利用三角形外接圆判断三角形解的个数

王振安

【摘 要】 在学习正弦定理时遇到一个问题，即“已知三角形的两边及其中一边的对角，三角形的解可能不唯一”，而判断解的个数的方法很多，老师讲解得也很清楚，但实际观察发现学生掌握得并不好。为此，从学生认知的最近发展区着想，利用正弦定理和三角形外接圆判断是一种容易理解且操作简单的方法，教学过程中效果很好。

【关键词】 正弦定理;外接圆;最近发展区

我们在学习正弦定理时会遇到这样一类问题“已知三角形的两边及其一边的对角，判断三角形解的个数”。解决此类题一般有两种思路：

思路1：利用下图中的规律。

思路2：利用余弦定理。

學习过程中我们发现，实际情况是学生听得懂，但时间长了，方法就忘记了，原因是对于学生来说，方法很突然，并不理解为什么要那样做，脱离了他们的最近发展区。而这种问题因为知道对边、对角，所以学生很容易想起正弦定理比值是其外接圆的直径，也会联想到同弦所对的圆周角相等，因此我们可以利用画外接圆解决。现以如下问题及其变式进行说明：

根据以上讨论，可以利用图形直观判断所有“已知三角形的两边及其一边的对角，判断三角形解的个数”的问题。

【参考文献】

[1]徐庆惠. 对一道圆内接正三角形问题的解法探究[J]. 数学教学， 2015（4）：31-32.

[2]康字.一般三角形内相关外接圆的有趣结论[J]. 数学通讯：教师阅读，2011（03）：41-43.