拉格朗日微分中值定理纵横观

卢占化

（商丘工学院 基础部，河南 商丘 476000）

1 引言

拉格朗日定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间[a,b]内可导,可设a＜b则,则至少存在一点ξ∈(a,b),使得成立.

显然罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况,拉格朗日定理可以进一步推广为柯西中值定理.这些结论,可用于讨论泰勒展开式,洛必达法则等,它是微积分学的精华.学习及研究这部分内容,无论从理论上,还是从应用上都有重要意义.

2 若干结论

结论1 如果函数满足以下条件：

1）f(x)在闭区间[a,b]上连续；

2）f(x)在开区间(a,b)内可导.

那么,至少存在一点ξ∈(a,b)使得成立.

证明 反向分析法 作辅助函数

容易验证

即φ(a)=φ(b).应用罗尔定理,至少存在一点ξ∈(a,b),使得φ'(ξ)=0.

结论2 设函数f(x)满足的条件如结论1所述,则至少存在一点ξ∈(a,b),使得

证明 作辅助函数

容易验证

即φ(a)=φ(b).应用罗尔定理,至少存在一点ξ∈(a,b),使得φ'(ξ)=0.

结论3 函数f(x)满足结论1的条件,则至少存在一点ξ∈(a,b),

使得

证明 作辅助函数

其中c为一个常数.容易验证

即φ(a)=φ(b).应用罗尔定理,存在ξ∈(a,b),使得φ'(ξ)=0.

3 几何意义

的关键是后面的式子k(x+c),k=f(b)-f(a).事实上这样的c有无穷多

例如 记k=f(b)-f(a),c=1,c=2,可以得到如下一些平行线.

由此可以看出这样的φ(x)有无穷多.它们通过某个函数可以上下平移得到.通过这些分析,便于启发学生探讨问题,开阔学生视野,提高学生学习兴趣.