“数形结合”探秘绝对值

张文珠

著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休。”对绝对值的探究过程，“数轴”充当了桥梁的作用。绝对值借助数轴来表达，充分体现了数学中“数形结合”的思想精髓。接下来，让我们开始一场绝对值的探秘之旅。

一、整装待发——理解绝对值的几何意义

数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。

“数a的绝对值”记作| a |，几何意义为数轴上表示数a 的点与原点的距离。

例1 如图1，| -3|的几何意义为数轴上表示-3的点与原点的距离。

二、脚踏实地——探秘任务一：两数差的绝对值

“两数差的绝对值”记作| a - b（| a、b是常数），几何意义为数轴上表示数a 和数b 的两个点之间的距离。

例2 如图2，| 5 - 2|表示5与2的差的绝对值，实际上可以理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离;由计算可得| 5 - 2|=3;由数轴可得5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是3，所以| 5 - 2|=3。

如图3，| 5 + 2|即| 5 -（-2）|，表示5与-2的差的绝对值，实际上可以理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离。由计算可得| 5 + 2|=7;由数轴可得5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是7，所以| 5 + 2|=7。

经验升级：用数学语言表示“两数差的绝对值”，两数之间要用运算符号“-”号连接，若遇到两数之间用“+”号连接，需要转化为“-”号。

三、登高望远——探秘任务二：两距离之和的最小值

“两距离之和”记作| x - a |+| x - b（| x是未知数，a、b 是常数），可以理解为数轴上表示x 的点（动点）分别与表示a、b 的点（定点）之间的距离之和。

例3 求| x + 1|+| x - 5|的最小值。

【解析】原式写成两数差的绝对值为| x -（-1）|+| x - 5|，可以理解为数轴上表示x的点（动点）分别与表示-1、5的点（定点）之间的距离之和。因为x 的不确定性，可以利用数轴画出表示-1、5的两个定点，然后分类讨论如下：

1. 表示数x 的点在表示-1的点左侧，两距离长如图4所示：

2. 表示数x 的点在表示-1和5的两点之间（包括两点），两距离长如图5所示：

3. 表示数x 的点在表示5的点右侧，两距离长如图6所示：

由图可知，当数轴上表示数x 的点位于表示数-1 和5（包括-1 和5）两点之间时，| x + 1|+| x - 5|取得最小值，最小值就是表示数-1和5两点之间的距离（| -1）- 5|=6（见“探秘任务一”所得结论）。所以| x + 1| +| x - 5|的最小值是6。

经验升级：求两距离之和的最小值，首先将原式写成两数差的绝对值;其次理解式子的几何意义，借助数轴画出定点;最后利用数形结合对动点的不同位置分类讨论，得出最短距离和即为所求最小值。

四、手摘星辰——探秘任务三：多个距离之和最小值

“多个距离之和”记作| x - a1 |+ | x - a2 |+…+| x - a | n（x 是未知数，a1、a2、……、an是常数），可以理解为数轴上表示x 的点（动点）分别与表示a1、a2、……、an的点（定点）之间的距离之和。

例4 求| x - 1| +| x + 2| +| x - 3|的最小值。

【解析】原式写成两数差的绝对值为| x - 1| +| x -（-2）| +| x - 3|，可以理解为数轴上表示x 的点（动点）分别与表示1、-2、3的点（定点）之间的距离之和。如图7，因为x 的不确定性，可以利用数轴画出表示1、-2、3的三个定点，然后分类讨论，可得：当x=1 时，| x - 1|+| x + 2|+| x - 3|的最小值是5。

例5 求| x - 1| + | x + 2| + | x - 3| +| x + 4|的最小值。

【解析】数形结合分类讨论后，如图8从数轴上可以看出最小值就是表示数-2和1两点之间的距离与表示数-4和3两点之间的距离之和，记作| -2 - 1| +| -4 - 3|=10。所以，当x在-2与1之间（包括-2和1）时，| x - 1| +| x + 2|+| x - 3|+| x + 4|的最小值是10。

經验升级：若数轴上有奇数个定点，则当动点在最中间的定点时，原式有最小值，再借助数轴求出最小值;若数轴上有偶数个定点，则当动点在最中间两个定点之间（包括这两点）时，原式有最小值，再借助数轴求出最小值。