转动参考系下的惯性力

王磊 张天浩

摘   要：惯性力是由于参考系本身相对于惯性参考系做加速运动所引起的力，惯性力因无施力物体而实际上并不存在，所以可以用是否存在惯性力来区别非惯性参考系和惯性参考系。在非惯性参考系中牛顿运动定律是不成立的，但在引入惯性力后，对非惯性参考系来讲，牛顿运动定律在形式上就“仍然”可以成立。在平面转动参考系中，质点可能受到了三种惯性力。将这三种惯性力引入平面转动非惯性系中，我们可以在平面转动参考系下应用牛顿运动定律来处理相关问题。

关键词：惯性力;平面转动参考系;离心力;惯性切向力;科氏力

中图分类號：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2020）11-0055-4

1    惯性力的由来

惯性是物理学中最基本的概念之一，也是学习物理学最早遇到的概念之一。由于牛顿运动定律只在惯性参考系中成立，因此在经典物理学课程中都对惯性系与非惯性系、牛顿力与惯性力加以区分。惯性力实际上并不存在，因为惯性力实际上是非惯性系下物体具有惯性而产生的力，这种力虽然能被测量和感知，但因惯性力找不到施力物体，并且当转换惯性系研究时，物体的惯性力消失，所以普遍认为惯性力是假想力、虚拟力、不存在的力。我们亦可以用惯性力的存在来判断参考系是非惯性系。该概念的提出是因为非惯性系中，牛顿运动定律并不适用。但是为了思维上的方便，可以假想在这个非惯性系中，除了相互作用所引起的力之外还受到一种由于非惯性系而引起的力——惯性力[1]。本文对转动参考系中的惯性力做一些讨论。

2    转动参考系下三种惯性力的理论推导

设平面xy（图1）以变化角速度 绕垂直于自身的轴z转动，在这个平面上取坐标系O-xy，它的原点和静止坐标系O-ζη的原点O重合， 、 分别为x轴和y轴上的单位矢量， 为z轴上的单位矢量，则 =ω [2]。P点为xy平面上一运动质点，设P点在O-xy坐标系下的位置坐标为（x，y），则P点相对坐标系O-xy的位置向量为 =x +y 。

O-xy坐标系的单位矢量 、 在静止坐标系O-ζη下对时间求导有（图2）：

= × =  =ω

= × =-  =-ω

P点相对静止坐标系O-ζη的速度 有：

= = =  +x +  +y =（ -ωy） +（ +ωx）

进一步整理可得：

=（  +  ）+（-ωy +ωx ）

其中，  为P点对转动参考系x方向的分速度，  为P点对转动参考系y方向的分速度。  =  +  ，  为P点相对于转动参考系O-xy的合速度。-ωy 为参考系O-xy相对于参考系O-ζη旋转给P点带来的x方向的牵连速度，ωx 为参考系O-xy相对于参考系O-ζη旋转给P点带来的y方向的牵连速度。  =-ωy +ωx ，  为参考系O-xy相对于参考系O-ζη旋转给P点带来的合牵连速度。有 =  +  。P点对静止坐标系O-ζη的加速度 有：

= = =（ - y- ω） +（ -ωy）ω +（ + x+ ω） +（ +ωx）（-ω ）

进一步整理可得：

=（  +  ）-ω2（x +y ）-2ω（  -  ）- （y -x ）

令 '=（  +  ）， '为质点P在转动参考系O-xy下的相对加速度;令  =ω2（x +y ）=ω2 ，  为参考系O-xy相对于参考系O-ζη旋转给P点带来的惯性离心加速度;令  =2ω（  -  ）=2 '× ，  为参考系O-xy相对于参考系O-ζη旋转给P点带来的科里奥利偏转加速度;令  = （y -x ）= × ，  为参考系O-xy相对于参考系O-ζη旋转角速度发生变化时给P点带来的切向加速度。

当我们转换以O-xy为静止参考系时有：

'= +  +  +

结合牛顿第二定律有：

m '=m +m  +m  +m

即： '= +  +  +

在转换以O-xy为参考系下研究物体的运动需要引入三个惯性力：离心力、科里奥利力和惯性切向力[3]。 为物体在转动参考系O-xy下真实受到的力，  、  、  为转动参考系O-xy为质点带来的虚拟力， '为物体在转动参考系O-xy下的实际观测力。

3    几种惯性力在物理问题中的实际应用

例1 长度分别为l1和l2的不可伸长的轻绳悬挂着质量都是m的两个小球（图3），它们处于静止状态，中间的小球m1突然受到水平方向的冲击，瞬间获得水平向右的速度v0，求此瞬间连接m2的绳上的拉力T。

