2020 年高考“命题及关系、充分必要条件”经典问题聚焦

■江苏省镇江中学 蒋景景

2020年高考数学对“命题及关系、充分必要条件”的考查，主要以“空间位置关系的判断、函数单调性、三角函数、不等式、向量、数列”等知识点为背景，考查命题的真假判断，充分条件、必要条件的判断，题目难度中等，以选择题和填空题为主。

聚焦1——含简单的逻辑联结词的命题的真假判断

例 1（2020年高考全国Ⅱ卷文理16）现有下列四个命题：

p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内。

p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面。

p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行。

p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则直线m⊥直线l。

则下述命题中所有真命题的序号是____。

①p1∧p4；②p1∧p2；③ ¬p2∨p3；④¬p3∨¬p4。

解析：借助空间位置关系，先对每个命题判断真假后再判断复合命题的真假。对于命题p1，可设l1与l2相交，这两条直线确定的平面为α；若l3与l1相交，则交点A在平面α内，同理l3与l2的交点B也在平面α内，所以AB⊂α，即l3⊂α，命题p1为真命题；对于命题p2，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题p2为假命题；对于命题p3，空间中两条直线的关系有相交、平行或异面，命题p3为假命题；对于命题p4，若直线m⊥平面α，则m垂直于平面α内所有直线，因为直线l⊂平面α，所以直线m⊥直线l，命题p4为真命题。

综上可知，p1∧p4为真命题，p1∧p2为假命题，¬p2∨p3为真命题，¬p3∨¬p4为真命题。故答案为：①③④。

品味：判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例。当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假。本题考查了空间点、线、面位置关系的判断，考查复合命题真假的判断，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养。解题关键是正确理解空间点、线、面的位置关系，理解或命题、且命题、非命题的含义。

聚焦2——充分必要条件与函数性质的交汇

例 2（2020年高考上海卷16）命题p：若存在a∈R且a≠0，对任意的x∈R，均有f（x+a）＜f（x）+f（a）恒成立。已知命题q1：f（x）单调递减，且f（x）＞0恒成立；命题q2：f（x）单调递增，存在x0＜0使得f（x0）=0。则下列说法正确的是（ ）。

A.q1、q2都是p的充分条件

B.只有q1是p的充分条件

C.只有q2是p的充分条件

D.q1、q2都不是p的充分条件

解析1：q1：当a＞0，f（a）＞0，因为函数f（x）单调递减，所以f（x+a）＜f（x）＜f（x）+f（a），即f（x+a）＜f（x）+f（a），所以存在a＞0，当满足命题q1时，使命题p成立。

q2：当a=x0＜0时，f（a）=0，因为函数f（x）单调递增，所以f（x+a）＜f（x）=f（x）+f（a），即f（x+a）＜f（x）+f（a），所以存在a＜0，当满足命题q2时，命题p成立。

综上可知，命题q1、q2都是命题p的充分条件。故选A。

解析2：本题要看清楚一个函数具有性质p的条件是，存在a∈R且a≠0，则对于q1，a＞0时，易得函数f（x）具有性质p。

对于q2，只需取a=x0，则x+a=x+x0＜x，f（a）=f（x0）=0，所以f（x+a）=f（x+x0）＜f（x）=f（x）+f（a），所以此时函数f（x）具有性质p。

品味：本题给出新定义函数的性质，再判断另外两个函数与新定义函数之间的关系，涉及全称量词和特称量词、充分条件与必要条件定义，以及逻辑推理，判断充分条件与必要条件时应注意：首先弄清条件p和结论q分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试p⇒q，q⇒p。还可利用原命题和逆否命题的等价性进行判断。

聚焦3——充分必要条件与空间位置关系的交汇

例 3（2020年高考浙江卷6）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ）。

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：依题意m，n，l是空间不过同一点的三条直线，当m，n，l在同一平面时，可能m∥n∥l，故不能得出m，n，l两两相交。

当m，n，l两两相交时，设m∩n=A，m∩l=B，n∩l=C，根据公理2可知m，n确定一个平面α，而B∈m⊂α，C∈l⊂α，根据公理1可知，直线BC即l⊂α，所以m，n，l在同一平面。

综上所述，“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的必要不充分条件。故选B。

品味：本题考查了空间点、线、面位置关系的判断，考查充分条件、必要条件及充要条件的判断，凸显数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养。解题的关键是正确理解空间点、线、面的位置关系，理解充分条件、必要条件及充要条件的定义。