基于改进小波阈值函数的癫痫信号去噪算法*

吕 健

（江苏科技大学电子信息学院 镇江 212003）

1 引言

脑电信号（EEG）是非线性、非平稳的随机弱信号，幅度较为微弱，脑电信号的幅度一般只有50μv，最大幅度不超过100μv。通常，在检测得到的EEG 信号中包含了大量的干扰信号，例如来源于非脑部神经活动产生的生理电信号：心电信号（ECG）、眼电信号（EOG）和肌电信号（EMG），电磁场干扰引发的工频干扰伪差信号。因此，癫痫信号分析处理的首要任务是消除癫痫信号中的各类干扰信号，为接下来的癫痫诊断做准备。

小波变换是通过对信号的时间-尺度（时间-频率）进行分析的方法，拥有多分辨分析的能力和时频局部化分析的良好特性。目前小波去噪方法常见的有小波阈值去噪法、小波系数相关去噪法和基于模极大值去噪法等，但用途最广的是小波阈值去噪法。

目前，阈值去噪常用的函数为硬阈值和软阈值函数，但是硬阈值函数和软阈值函数都存在些许缺陷，硬阈值函数在小波重构信号时，信号波形容易产生震荡，而软阈值在信号重构后，信号的均方差过大。如何尽可能地去除噪声的同时保持信号重构波形不失真，确定最优小波基函数、分解层数、阈值函数和阈值选择的方法，这是研究小波阈值去噪算法的关键。因此本文构造了一种新的阈值函数，仿真实验表明本文构造的阈值函数不仅有效地克服软硬阈值函数的缺点，而且去噪效果优于已有阈值函数，拥有一定的实用价值。

2 小波阈值去噪

2.1 小波阈值去噪基本原理

包含噪声的癫痫信号可以用以下模型表示：

其中，s（n）为含噪癫痫信号，f（n）为癫痫信号，e（n）为噪声信号，n 是信号的长度，σ为噪声信号的标准方差［1］。

由于小波变换方法是线性变换，因此通过对f（n）做离散小波变换后，获得的小波系数由两部分组成，其分别对应于癫痫信号的小波系数和噪声所对应的小波系数。幅值较大的小波系数对应于癫痫信号，幅值较小的小波系数对应于噪声信号［2～3］。因此Donoho 提出了基于阈值函数的小波去噪方法，即将高频系数中较小的小波系数置为零，而保留较大的小波系数，常用的方法有硬阈值和软阈值［4～6］。在小波阈值去噪方法中，所构造的阈值函数，对小波系数的阈值量化处理一定程度上它直接决定信号去噪的效果。

小波阈值去噪法通常可以分为如下三个基本步骤［7～8］：

1）小波分解：选择最佳小波基函数，对含噪信号s（n）做j层小波分解；

2）阈值量化：选择合适的阈值准则，量化处理每层高频小波系数；

3）信号重构：根据近似系数和量化后的细节系数，重构信号。

图1 小波阈值去噪基本步骤

2.2 小波基函数的选择

小波系数的本质便是度量小波基函数与原信号相似程度。信号经小波变换后得到的小波系数越大，则表明信号与小波基函数的波形越相似；反之，则相似程度较小［9］。为了尽量凸显癫痫信号分解所得小波系数与噪声信号分解对应的小波系数之间的差异性，应尽量选择与癫痫信号的波形相似程度最好的小波基函数。经过实验对比，db4 小波基与癫痫波形相似度极高，因此本文选择db4 小波基进行小波变换。

2.3 分解尺度的选择

对癫痫信号进行小波变换时，分解尺度i 的选取也极为重要。尺度越大，则噪声和信号也将更明显表现出不同特性，越利分离信号和噪声。但与此同时，随着尺度的增大，信号重构时失真程度也越大，影响了信号去噪的性能［10］。因此，在选择分解尺度的时，要特别注意处理好两者之间的关系。

3 小波阈值函数

Donoho 提出了两种阈值函数：软阈值和硬阈值函数，这两种函数在信号去噪中得到了广泛的应用［11］。

1）硬阈值函数

硬阈值函数是将小波系数的绝对值小于或等于阈值作噪声置零处理，而保留小波系数绝对值大于阈值［12］。硬阈值函数的表达式如下式：

式中Wj，k为小波系数，λ 为选用的阈值，为经过硬阈值函数量化后的小波系数。

2）软阈值函数

软阈值函数也是将小波系数绝对值小于或等于阈值的小波系数置零，而将小波系数绝对值大于阈值的予以收缩保留［13］。软阈值函数的表达式如下：

式中，Wj，k为小波系数，λ 为选取的阈值，为经软阈值函数量化处理后的小波系数。函数sgn（Wj，k）是符号函数。

虽然软、硬阈值函数在实际中应用广泛，但是它们自身也存在一些不足：

（1）硬阈值函数可以很好地保留信号的边缘局部特性，但由于硬阈值函数在阈值λ 处存在间断点，重构的信号会产生振荡现象。

（2）软阈值函数图像连续性好，去噪信号平滑。但量化后的小波系数存在固定偏差，会丢失信号的高频信息，造成边缘模糊。

4 小波阈值选取

在小波阈值函数方法去噪的关键环节之一便是选择阈值，阈值选取的大小关系到信号去噪的最终效果。如果阈值选取的数值过小，则将在去噪后的信号中保留绝大部分噪声信号；如果阈值数值选取过大，将会去除部分有用信号，导致信号失真。因此，在小波阈值函数去噪方法中关键之一便是选取合适的阈值λ。

