聚焦直线方程与圆的方程中的数学思想

■吴 函

直线与圆是高中数学的重要内容之一，在直线与圆的解题中蕴含着重要的数学思想，如函数与方程思想、分类讨论思想、化归与转化思想等。下面例析直线与圆中的数学思想的具体应用。

一、函数与方程思想

例1过点P(2，1)作直线l，分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B，当PA·PB取得最小值时，求直线l的方程。

解：显然直线的斜率存在且k＜0，设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k＜0)。令y=0，得。令x=0，得B(0，1-2k)。所以PA·PB==当且仅当k=-1时取等号。所以直线l的方程为x+y-3=0。

点评：先根据条件设出直线的方程，再根据题目条件建立PA·PB的目标函数，最后利用二次函数求出该函数的最小值，从而解决问题。

二、分类讨论思想

例2讨论直线l：3x+4y+m=0与圆C：x2+y2-2x=O的位置关系。

解：先求得圆C的圆心为C(1，0)和半径r=1，再求得圆心C到直线l的距离d=，最后按d＜r，d=r，d＞r三种情况讨论直线与圆相交、相切、相离时m的取值范围。

点评：对含有参数的数学问题进行求解时，要注意运用分类讨论的数学思想，分类要正确、严密，做到不重、不漏。

三、转化与化归思想

例3已知m∈R，直线l：mx-(m2+1)y=4m和圆C：x2+y2-8x+4y+16=0。

(1)求直线l斜率的取值范围。

(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧? 为什么?

解：(1)直线l的方程可化为(x-4)，斜率，即km2-m+k=0。当k=0 时，m=0；当k≠0 时，由Δ≥0，得1-4k2≥0，即。

综上可得k的取值范围是。

(2)不能。由(1)知l的方程为y=k(x-4)，其中。圆C的圆心为C(4，-2)，半径r=2，圆心C到直线l的距离，由，得1，故。 从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦对应的圆心角小于120°，所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段弧。

点评：本题中利用圆的几何性质，把弧的长度比转化为角度的范围，体现了转化与化归思想。