绕组分段永磁直线同步电机预设性能滑模反推控制

李大盼

(江南大学 物联网工程学院，无锡 214122)

0 引 言

近年来，直线电机在传送系统中得到了广泛的应用。相比于传统的旋转电机，直线电机没有将旋转运动转换成直线运动的中间装置[1]，比如丝杆和齿轮，减少了机械损耗，并且拥有传统直线运动系统难以比拟的高精度，同时还有高效率、低噪声和机构简单、功率密度大等诸多优点[2]。相比于直线感应电机，永磁同步直线电机(以下简称PMLSM)效率更高、功率密度更大[3]，因此在高品质直线运动系统中得到广泛应用。根据PMLSM本体结构，可以分为长初级PMLSM和长次级PMLSM，长次级永磁同步直线电机一般用履带链供电，供电电缆需要跟随动子运动，这无疑会限制电机最大速度，降低电机加减速性能，并且对系统的可靠性产生不利影响[4]。绕组分段永磁直线同步电机(以下简称WS-PMLSM)由于其初级绕组分段的特点，解决了传统长初级绕组由于初级绕组过长引起的供电电压高、电阻及电感过大、电磁损耗大等问题[5]。从原理上讲，WS-PMLSM将较长的PMLSM的初级分成若干段段的小直线电机，在驱动电机时，只需对与次级耦合的小电机进行驱动，克服了长初级PMLSM电阻、电感较大的缺点，可以降低驱动系统压力，并且电机运行效率也可以得到提升。但定子绕组运行时参数是时变、不确定的，例如温度变化对电阻的影响，三相不平衡，轨道结构等[6]，特别是次级滑块同时与两段定子绕组耦合的过度阶段，由于WS-PMLSM特殊的定子绕组分段结构，定子绕组的磁通、电感都随次级滑块位置变化，不考虑定子铁心饱和的情况下，动子从一段定子移除的过程中，电感的大小与耦合面积成正关系，变化率约为25%，磁链与耦合面积近似成正比[1]，所以，在WS-PMLSM的控制系统设计中，应该着重考虑电机模型参数变化对控制系统的影响，针对这种情况，传统的PI控制难以取得良好的控制效果。

反推控制已经在PMLSM控制中得到了广泛的应用，该方法可以对PMLSM完全解耦，另一方面，根据反推控制设计的控制系统具有全局稳定性[7]，但传统反推控制需要被控对象精准的模型信息，并且无法适应参数随时间的变化。为了提升传统反推控制的鲁棒性，自适应[8-9]、滑模[10-11]等方法被引入到反推控制中，用于处理被控对象参数不确定性和系统的非线性，并取得了较好的控制效果。文献[5]提出了自适应反推方法，通过设计自适应率来估计控制对象参数变化，用于消除参数不确定性对控制系统带来的影响。但它没有考虑微分环节所带来的微分膨胀问题，所设计的控制器计算量过大，限制了其实际应用；另外，该方法无法确保系统稳定的快速性。

本文将预设性能引入自适应反推控制，并引入受限指令滤波，解决输入受限和微分膨胀问题。预设性能考虑超调量和调节时间等瞬态性能，能够保证跟踪误差在一定时间内收敛到预设区域内。本文设计的控制器优点在于：1) 中间控制变量没有微分环节，消除微分膨胀；2) 运用预设性能方法，在保证系统稳定的基础上考虑系统的瞬态性能，使收敛速度更快，引入滑模变结构方法，增强了鲁棒性；3) 受限指令滤波限制了虚拟控制信号的幅值和变化速率，满足系统对状态变量和控制信号的约束，增强了实用性。最后，通过仿真实验证明所设计控制器的有效性。

1 WS-PMLSM的数学模型

次级滑块运动到初级线圈的过程中，次级滑块磁场对初级绕组磁场产生影响。随着耦合面积的增加，初级线圈的磁路磁阻、自感和互感和励磁电动势的幅值呈现上升趋势。当次级滑块完全运动到初级绕组上方(磁路完全耦合)，初级线圈的磁路磁阻、自感和互感和励磁电动势的幅值保持稳定，不再发生变化。而在次级滑块退出初级绕组的过程中，随着耦合面积的减小，初级线圈的磁路磁阻、自感和互感和励磁电动势的幅值呈现下降趋势[13-14]。

