14].假设T(t)、X(t)分别表示在t时刻产品的累积使用时间和累积使用量.为简化模型，假设相对于正常工作时间，产品故障后的维修时间可以忽略，则有T(t)=t，X(t)=rt.那么概率分布函数为

F(t|r)=1-{exp[θ(t/α1)β1]+

exp[θ(rt/α2)β2]-1}-1/θ

(5)

则其概率密度函数和故障率函数分别为

(6)

(7)

在质保期内，若产品发生故障均采用事后最小维修加以修复.为了减小故障次数以及维修成本，对产品采取周期预防性维修.采用役龄回退因子δ(m)描述预防性维修效果，δ(m)=(1+m)e-m，0≤m≤M.其中:m为预防性维修强度；M为预防性维修强度的上限(阈值).当m=0时，δ(m)=1，无役龄回退，相当于取消此次预防性维修；当m=M时，δ(m)=0，役龄回退到上一次预防性维修结束时的水平.m=M相当于修旧如新，即更换部件或产品.当剩余质保期小于或等于预防性维修周期时，将不再执行预防性维修.令质保期内预防性维修间隔为I，总的维修次数为n，则每次预防性维修后的产品实际役龄为

ν1=ν0+Iδ(m1)

ν2=ν1+Iδ(m2)

⋮

νi=νi-1+Iδ(mi)

⋮

νn=νn-1+Iδ(mn)

其中：ν0=0为初始役龄；I=min{K,L/r}，K、L分别为使用时间和使用量维度的预防性维修间隔；νn为第n次预防性维修后产品的实际役龄.每一次预防性维修的强度mi(i=1，2，…，n)均不相同，以增加维修策略的柔性.

对两次预防性维修之间发生的故障开展最小维修，且维修时间忽略不计，则产品故障服从非齐次泊松过程(NHPP)，并且其条件故障强度等于首次故障时间的条件故障率(见式(7)).因此，需要单独估计每两次预防性维修之间的故障次数，基本质保期内预期故障次数为

(8)

(9)

1.2 销量模型

文献[15]采用对数线性函数构造销量随产品价格和质保期变动的模型.上述模型存在如下缺陷：① 仅考虑产品价格和质保期变动的影响，未考虑市场波动和随机性，适用于垄断性产品；② 仅考虑质保期对销量的影响，未考虑质保期长度与产品质量的相关性，忽略了使用过程中顾客满意度对产品销量的影响.

设市场同类竞争产品的平均价格为P0，基本质保期为W0(T0，X0)，T0、X0分别为同类产品基本质保期的平均使用时间和使用量；质保期内的故障次数和预防性维修次数分别为N0、n0，其对应的市场销量为D0.质保期内的故障次数反应了产品质量，频繁地维修会导致顾客满意度和对产品的信任度降低.以质保期内单位时间的维修次数来表征顾客满意度.综合考虑制造商产品价格、质保期以及顾客满意度对销量的影响，获得的产品销量模型为

(10)

式中：P为产品价格；b1、b2和b3分别为价格、基本质保期和顾客满意度的弹性因子，且b1>1，0

1.3 利润优化模型

制造商的利润取决于产品销量、价格以及质保成本等因素.现有的质保研究常以质保成本最小化来优化维修策略，忽略了产品价格和基本质保期的优化.以制造商利润最大化为目标，关注二维柔性基本质保期W(T，X)、质保价格Pw设计以及质保期内维修策略的优化.设产品生产成本为CM、不包含基本质保时产品的价格为Pp，获得制造商利润R的优化模型如下：

maxR=D(Pp+Pw-CM-Cw)

(11)

2 基本质保策略设计

(12)

(13)

对于使用率为r的顾客，二维基本质保区间为

(14)

(15)

按等间距在(rl,rh)范围内取得y个点r1,r2, …,rj, …,ry.求解式(12)，可以得到y+1个组合(Tj,Xj)，通过拟合可以获得等价格基本质保的柔性曲线.当允许对产品实施差异化定价时，利用相同的求解方法，制造商可以根据顾客使用率的不同得到(T,X,P,K,L,mi)的柔性基本质保菜单.

3 案例分析

设某车型平均参考售价P0为5万元，其中不包含质保成本的售价为4.6万元，制造成本CM为4万元.基本质保参考值为W0=(3 a，6×104km).设定故障强度模型中α1、α2分别为4和3，β1、β2均为3，θ=0.7.销量模型中，市场参考销量为3万辆，价格弹性因子b1=7，质保期弹性因子b2=0.6，顾客满意度弹性因子b3=0.3；维修强度m= 0, 1, …, 5，对应的预防性维修成本分别为Cp= 0、20、60、140、300和620元；事后最小维修平均成本为Cf= 250元.设顾客使用率分布服从[0.5×104，3.5×104]km/a的平均分布，其中rl=0.5×104km/a，rh=3.5×104km/a，r0=2×104km/a.

3.1 基本质保策略设计

本文重点研究基本质保期及其价格设计对制造商利润的影响，保持基本质保期和质保价格不变，在各预防性维修周期强度相同的条件下优化维修策略.不同维修优化策略的结果如表1所示.由表1可知，若不采取预防性维修，只采取事后最小维修，制造商的质保成本最高，且利润最低.显然，若以质保成本最小化为目标来优化维修策略，将无法实现制造商利润的最大化.其原因为在该策略下，产品故障和维修次数较多，销量和盈利水平下降.当m=4、K=12 m时，不同使用率顾客的Cw=1 361.34 元，高于质保成本最小化的 1 125.06 元，此时制造商可获得最大利润，即 30 125.00 万元，高于 29 292.76 万元.在后续基本质保期和质保价格设计时，将保持该维修策略不变.

