点击2020中考概率新题
2020-12-02
概率是中学数学的重要知识块,也是中考考查的热点内容。随着中考概率题考查的不断深入,概率问题的创新性、综合性也更强,出现了一些背景更丰富、考点更全面、题型更新颖、更贴近生活的概率题型。概率问题从之前的考概念、考定义、考计算,向兼顾考阅读理解、考实际应用、考综合知识的方向发展。这些都对大家的综合能力提出了更高的要求。下面我们就走入2020中考,感受概率新题型。
例1 (2020·江苏盐城)生活在数字时代的我们,会在很多场合用二维码(如图1)来表示不同的信息。类似地,可通过在矩形网格中,对每一个小方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息,例如:网格中只有一个小方格,如图2,通过涂黑色或不涂色可表示两个不同的信息。
(1)用树状图或列表格的方法,求图3可表示的不同信息的总个数:(图中标号1、2表示两个不同位置的小方格,下同)
(2)图4为2×2的网格图,它可表示的不同信息的总个数为____;
(3)某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”,准备在证件的右下角采用n×n的网格图来表示各人身份信息,若该汶师生共492人,则n的最小值为____。
【分析】(1)(2)两问,我们根据题意画出树状图求解,属于常规题,但也是第(3)司的伏笔;(3)由题意根据(1)(2)得到规律,即可求出n的值。
解:
(1)画树状图如下:
共有4种等可能结果,所以图3可表示的不同信息的总个数为4。
(2)画树状图如下:
共有16种等可能结果,因此2×2的网格图可表示的不同信息的总个数为16。
(3)由图1,得当n=1时,2′=2,
由图4,得当n=2时,22×22=16,
所以当n=3时,23×23×23=512,
因为16<492<512,所以n的最小值为3。
【点评】此题以当下流行的二维码为问题背景,设计了一道求概率与找规律相结合的题目,在考查列表法、树状图法求概率的同时考查了同学们的推理能力。列表法或画树状图法可以不重复、不遗漏地列出所有等可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件。
例2 (2020·湖北荆门)如图是某商场第二季度某品牌运动服装的S号、M号、L号、XL号、XXL号销售情况的扇形统计图和条形统计图。
根据图中信息解答下列问题:
(1)求XL号、XXL号运动服装销量的百分比:
(2)补全条形统计图;
(3)按照M号、XL号运动服装的销量比,从M号、XL号运动服装中分别取出x件、y件。若再取2件XL号运动服装,将它们放在一起,现从这(x+y+2)件运动服装中,随机取出1件,取得M号运动服装的概率为3/5,求x、y的值。
【分析】(1)由M号的销售量及其所占百分比求出运动服装总销量,再求出XXL号运动服装销量的百分比,根据各组所占百分比的和为单位1求出XL号运动服装销量的百分比;
(2)用运动服装总销量分别乘S号、L号、XL号所占的百分比,得到对应服装销量,即可补全条形统计图;
(3)由销量比,得x=2y,再结合概率的意义列出方程组,解方程组求解。
解:(1)抽取的总数为60÷30%=200(件),
XXL号的百分比为20/200×100%=10%,XL号的百分比为1-25%-30%-20%-10%=15%。
故XL号、XXL号运动服装销量的百分比分别为15%、10%;
(2)根据题意,得
S号服装销量为200×25%=50(件),L号服装销量为200×20%=40(件),XL号服装销量为200×15%=30(件),条形统计图补充如下:
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图和利用统计图获取信息的能力。我们在利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断。结合题意,利用概率公式列方程组解决问题,体现了综合运用知识的能力。
例3 (2020·四川攀枝花)刘雨泽和黎昕两位同学玩抽数字游戏。五张卡片上分别写有2、4、6、8、x这五个数字,其中两张卡片上的数字是相同的。从中随机抽出一张,已知P(抽到数字4的卡片)=2/5。
(1)求这五张卡片上的数字的众数。
(2)若刘雨泽已抽走一张数字2的卡片,黎昕准备从剩余4张卡片中抽出一张。
①所剩的4张卡片上数字的中位数与原来5张卡片上数字的中位数是否相同?请简要说明理由。
②黎昕先随机抽出一张卡片后放回,之后又随机抽出一张,用列表法(或树状图)求黎昕两次都抽到数字4的概率。
【分析】(1)根据抽到数字4的卡片的
概率为2/5可得x值,从而可得众数。
(2)①分别求出前后两次的中位数即可;②画出树状图,再根据概率公式求解即可。
解:(1)因为2、4、6、8、x这五个数字中,P(抽到数字4的卡片)=2/5,
则数字4的卡片有2张,即x=4,所以五个数字分别为2、4、4、6、8,则众数为4。
(2)①不同。理由是:原来五个数字的中位数为4,抽走数字2后,剩余数字为4、4、6、8,则中位数为4+6/2=5,所以前后两次的中位数不一样。
②根据题意画树状图如下:
可得共有16种等可能的结果,其中两次都抽到数字4的情况有4种,
所以P(黎昕兩次都抽到数字4)=4/16=1/4。
【点评】本题考查中位数、众数的概念及求法,以及用列表法或树状图法求概率。解题的关键也是理解题意,注意细节,分清放回与不放回的区别,综合运用所学知识解决问题。