本文介绍以下几种常见的阈值估计准则［14］：

1）固定阈值（Sqtwolog 规则）：固定阈值的基本原理是N 个具有独立同分布的标准高斯变量中的最大值小于Th的概率随着N的增长而趋近于1。

2）Stein 无偏风险阈值规则（Rigrsure 规则）：本准则的基本原理基于Stein 的似然估计而选择自适应阈值。

3）启发式阈值规则（Heursure 规则）：启发式阈值方法是固定阈值和自适应阈值两种方法的综合，是最佳阈值选择的方法。但当信噪比过小时，这时应选用固定阈值准则。

4）极大极小准则（Minimaxi规则）：该准则也选择采用一种固定的阈值，它计算最小均方误差下的极值。

5 小波去噪的性能评价标准

为了比较不同阈值函数之间处理癫痫信号的去噪效果，本文引入了两种常用的评价指标［15］：信噪比（SNR）、均方根误差（RMSE）。

1）信噪比：信噪比通常用来作为信号去噪性能的评断标准。信噪比的单位是分贝（dB），信噪比的定义表达式为

表达式中，f(i)为原始信号，f′(i)为去噪后的信号，信噪比SNR越大，表示去噪性能越好。

2）均方根误差［16］：即原始信号与去噪后的估计信号之间的方差的平方根，其定义式为

式中，f(i) 为原始信号，f′(i) 为去噪后的信号。RMSE均方根误差越小，表示信号去噪性能越好。

6 阈值函数的改进

由上文可知，传统的软、硬阈值函数均有其自身的缺陷，因此在实际的信号去噪应用中有存在一定的局限，为此本文构造了一种改进阈值函数。

根据阈值函数的基本原理所构造出来的函数，应当满足如下条件：

1）在阈值门限处函数应连续，以避免出现伪吉布斯现象。

2）在小波系数大于阈值λ，阈值函数图像需单调且连续。

3）函数应有渐近线。经过变换操作后，可使其渐近线与y（x）=x曲线重合。

本文构造的阈值函数表达式如下：

其中0 ≤k ≤1，0 ≤α ≤1，软硬阈值函数及改进阈值函数的图像如图2所示。

图2 改进阈值函数及软硬阈值图像

本文所构造的阈值函数在定义域内，和软阈值函数拥有着相同的连续性，避免了出现由于函数不连续而出现伪吉布斯现象。随着小波系数的变大，可以明显看出阈值函数逐渐逼近于硬阈值函数图像。当k=0，本阈值函数变为软阈值函数，当k=1，阈值函数变为硬阈值函数。参数k 在（0，1）区间内可灵活选取，不仅可以减少软阈值方法中产生的恒定偏差，也可以弥补硬阈值的不连续的缺陷，可以尽量避免出现信号振荡的现象，使重构信号更平滑。当小波系数小于阈值时，调节α使新阈值函数在阈值处理时保留较小的小波系数，即保留了部分有用信号，降低重构信号时产生的均方差，去噪效果较为显著。

7 实验仿真

本文研究采用的癫痫信号数据来源于CHB-MIT 头皮脑电数据库，采样频率256Hz 分辨率为16 位。本文选用了chb04.edf 文件，采样频率256Hz，本文选择癫痫信号发生的片段中的1s 做仿真，取采样数为256，用db4小波基函数对信号进行4 层小波分解，阈值取固定阈值，在不同的分解层次取，其中j为第j 层分解层，符合噪声所对应高频小波系数随分解层数增大而减小的特征。对癫痫数据分别进行软硬阈值以及改进阈值去噪处理。

图3 原始信号图像

图4 硬阈值去噪图像

图5 软阈值去噪图像

图6 k=0.2改进阈值去噪图像

图7 k=0.4改进阈值去噪图像

图8 k=0.6改进阈值去噪图像

表1 阈值函数去噪参数

通过观察Matlab实验仿真图，我们从图中可以明显看出，经过本文所构造的阈值函数去噪处理后的信号，比常规阈值函数方法所处理的癫痫信号更为接近原始信号，更加能反映原始信号的特征信息。为了更加准确地评价去噪性能，通过计算比较去噪后癫痫信号的信噪比以及均方根误差。通过分析比较表1当中的数据，随着k值的增大，本文的阈值函数去躁后的信噪比更大，均方根误差更小，相较于软、硬阈值函数的信噪比至少提高9%，而均方根误差至少降低了19%和4%。因此本阈值函数拥有比软、硬阈值函数更好的去噪效果，适合用于处理癫痫信号。

8 结语

本文主要介绍了小波阈值去噪方法的根本原理及基础步骤，选择合适的小波基函数、小波分解层数和阈值估计规则的选取。然后分析总结了软、硬阈值函数的优劣势，针对传统的阈值函数中所存在的缺陷，本文构造了一种新型改进阈值函数，与软、硬阈值函数相比，本函数计算速度较快、连续性好且参数易于调整。在实际处理癫痫信号时，经过去噪处理后的信号，不仅去除了癫痫信号中的毛刺。此外，信噪比得到较大提升，均方根误差也相应的降低，癫痫诊断的准确性得到提高。

目前，本算法所处理的癫痫数据来源于CHB-MIT 头皮脑电数据库，并且只能进行离线癫痫数据处理。接下来的重点便是实现实时处理采集中的癫痫信号，应用到临床实验中。