探寻处理计数应用问题的新视角

■江苏省锡东高级中学 张 清

所谓计数应用问题就是利用分类、分步计数原理，结合排列、组合等相关知识解决“完成一项任务共有多少种方法”这类问题。计数应用问题是每年高考常考的重点、热点内容之一。此类问题用到的背景知识本身并不难，难就难在处理此类问题的视角上。通过对今年全国各地的高考模拟题的研究，现归纳、总结、探寻出处理计数应用问题的一些新视角，供大家参考，希望能对高考备考提供帮助。

新视角1：注重本质——按需分类、按序分步

例 1（1）（2020年南京模拟）五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为____；五名学生争夺四项比赛的冠军（冠军不并列），则获得冠军的可能性有____种。

（2）我们把中间位数上的数字最大，而两边依次减小的多位数称为“凸数”，如132，341等，那么由1，2，3，4，5可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是____。

解析：（1）五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可对五名学生落实（即“人选项目”），每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法；五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实（即“项目选人”），每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性。

（2）根据“凸数”的特征，中间位数上的数字只能是3，4，5，故分三类：①当中间数字为“3”时，此时“凸数”有132，231，共有2个；②当中间数字为“4”时，则百位数字有2种选择，个位数字有3种选择，则“凸数”有2×3=6（个）；③当中间数字为“5”时，则百位数字有3种选择，个位数字有4种选择，则“凸数”有4×3=12（个）。根据分类加法计数原理，共有2+6+12=20（个）。

点评：按事件特点选择分类标准，分类时要注意不重不漏；依据特定条件进行分步时，应分清是“元素选位置”还是“位置选元素”（如题（1））；若综合运用两个计数原理，一般是先分类，再分步（如题（2））。

新视角2：紧扣特殊——优先考虑特殊元素、特殊位置、特殊要求

例 2（1）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成____个没有重复数字的四位偶数。

（2）（2020年盐城模拟）某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方法共有____种。

解析：（1）因为0不能在首位，所以0是特殊元素，首位是特殊位置。又因为要组成的数是偶数，则个位必须为偶数，所以个位为特殊位置。依据特殊元素优先考虑，可按取到0和未取到0两种情况分类。①若取到0，先在2，4，6中选两个数，然后将其中一个偶数放到个位上，再在1，3，5，7，9中选两个数，最后将除去个位的数字的剩下3个数排到十位、百位、千位上，共（个）；②若未取到0，当0在个位时，则共有当0不在个位时，则共有根据分类计数原理，共有360+180+120=660（个）。

（2）依据题意按特殊要求“节目甲必须排在前三位”进行分类，对特殊要求“节目丙、丁必须排在一起”优先考虑。①甲排在第一位，则丙、丁相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列安排在其他三个位置，有=6（种）安排方法，则此时有4×2×6=48（种）编排方法；②甲排在第二位，则丙、丁相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列安排在其他三个位置，有A33=6（种）安排方法，则此时有3×2×6=36（种）编排方法；③甲排在第三位，则丙、丁相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列安排在其他三个位置，有=6（种）安排方法，则此时有3×2×6=36（种）编排方法。根据分类计数原理，共有48+36+36=120（种）。

点评：对于有特殊元素、特殊位置、特殊要求，优先考虑是解决这类问题的切入点，也是寻求分类的依据（如题（2）以节目甲的位置作为分类标准）；若一个问题中有多个特殊对象及要求，则可通过不断的尝试权衡优先的顺序，顺序不同对解题难易也是有很大的影响（如题（1）首位和个位均为特殊位置，权衡之后应选择先个位后首位）。

新视角3：抓住分配——先分堆再分配，先组合再排列

例 3（2020年山东四校模拟）安排5名学生去3个社区进行志愿服务，要求每人只去一个社区，每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有（ ）。

A.360种 B.300种

C.150种 D.125种

解析：第一步，现将5名学生分成3堆，有两种分组方法，若分成3、1、1三堆，则有=10（种）分堆方法；若分成2、2、1三堆，则有=15（种）分堆方法；第二步，将分好的三堆分配到3个社区，共A33=6（种）方法。根据分步计数原理，共有（10+15）×6=150（种）。

点评：虽然此类综合问题可通过详细分类解决，但从“先分堆再分配”的视角更易切入，更加高效，具有一定的推广价值；注意分堆无序，分配有序，平均分堆需倍缩（除序）。

新视角4：正难则反——直接法与间接法并举

例 4（1）从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有____种。

（2）（2020年济南模拟）用0，1，…，9十个数字可以组成有重复数字的三位数的个数为____。

（3）5人排成一排，若甲与乙相邻，且甲与丙不相邻，则不同的排法有____种。

解析：（1）直接法：分类：①只有1位女生入选，共有·=12（种）不同选法；②有2位女生入选，共有·=4（种）不同选法。根据分类计数原理，共有12+4=16（种）。

（2）直接考虑过于复杂，间接法：所有三位数有9×10×10=900（个），无重复数字的三位数有9×9×8=648（个），所以有重复数字的三位数有900-648=252（个）。

（3）直接法：依据特殊要求“甲与乙相邻”，对捆绑后的甲乙（或乙甲）位置进行详细分类。分别是：①甲乙×××；②×甲乙××；③××甲乙×；④×××甲乙；⑤乙甲×××；⑥×乙甲××；⑦××乙甲×；⑧×××乙甲。其中①和⑧均有=6（种）；②到⑦均有所以共有6×2+4×6=36（种）。

点评：受限计数应用问题处理策略主要有直接法和间接法。直接法主要是正面入手，通常以受限条件为依据实施分类讨论；间接法主要从反面入手，当正面考虑比较烦琐甚至是难以下手时，可先考虑不受限制的所有情况，再剔除不合要求的情况（如题（2）、（3））。

解决计数应用问题就是要选取合适的思考角度厘清题意，从而解决问题。而本文介绍的四种新视角就是想帮助大家找到合适的分类和合理的分步，借助所学知识切实有效地解决问题。行文至此，仅以一句话共勉：学习就是一个不断总结，不断提升的过程，知识常学常新，多思考、多归类、多总结永远是学习的制胜法宝。