解析 m1在绳l1的束缚下绕悬挂点O做圆周运动为转动参考系（图4）。在大地参考系下m1获得初速度v0瞬间，该转动参考系的角速度ω= ，转动参考系下m2在该瞬间以向左速度v2=

ω（l1+l2）绕m1做圆周运动，m2所需向心力F =m2 ，转动参考系下m2受到惯性力有惯性离心力向下F =m2ω2（l1+l2）、科里奥利力向上F =2m2ω2（l1+l2），在竖直方向上对m2应用牛顿第二定律有T-m2g-F +F =F （因只考虑竖直方向的受力，故水平方向的切向惯性力未予以考虑），代入各式可解得T=m （g+ + ）。

例2 半径为R的圆盘在水平面上以恒定的角速度ω绕其中轴逆时针旋转，其直径方向有凹槽（图5），将一质量为m的光滑小球置于转盘凹槽中间位置（即转盘圆心处）后给予微小扰动，小球沿凹槽向圆盘边缘运动（凹槽对小球有束缚作用，只能沿凹槽运动）。

问题1：求小球离开圆盘时的速度。

解析 小球离开圆盘边缘时，在切向上与圓盘边缘的速度相同，有vx=ωR，在径向上小球获得背向圆盘圆心的径向速度vy。转换以圆盘为转动参考系，小球在惯性离心力的作用下沿凹槽做离心运动，设小球加速度为a，速度为v，当小球运动至距离圆心y处时有a=ω2y，此处形成了加速度与位移成正比的特殊物理模型。因 = ，有 = ，整理可得：vdv=ω2ydy[4]，积分可得：v=ωy，所以vy=ωR。回到地面参考系，小球离开圆盘的速度为 = ωR。

通过这道题的计算还可以得出这样一个有趣的结论：做匀速圆周运动转盘上任一点的线速度与该转盘参考系下某质点由静止从转盘中心经惯性离心力加速到该点所获得的速度大小相同。

问题2：当小球距盘中心距离为r时，突然使圆盘以角加速度a匀减速转动（图6），求此时圆盘凹槽侧壁给小球的支持力N。

解析 以圆盘为参考系，小球受到惯性科里奥利力F =2mωr×ω垂直运动方向向右，由于圆盘减速旋转而给小球带来切向惯性力F =mr×α垂直运动方向向左。在竖直方向上重力和支持力平衡，小球光滑无摩擦力，侧壁对小球存在支持力N，在圆盘参考系下[3]：

垂直半径方向有：N+F =F

得：N=2mω2r-mrα

例3 某国际空间站是一个围绕其中轴旋转、半径为R的大转轮，空间站中宇航员生活于转轮的内侧边缘处，用空间站旋转带来的惯性力模拟地球引力（图7），不考虑空间站自身质量带来的引力影响。

问题1：一根长为l的细线，一端连接空间站转轴O，另一端系一质量为m的小球，小球相对实验室以速度v匀速旋转（图8），方向与空间站转动方向相反，求细线拉力T。

转动参考系下小球所需向心力F =m ，转动参考系带来的惯性离心力F =mω2l（方向背离圆心），转动参考系带来的惯性科里奥利力F =2mv×ω（方向指向圆心）。转动参考系下对小球应用牛顿第二定律有：

T+2mv×ω-mω2l=m

得：T=mω2l+m -2mv×ω

问题2：空间站以多大的角速度旋转，才能让宇航员感受到与地球相同的重力加速度g。

解 设空间站旋转角速度为ω0时，以空间站为参考系空间站边缘的离心加速度为ω  R，用该离心加速度模拟地球加速度有ω  R=g，得ω0= 。

总结：在以转动物体为参考系应用牛顿运动定律时需要引入惯性力，如果转动参考系为匀速转动，相对其静止的物体需要引入离心力，相对其运动的物体除离心力之外还需要引入科里奥利力，如果转动参考系为变速转动则还需引入惯性切向力。引入几种惯性力后，我们可以像在惯性系中一样处理转动非惯性系中的运动学问题。

参考文献：

[1]王瑞.惯性力的本质[J].物理与工程，2006（2）：62-63.

[2]王刚志，郭肖勇，吴泽华，等.电磁力与惯性力的相似性研究[J].物理与工程，2018，28（3）：84-85.

[3]江昌龙.惯性力的分类及其在解题中的应用[J].黄山学院学报，2010，12（3）：123-125.

[4]程军，韩玉龙.惯性力在质点运动问题中的运用[J].物理通报，2019（S1）：4-6.

（栏目编辑    罗琬华）