最短路径问题的变式与探究

袁玉晓 张丽

最短路径问题是初中数学学习过程中较为常见的问题，本节内容是对“将军饮马”问题进行变式设计，开展对“最短路径问题”的课题研究，从中让学生体会转化思想在解决实际问题中的重要作用.

一、建立模型

以课本中的将军饮马问题（如图1）为基础，教师提出问题，启发学生思考，将实际问题转化为数学问题，将草地、家两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线，这个问题是从草地出发到河边饮马再回到家（如图2），也就是线段AC、BC的和.到河边饮马的地点有多个，设点C是直线l上的一个动点，上面的问题就转化为C在直线l什么位置时AC+BC的值最小.

以将军饮马问题为基础，启发学生思考，理解题意，画出图形，并将实际问题转化为数学问题，以便于更好地解决问题.

二、解决问题

如图3，如果B地位于河对岸，如何在直线l上找到一点C，使线段AC与CB的和最小？学生会很自然地想到“两点之间线段最短”，连接AB与直线l的交点即为所求.这个问题大部分学生都能掌握，如何迁移到我们刚才的问题呢？

受到启发，学生会将新旧知识产生联想，想到用“两点之间线段最短”去解决，若把曲线转化为直线，那么两条线段的和不就最小了吗？接下来让学生自主探究、合作交流，与教师的适当点拨相结合，展示分析过程.根据线段垂直平分线的性质和轴对称，学生會想到只要做出点B关于直线l的对称点B′，就满足了BC等于B′C，再用问题 图5一的方法，连接AB′，线段与直线l的交点就是我们要求做的点，如图5所示.

学生对于最短路径问题无从下手，通过以上解决问题的方法进行总结，运用轴对称的性质，将“同侧”难以解决的问题，转化为“异侧”容易解决的问题，学生体会转化的数学思想，起到突破难点的作用.

让学生回顾总结，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟数学转化思想，明确解题的方法与策略，为后面进一步的学习探究做准备.

三、运用新知

如果题目中再多一个动点呢，要找到MN两点的位置使路径最短，也就是三条不在同一条直线上的线段转化到一条直线上，学生会想到分别做A的对称点，连接两对称点，从而得到了两点的位置和最短的路径.此题由一个动点上升到两个动点，对学生提出了更高的要求和挑战，但是符合学生的认知规律.

四、拓展新知

想一想：如图，如果从A地出发，到一条平直的河边a的某一地方饮马，然后沿着河边行走一定的路程，再来到B地，如何在河边找到一点可使所走的路线全程最短？

引导学生分析行走一定的路程的含义，再提出如下问题：

（1）要使所走的路线全程最短，实际上是使几条线段之和最短？

（2）如何将实际问题转化为“两点之间，线段最短”的数学问题.

在“将军饮马问题”的背景下进行改编，有造桥选址问题的影子，培养学生的应用意识、创新意识，让学生的能力得到进一步锻炼与提高.

问题教学是启发学生思维的源泉和动力.以问题为核心的教学，是通过引导学生分析问题、解决问题，培养学生思维能力的重要方式，通过设置有层次性、灵活性的问题，调动学生探索的积极性.数学问题的解决，环环相扣，之间有着密切的联系.因此，学生学习要善于观察、发现、总结知识之间的联系，把新知识与旧知识进行融合，转化问题和解决问题是深度学习最核心的特征，学生要根据已有经验，在相似的问题情境中举一反三，才能够更好地理解问题、转化问题、解决问题.