计数原理易错归类解析

■江西省萍乡中学 毛乐萍

加法原理和乘法原理是处理计数问题的两种基本思想方法。对两个原理理解不透、分类或分步不当而导致的重复遗漏、考虑问题不全等是常见的错误，下面举例剖析。

一、对两个原理理解不透

例 1三台机器加工四个不同的零件，则不同的加工方法有____种。

错解：4×4×4=43。

错因：对“完成一件事”理解不到位，导致“谁选谁”错误，按此解法，来看一下完成情况。设机器为甲、乙、丙，零件为a，b，c，d，按机器甲、乙、丙加工的顺序，会出现a、a、a的情况，即三台机器都加工a，故“没有完成这件事”。

正解：零件选机器，3×3×3×3=34。

二、分步“有序”导致的重复

例 2为抗击新冠肺炎疫情，我市某医院从3名呼吸内科医生、4名急诊重症科医生和5名护士中选派5人组成一个抗击疫情医疗小组，则呼吸内科与急诊重症科医生都至少有一人的选派方法种数是____。

错解：先从呼吸内科与急诊重症科医生中各选一个，然后从剩下的选3个，即·。

错因：这是利用乘法原理解排列组合的典型错误，分步隐含“有序”，但结果无序，来看错解可能出现的结果。设内科医生为A1，A2，A3，急诊医生为B1，B2，B3，B4，护士为a，b，c，d，e，第一步可能选到A2，第二步可能选到B1，第三步可能选到a，b，A3，即选派结果为A2，B1，a，b，A3。但也有可能第一步选到A3，第二步选到B1，第三步选到a，b，A2，即选派结果为A3，B1，a，b，A2，与前面的结果其实是同一结果，这就是分步“有序”导致的重复。

正解：若选出呼吸内科医生、急诊重症科医生、护士分别是1、1、3名，则有120（种）；同理，选出呼吸内科医生、急诊重症科医生、护士还有1、2、2名；2、1、2名，2、2、1名；1、3、1名；3、1、1名，以及0名护士，共6种情况，故总数为。

三、分步步骤不合理导致的重复或遗漏

图1

例 3某学校将一块长方形空地分成如图1所示的八块，计划在这八块空地上种花。已知空地1、8上已经种了a花，其余空地需从A、B、C、D、E这5种花中选择若干种进行种植，要求每块空地只种一种花，且有公共顶点的两块空地种的花不能相同，则不同的种植方案有____种。

错解：按2→3→4→5→6→7的顺序种植，共有5×4×4×4×2×1=640（种）方法。

错因：没有考虑当2和4相同时第7块有2种方法。

正解：先考虑中间“田”字格的种植方案，共有=120（种），两边剩余的每块空地的种植方案的种数均为=3，所以不同的种植方案有120×3×3=1080（种）。

四、限制条件多而考虑不周

例 46个人排队，其中甲和乙不相邻，丙和乙相邻，则不同的排法一共有____种。

错解：第一步，先将甲和其余3人排，共有=24（种）排法，第二步，再排乙，与甲不相邻，利用插空法，有=3（种）排法，第三步，丙与甲相邻，只能排在前面或后面，有=2（种），则一共有24×3×2=144（种）。

错因：由于限制条件多，考虑不周，遗漏了丙在甲乙之间的情形。

正解1：把错解中的结果作为第一类，有144种排法。第二类，先将甲和其余三个排好，共有=24（种），再将丙排在甲和乙之间，有=2（种），故共有24×2=48（种）。综上可知，不同的排法共有144+48=192（种）。

正解2：利用间接法，第一步，先满足丙和乙相邻，利用捆绑法，共有第二步，满足第一步的条件下甲和乙相邻的情形，有丙乙甲、甲乙丙两种情况，共有2×=48（种）。所以满足题意的结果为240-48=192（种）。限制条件多时利用间接法是不错的选择。

五、分组与隔板模型的错误

元素不同的分配问题一般先分组，元素相同的分配问题一般用隔板法，但要注意题目中的限制条件。

例 55个实习教师分配到3个班参加活动，每班至少1人，有几种不同的分法？

错解1：把5个实习老师排成一排，中间4个位置放3块挡板，即0|0|00|0，共有=4（种）不同方法。

错因：5个教师是互不相同的，而用隔板法时要求这些元素必须相同。若把问题改为：把5个名额分配给3个班，每班至少1人，有几种不同的分法？答案就是=4。

错解2：第一步先选3个教师分到3个班，有=24（种）方法，再将剩余两个随便排，有3×3=9（种），故共有24×9=216（种）。

错因：与例2相同，有重复排法。

正解：把5位实习老师分成3组，有两类：1、1、3和1、2、2，分别有种，再分到三个班里，则满足题意的分法共有。