WS-PMLSM每段小电机从本身物理特性来讲是一个PMLSM，其数学模型也与PMLSM相同，但由于WS-PMLSM特殊的绕组分段结构，在动子从一段绕组过渡到另一段绕组的过程中，动子对绕组模型产生影响，电机磁链和电感随动子位置变化而变化，由于电机的电感和磁链为动子位置的函数，将其分别用Ls(x)和ψf(x)表示，如图1所示。

图1 WS-PMLSM结构图

WS-PMLSM单段初级绕组在d,q轴同步旋转坐标系下电压方程：

(1)

式中：ud,uq是d,q坐标系下的定子电压；id,iq是d,q坐标系下的定子电流；Rs为相电阻；τ为极距；v为动子速度。

第n段初级绕组产生的电磁推力：

(2)

初级绕组整体产生的电磁推力：

(3)

次级滑块同时与两个初级绕组耦合的过渡阶段，两段绕组同时对次级滑块产生电磁推力，对两绕组施加大小相等、相位相同的电流，两段初级绕组可以等效为一个初级绕组，保证在过渡阶段电磁推力不发生变化。

WS-PMLSM的动力学模型：

(4)

式中：TL是负载力；M是运动部分的总质量；B是摩擦系数。

2 预设性能滑模反推控制器设计

WS-PMLSM模型具有非线性特征，并且模型参数不确定，传统的PI控制不能很好地适应这种情况，为了获得精确的速度控制，本文设计了预设性能自适应反推控制器。

2.1 限幅值指令滤波

反推控制需要对虚拟控制量进行逐级求导，会出现微分膨胀问题[12]，同时考虑到实际应用中执行器饱和的问题。本文用限幅指令滤波替代微分环节，解决了微分膨胀和控制器饱和问题。其状态空间模型的方程：

(5)

图2 限幅值指令滤波结构

本文以WS-PMLSM速度作为跟踪目标，q轴电流作为虚拟控制量，定义追踪误差：

e1=v(t)-vc(t)

ed=id

(6)

从图2可以看出，其可以不通过微分求导环节得到输入信号的微分，但滤波器不可避免地产生误差，该误差可能会对控制效果带来不利影响。为了消除这种影响，对跟踪误差进行补偿：

(7)

式中：η为指令滤波误差。

设计指令滤波补偿信号：

(8)

2.2 预设性能函数与误差变换

为了获得预先设定的控制性能，提出预设性能函数，系统速度的跟踪误差被限制在预设性能函数内。预设性能函数的定义如下：

本文选择预设性能函数:

ρ(t)=(ρ0-ρ)e-lt+ρ

(9)

式中：ρ0,ρ和l均正数。

(10)

为了将约束条件转化为等式形式，在动态性能函数中引入转换函数，将式(10)转化：

(11)

式中：ε(t)为转换误差；L(·)为光滑且严格递增的函数，另外，L(·)应满足一下性质：

(12)

(13)

定义一个满足上述条件的函数：

(14)

将式(11)，式(12)代入式(14)可得：

(15)

对ε(t)求导可得：

(16)

将式(7)代入式(16)可得：

(17)

2.3 预设性能自适应反推控制器设计

对系统进行如下限定：

限定2：输入受限和状态受限的幅度和速率已知。

Step 1:选择李雅普诺夫函数：

(18)

对V1求导可得：

(19)

选择：

(20)

由式(19)、式(20)可以得到：

(21)

式中：k1为大于零的设计参数。

Step 2：为了增强系统动态性能，q轴电流环引入滑模变结构方法。设计滑模面：

式中：a为正的常数；n>m>0。

设计滑模面的趋近律：

(22)

式中：k2,τ均为大于零的常数。

(23)

对V2求导可得：

(24)

选择：

(25)

(26)

式中：k3为大于零的常数。

将式(25)、式(26)代入式(24)可得：

(27)

做稳定性分析：

(28)

