用向量方法解立体几何的解题策略

黄诗贤

【摘要】对大多数学生来说，三维几何是很难学的，若单纯用几何方法来解决立体几何问题，他们常感到一筹莫展，无从下手。向量法为解决立体几何问题提供了一种新的途径，使几何形状与数协调统一，形成了一套相对固定的模式，具有较高的可操作性，深受学生的青睐。本文就立体几何中的向量方法的解题策略提出一些意见。

【关键词】向量法  解题策略  数学建模

【中图分类号】G633.6   【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）43-0099-03

一、向量法证明平行或垂直关系

在空间图形中，平行与垂直关系是很常见的关系，用向量方法证明，解法相对固定，容易入手。

充分挖掘图形中的垂直关系，建立空间直角坐标系，将相关直线的方向向量、相关平面的法向量求出来并进行向量运算，依据计算结果，确认相应的关系，转译并作出判断。

二、用向量法处理距离问题

立体几何中涉及的距离问题较多，如两点距离，点、线与面的距离，异面直线的距离。

用向量来处理此类问题，则思路简单，解法清晰固定。

（3）线与面的距离，异面直线的距离，可转化成点到平面的距离。

三、用向量法求空间角

立体几何中涉及的空间角有两异面直线所成的角，直线与平面所成的角，以及二面角。

解题策略：

二面角问题是高考热点，如何求二面角？有两种做法，第一种可以用几何法作出二面角的平面角求解，对一部分题目而言，能较轻松做出二面角，并求出二面角。第二种方法是用向量法求解，但要注意运算。解题时应注意以下两点：

1.求法向量时，利用向量垂直时尽可能用平行坐标轴（面）的向量，简化运算。

2.二面角是锐角还是钝角的判断，可借助几何图形直观判断，若在图形中不易看出，可根据两个半平面的法向量的方向判断。

四、向量法解立体几何中的探究性问题

立体几何中的探究性问题立意新颖，形式多变，令人耳目一新，近年来在高考中时有出现，向量法在解决此类问题扮演着举足轻重的角色，为分析和解决立体几何中的探究性问题另辟蹊径，提供了全新的视角。

1.立体几何中的条件探索型问题

基本特征：结论明确，但需探索条件或增删条件、或判断条件正误。此类问题的难点是如何“执果索因”。需注意切勿把必要条件当作充分条件，不考虑推理过程的可逆与否。

而方程③没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到P、B、C、D的距离都相等。

解题策略：

1.立体几何中存在性问题的解题策略是：假设结论成立，并进行逻辑推理，若推出与已知相符的结论，则说明假设成立，即存在。得出与已知矛盾的结论，说明假设不成立，即不存在。

2.立体几何中的结论探索型问题的解题策略是：要把所求的问题转化成我们熟悉的问题，如距离问题、角度问题、最大值与最小值问题，从条件出发，经过严密推理和计算，得到结论。

高中數学教学不仅仅是知识和技能的传授，更重要的是数学思想的熏陶以及数学核心素养的养成。数学核心素养对人的发展有着深远的影响。新课程标准要求学有价值的数学，要培养学生的数学核心素养。数学核心素养之一就是要有数学建模能力。向量法就是对立体几何问题进行数学建模，提升学生的实际应用能力，培养学生的创新意识。

参考文献：

[1]曹超，吕增峰.《例谈用向量法解立体几何教学的“误区”》，《教学导航》2014年第6期.

[2]徐皓亮.《向量法解立体几何问题的坐标系的建立》，《高中数理化》2011年23期.