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也来说一说极坐标系与参数方程的题型与解题策略

2020-11-24■李

关键词:极坐标坐标系轨迹

■李 刚

坐标系与参数方程是数学选修4-4的内容,是不分文理的选考内容,与不等式内容相比,选做坐标系与参数方程的考生历年来都偏多。高三复习备考应强化互化(消参),突出应用,突破用“极”“直”还是“参”,以及何时用效果更好。下面就对极坐标与参数方程的题型和解题策略进行介绍,希望对同学们的学习能有所帮助。

一、典型例题分析

(2019全国Ⅱ卷理22 题)在极坐标系中,O为极点,点M(ρ0,θ0),ρ0>0在曲线C:ρ=4sinθ上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为点P。

(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求点P轨迹的极坐标方程。

方法一:使用极坐标方法。

解:(1)因为点M(ρ0,θ0)在C上,当θ0=时,ρ0=4sin。由已知得。设Q(ρ,θ)为l上除P外的任意一点,在Rt△OPQ中,ρcos(θ-)=|OP|=2,经检验,点P在曲线上。所 以l的极坐标方程为=2。

(2)设P(ρ,θ),在Rt△OAP中,|OP|=|OA|cosθ=4cosθ,即ρ=4cosθ。因为点P在线段OM上,且AP⊥OM,故θ的取值范围是。所以,点P轨迹的极坐标方程为ρ=4cosθ,θ∈。

方法二:使用参数方程处理。

解:(1)略。

(2)设OM的方程为为参数,又,所以设P(x,y),则

所以ρcosθ=4cosθcosθ或ρsinθ=4cosθsinθ,即ρ=4cosθ,θ∈。

二、实战训练

在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系。曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ,M为曲线C1上异于极点的动点,点P在射线OM上,且成等比数列。求点P的轨迹C2的直角坐标方程。

解:因为成等比数列,所以。

方法一:由普通方程消参方法解决。

设P(x,y),M(x0,y0),由题意得,即点P的轨迹方程为y=5。

方法二:应用直线参数方程的几何意义解答。

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