表1 不同维修优化策略的结果

考虑顾客的使用率分布，利用式(11)求解，获得当制造商利润最大时，质保成本、质保定价随基本质保期的变化规律，如图1所示.由图1可知，产品制造成本及其定价均随着基本质保期的增加而增加，但价格增长速度要高于成本增长速度.因此，设定的质保期越长，单位产品给制造商带来的利润更高.由于制造商提供的质保服务通常为有限的时间段，还应该考虑单位产品在单位时间内的获利能力.

图1 不同基本质保期下，质保价格和质保成本的演变规律

图2 产品销量、利润与基本质保期的关系

保持式(11)优化结果中的质保定价及成本不变，考虑顾客使用率的差异性，优化基本质保区间，结果如图3所示.由图3可知，顾客使用率越高，对应质保区间的使用量越高、使用时间越短、质保期越短；而随着产品使用率的降低，质保期长度将增加.此外，在不同使用率区间，使用量也呈现出不同的变化规律.

图3 相同定价下柔性基本质保区间优化结果

对不同使用率的顾客提供差别化的质保和定价策略.以6个使用率区间为例进行分析，结果如表2所示.考虑到实际需求，以月为单位、对基本质保区间时间进行离散化.随着使用率的增加，基本质保策略的质保区间长度减小、质保定价降低.制造商对不同使用率的顾客制定不同的基本质保优化策略.产品使用率越高的顾客群体，制造商获得的利润越低.在该策略下，制造商可获得的期望利润为4.07×104万元，大于前两种策略的收益.

表2 差别定价柔性基本质保分析

3.2 参数灵敏度分析

模型参数对优化结果有重要的影响.针对模型中基本质保参考值、价格弹性因子、质保期弹性因子和顾客满意度弹性因子4个参数开展灵敏度分析.保持其他参数不变，改变某一参数的取值，获得优化结果的变化规律，分析参数不确定性对优化结果的影响.

图4 基本质保期的灵敏度分析

保持其他参数和维修策略不变，只改变价格弹性因子b1，获得的基本质保策略如表3所示.价格弹性因子越大，表示价格对产品销量的影响越大，不利于单位产品获得更高的利润.此时，制造商可以通过降低价格、增加销量的方式，获取更多的利润.由表3可知，基本质保期、成本以及质保定价均随价格弹性因子的增大而减小，单位产品利润不断减小，产品销量呈现出先减小后增大的趋势.此时，制造商总利润的变化规律与销量保持一致，但其最小值对应的价格弹性因子更大.

表3 价格弹性因子的灵敏度分析

保持其他参数和条件不变，改变质保期弹性因子b2的大小，获得的基本质保策略如表4所示.基本质保期弹性因子越大，表示基本质保期对产品销量的促进作用越大.由表4可知，该因子越大，基本质保策略中的质保期越长，成本和定价也会随之增加.随着该因子的增加，优化后的基本质保期、成本、定价以及单位产品利润均呈增加趋势.当该因子小于0.2时，价格上涨对销量的抑制作用大于质保期延长对销量的促进作用；当该因子大于0.2时，质保期延长对销量的促进作用大于价格上涨对销量的抑制作用.产品销量随基本质保期的增加，呈现先减小后增加的趋势.当基本质保期弹性因子为0.2时，利润与销量同时达到最小值，分别为3.29×104万元和4.79万辆.

表4 基本质保期弹性因子灵敏度分析

保持其他条件不变，只改变顾客满意度弹性因子b3，基本质保策略如表5所示.顾客满意度弹性因子越大，表示制造商需要通过调整维修策略尽可能降低质保期内的维修次数.由表5可知，b3越大，优化后的质保期越短，质保成本及其定价也随之减小.与其他两个弹性因子不同的是，产品销量与总利润呈现出增加的趋势.因此，当顾客满意度弹性因子较大时，制造商应适当缩减质保期，以免因质保期内维修次数过多对企业形象造成负面影响.

表5 顾客满意度弹性因子灵敏度分析

4 结语

考虑使用时间和使用量等二维变量的相关性，建立了质保成本优化模型，构建涵盖质保期、价格以及顾客满意度的销量模型；以制造商利润最大化为目标，优化基本质保策略.基于顾客使用率，提供3种定制化的基本质保策略，包括基本质保区间、维修策略和质保价格.研究结果表明：能实现质保成本最小的维修策略并不一定能够保证制造商利润的最大化；根据顾客使用率的差异，提供高柔性的定制化基本质保策略，可以在提高顾客满意度的同时，增加制造商利润，实现制造商与顾客的双赢.

在客户定制质保模型中，仍有一些问题值得进一步探索：① 综合考虑产品使用率和顾客风险偏好，提供多种基本质保策略供选择；② 维修策略中可考虑不定周期、不定强度的预防性维修，以提升质保策略柔性；③ 制造商对定制化产品提供柔性基本质保，根据顾客选择，柔性地设计质保服务合同.