V2[e1(t),e2(t),e3(t)]

(29)

(30)

由于实际系统中误差e1,eq,ed是有界的，所以W(t)有界，根据Barbalat’s定理，W(t)是连续一致的，可以得到：

当t→时，e1,eq,ed收敛到零，系统稳定。

3 仿真研究

本文搭建了一个如图3所示的仿真系统，用于验证所设计方法的有效性。系统仿真实验中WS-PMLSM参数如表1所示，限幅值指令滤波器的各项参数如表2所示。

表1 WS-PMLSM参数

表2 限幅值指令滤波器参数

图3 系统控制框图

为了获得良好的控制效果，控制器参数设计：k=100,k1=k2=k3=8000；自适应参数设计：γ1=40000,γ2=60 000,γ3=7 500。预设性能函数设计：ρ(t)=(1-0.005)e-90t+0.005。

通过对比PI控制和预设性能滑模反推控制(以下简称PPSC)的控制效果，验证所设计控制器的有效性和抗干扰性。在PI控制中，为了使WS-PMLSM获得快速的动态性能和超调的静态性能，使用试凑法确定PI各环节的参数。仿真中，为了检验控制方法对外部干扰的鲁棒性，在t=0.3 s时刻加入突变量，将电机负载Tl由10 N突变至100 N。

仿真结果如图4～图8所示。可以看出，电机刚起动时，误差较大，在控制系统的调控下，补偿误差迅速减小，并且最终收敛到零。在整个过程中，补偿误差没有超出预设性能区间，满足预先对控制系统设定的性能指标。图4为PPSC和传统PI控制电机速度对比。图6为两种控制方法误差对比，对比两种跟踪效果，PPSC超调量更小，当系统达到稳定时，PPSC没有静差。在系统受到外部干扰时，PPSC受到扰动影响，出现最大速度误差比PI控制最大速度误差小，并且能够快速修复外部扰动对控制系统的影响，使系统快速达到稳定状态，跟踪误差快速下降到零，这表明PPSC对外部扰动具有良好的鲁棒性，并且具有更好的动态性能。在电机实际运行过程中，外界对电机的扰动是不可预知的，例如电机负载质量变化，为了验证所设计方法对这类外部扰动的鲁棒性，将电机动子指令设为原来的3倍即3M。图7为正常动子质量和动子质量为3M时系统补偿误差对比。从图7中可以看出，当动子质量增加到原来的3倍时，系统起动后，补偿误差仍然迅速减小，并且最终收敛到零，在整个过程中，补偿误差没有超出预设性能区间，满足预先对控制系统设定的性能指标。图8为电机滑块质量为3M时，两种控制方法的速度对比图。可以看出，在电机参数发生变化时，PPSC能够很好地跟踪速度指令，超调量较小，并且速度误差可以收敛到零。当系统受到外部扰动时，PPSC对外部扰动具有良好的鲁棒性，能够迅速达到新的稳定状态，使跟踪误差收敛到零。因此,当WS-PMLSM无法获得或者无法精确获得时，本文设计的PPSC也能够获得良好的跟踪效果，具有重要的应用价值。

图4 补偿误差

图5 速度对比

图6 误差对比

图7 3M补偿误差

图8 3M速度对比

4 结 语

本文设计一种基于预设性能的指令滤波滑模变结构反推控制器(PPSC)，用于处理WS-PMLSM参数不确定性和系统非线性问题。基于李雅普诺夫稳定性理论设计了反推控制器，为了解决反推控制器中的微分膨胀问题，设计了指令滤波器代替微分环节。引入指令滤波器不可避免地产生指令滤波误差，为了避免该误差对控制效果带来不利影响，对指令滤波器的误差进行了处理。为了增强系统的鲁棒性，引入了滑模变结构方法，并且引入了预设性能方法以优化系统的动态和静态性能。最后通过仿真实验，针对WS-PMLSM控制，验证了所设计的PPSC控制器具比传统PI控制器有更好的跟踪性能，其动态性能和静态性能都优与传统的PI控制器，并且具有较好的鲁棒性，验证了所设计控制器的有效性和优越性。