例析用不等式组解决生活中的方案设计问题

林秋霞

[摘 要]一元一次不等式是初中数学的重要内容，也是中考数学重要的考点，其在解决生活中的方案设计问题中有诸多应用.结合例题，归类分析应用不等式组解决生活中的方案设计问题的方法，以巩固学生的不等式组知识，使学生体验数学的应用价值，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力.

[关键词]不等式组;方案设计;生活

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2020）32-0026-02

一元一次不等式是指只含有一个未知数，且未知项的次数是1的不等式，由两个或多个一元一次不等式可组成一元一次不等式组.一元一次不等式组在解决生活中的方案设计问题中有诸多应用.生活中的方案设计问题包括购车方案设计，停车车位方案设计，采购木板加工方案设计，货物运输中运费最低方案设计，等等.在解决这类问题时，可根据实际情况，列不等式组求出未知数的取值范围，然后再取不等式组的非负整数解，从而形成多种可实施的方案，在若干个方案中选择最优方案.

一、购车方案的确定

环保问题越来越成为人们关注的焦点，各大城市的公交车都在进行升级换代，把原来污染严重的燃油车换成节能环保的电动汽车.已知两种节能环保车的年载客量，在不超过一定购车费用，且两种环保车的年运客量不能低于原来的年运客量，公交公司该如何购车最省钱？通过建立一元一次不等式组可以解决这类购车问题.

[例1]南阳市市政公司要购买10辆节能环保车，包括W型和U型两种，如果用400万元能购买1辆W型公交车和2辆U型公交车，用600万元能购买3辆W型公交车和2辆U型公交车.

（1）一辆W型公交车的单价是多少万元？一辆U型公交车呢？

（2）W型公交车和U型公交车的车运客量不同，分别为60万人次和100万人次.如果用不多于1200万元的费用购进10辆这两种公交车，总运客量也不能低于680万人次，有哪些方案可供选择？

（3）要使购车的费用最少，应选用哪种方案？

评注：本题是方程组的应用与不等式组应用的综合类试题，在方程组应用里求出的数据会在不等式组应用里使用，确定最佳方案也是比较前面确定的几种方案，所以它们是环环相扣的三步，计算过程不能出错，否则一步错，步步错.

二、运输方案的确定

货物运输包括原料采购与产品输出，运输方式在陆地上主要是指铁路与公路，已知公路与铁路的运输单价，公路与铁路的运输里程，如何算铁路总运费与公路总运费，确定原料采购与产品输出的方案呢？需要建立一元一次不等式组，在不等式组的解集里寻找非负整数解.

[例2]如图1，兴发农产品加工厂与A，B两地的公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批原料甲运回工厂，经过加工后制成产品乙运往B地，其中原料甲和产品乙的重量都是正整数.铁路运价为2元/（吨·千米），公路运价为8元/（吨·千米）.

（1）若由A到B的两次运输中，原料甲比产品乙多9吨，工厂计划支出铁路运费超过5700元，公路运费不超过9680元，问购买原料甲有哪几种方案，分别是多少吨？

（2）在（1）中的基础上，由于国家出台惠农政策，对运输农产品的车辆免收高速通行费，并给予一定的财政补贴，综合惠农政策后公路运输价格下降[m（0

评注：本题在建立不等式组与方程组时，要综合运进与运出两条路线的情况，关于铁路运输费既包括原料采购时的铁路运输费，也包括产品输出时的铁路运输费;公路运输费也是一样的，既包括原料采购时的公路运输费，也包括产品输出时的公路运输费.

三、建造方案的确定

随着中国城市化进程的进一步加快，人口越来越向城市集中，由于私家车的几何式增长，停车问题成了小区建设越来越突出的问题，为了提高土地的利用率，小区会建造地上和地下两种停车位，已知新建的停车位总数一定，修建一个地上和地下停车位的单价也已经知道，如何根据手头的资金设计建造方案呢？也需要应用一元一次不等式组加以解决.

[例3]金水社区由于近期业主购置了许多新车，出现了停车难的现象，社区委员会将建停车位60个，已知用1.7万元可以建地上停车位2个和地下停车位3个，用1.4万元可以建地上停车位4个和地下停车位2个.

（1）建地上停车位1个的费用是多少元？地下停车位呢？

（2）如果金水社区准备用于建停车位的资金在14万元与15万元之间，那么共有几种方案可供选择？

（3）花费最少的方案是什么？

評注：第（2）小题根据题意建立的连续不等式，实际上也是一个不等式组，解答时可以拆分为两个不等式分别解答，也是根据不等式性质直接解答.在第（2）小题结果正确的基础上，解答第（3）小题也可以使用观察法，因为地下车位投资多，所以地下车位建造得越少会越省钱.

在一元一次不等式组的应用过程中，一般只设一个未知数，另一个未知量用所设未知数的代数式表示，根据题意中的两个不等式关系，列出两个不等式组成不等式组，然后取不等式组的非负整数解，非负整数解的个数就是符合题意的方案数.通过应用一元一次不等式组解决实际问题，不仅巩固了学生解不等式组的知识，也使学生体验了数学的应用价值，提高了应用数学知识解决实际问题的能力.

（责任编辑 陈 昕）