一题多解，培养核心素养

刘兵华

本文以2020年全国I卷理数17题为例，通过多角度的思考与深层的挖掘，渗透数学思想，进而培养学生的核心素养。

一、试题及分析

题目（2020年全国I卷理17）设{a，}是公比不为1的等比数列，a，为a，a的等差中项。

（1）求{a，}的公比;

（2）若a=1，求數列{na，}的前n项和。

点评：（1）主要考查等差中项及等比数列概念，属于基础概念题;（2）主要考查“等差x等比”型数列求和问题，综合性较强，对学生的数学运算能力要求较高。解决这种题型的关键是将其转化为可利用公式求和的数列。笔者尝试从学生最熟悉的方法人手，层层深挖、适当点拨，多角度进行一题多解，以此开阔学生视野、发展思维，培养学生数学核心素养。

二、解法探究及模型建立

解析（1）由题意可知：2a=a，+a3，即2a=a;9+a，q

因为a≠0，故q+q-2=0，解得q=-2或q=1（舍）。

（2）此时a，=a，q"'=（-2）"，记数列{na，}的前n项和为Sn。

下面，从不同角度探究第（2）问解法。

解法一：错位相减法。

在解决“等差x等比”型数列求和时，由于有推导等比数列的前n项和作铺垫，错位相减是我们解决此类问题最常规的方法。这种方法的灵魂在于“错位”，故书写的格式非常重要，同时“错位”也能很轻松地解决作差后的项数问题。

模型建立：设{a，}，{b，}分别是等差数列和等比数列，它们的通项公式分别为a，=an+b，

b，=q”-‘（q#1），求数列{a。.b，}的前n项和Sn。

解法二：分组求和。

在教完错位相减法后，我鼓励同学们用其他方法解决此类问题。后来有同学提出这种解法。利用分组求和的方法将陌生形式转化为可求和的等比数列，体现了数学分类讨论和化归的思想，同时也锻炼了学生的数学运算能力。

解法三：裂项相消法。

对于等比数列b，=b.qn”-'（q#1），我们可以将其列项等到b。=（b，-bl），也就是说等比数列可以采用列项的方式求和。那么对于“等差x等比”型数列是否也可以采用这种方法呢？可以由特例人手观察系数特点，2”=2"+1-2"，从而探索出用待定系数法进行列项。

解法四：导数法。

数列作为一种特殊的函数，它与函数存在诸多共性。在求等差数列前n项和的最值时我们可以借助二次函数的图象与性质，在解决这个问题的时候，可先让学生观察其式子特点，从而联系函数求导后存在形式类似之处。由此培养学生的数学抽象和逻辑推理能力，提高核心素养。

三、反思总结

“等差x等比”型数列是高中数学数列求和的一种重要题型，也是高考数列题的常考点，解法

是最直接的常规解法，将数列转化为可直接求和的等比数列，体现了数学的化归思想，需要学生有良好的建模素养。解法三通过裂项相消来求和其实学生也不陌生，但对于这种数列求和则是一种大胆的尝试，需要学生有良好的运算和分析能力。解法四运用函数思想来研究数列，体现了数学知识的整体性。

通过一题多解让学生从学会做一道题成长到解决一类题，进而达到让学生能够自己探究和提出问题的层面。在解题中思维得到锻炼，数学素养得以提升。

【参考文献】

徐学军：《从错位相减法到裂项相消法》，《中学数学教学》2014年第1期。