考虑顾客缺货反应的多产品两阶段JIT联合订货

张柯慧，杨华龙，辛禹辰，刘清奇

(大连海事大学交通运输工程学院，辽宁 大连 116026)

1 引言

在消费品零售行业实践中，出于库存资源等限制，缺货情况在零售商品联合订货中不可避免地存在着[1]。随着商品购买渠道的丰富及商品同质化竞争的加剧，顾客在购买决策中常常占据主导地位，而且当顾客在发现意向商品缺货时，通常会做出以下三种反应：一是放弃购买；二是延期购买；三是购买替代品。顾客对待缺货的不同反应对商品及其替代品需求都会产生很大的影响。当零售商销售多种产品时，其决策可能会受到多种资源约束条件的限制，如资金预算的约束、仓库容量的约束等，忽略资源约束条件会产生非可行解[2]。因此，综合考虑顾客缺货反应(Customer Response to Stock-out，CRS)和资源约束条件下的联合库存决策已成为零售商面临的一项关键决策问题。

Gruen等[3]调查了不同种类产品的CRS情况，通过分析调查报告数据，深入研究了缺货对顾客购买行为的影响，提出零售商要根据产品缺货时顾客的三种反应做出适当的库存订货决策。然而部分文献认为缺货只会给零售商带来危害，假设顾客遇到缺货时只会选择放弃购买，认为在订货模型中设定缺货惩罚成本即可[4]。若顾客选择延迟购买，则决策者根据延迟购买成本对收益的影响程度对各产品最大的延迟购买水平进行决策[5]。CRS中最为复杂的顾客反应是购买替代品的情况，即若打算购买的原产品缺货时，顾客可能会购买另一种具有相似特性的产品。由于购买替代品将会导致替代品间的需求发生变化，从而对零售商联合库存订货决策产生很大的影响。因此，顾客购买替代品时的零售商联合库存订货问题已受到越来越广泛的关注[6-7]。Shin等[8]整理了1974-2013年基于缺货情况替代的文献，发现了零售商的目标是通过优化每种产品的库存水平来实现利润最大化。Gürler和Yilmaz[9]研究有双向替代关系的两种产品的库存协同问题。Huang Di等[10]进一步在竞争性报贩模型下，研究存在部分替代品的多产品单周期联合订货问题，并在算例中举出两种产品的情况。但这些研究都忽略了资源受限的情况，且没有考虑替代上限。在现实市场环境中，零售商可用的库存资源(如货架空间、资金等)通常是有限的，认识到考虑CRS能提高零售商货架空间分配的重要性，Gilland和Heese[11]进一步在只考虑了两种产品动态替代的情况下，研究了零售商如何在货架空间有限环境下优化分配替代品货架资源问题。另外，价格也是影响顾客购买决策的关键因素，Diels等[12]考虑了促销活动的推动作用，构建了考虑CRS的零售商联合订货模型。在此基础上，Peinkofer等[13]进一步研究了在线零售环境下价格促销对CRS的影响。

通常情况下，消费品零售商的库存资源都是有限的，设置安全库存又阻碍着零售商补充货源的能力。因此，对于销售周期明显的产品，为了克服库存资源的限制，制定两阶段或多阶段决策是零售商的可选策略之一。Braglia等[14]采用自由分布法来规避缺乏完全信息的情况，将产品订货分成两个阶段：第一阶段所有产品一起订货，第二阶段针对一些特殊产品进行再订货。Tsai Pochien和Huang Jiayen[15]提出采用两阶段订货策略，先根据预测或假设检验等方法获得初始订货量，再通过支撑向量机方法调整再订货量。随着准时制(Just in time，JIT)理念的逐渐成熟，供应商和零售商也愿意接受在一定供应合同下的JIT库存控制策略[16]。尤其是在缺货时，顾客的替代需求也是基于替代品的现有存货情况而改变的，因此，零售商在联合订货时需要考虑JIT库存策略。然而由于零售行业中商品种类繁多，现有文献在联合订货问题研究中大都仅考虑资源紧缺和CRS情况，却很少考虑JIT策略。由此，一方面忽视了产品与其替代品之间需求的依赖关系，出现替代品缺货的情况；另一方面又可能出现其它产品库存剩余，导致资源浪费的情况。此外，由于不同类别产品CRS对库存订货问题的牛鞭效应影响不同。因此，针对不同类别的产品应采用不同的库存决策方法[17]，但现有研究大都仅考虑缺货产品及其替代品一组产品的联合库存订货问题，忽视了CRS在产品类别和品牌之间的差异性。

鉴于此，本文在现有研究的基础上，综合考虑CRS及资源限制对订货决策的影响，从以下两方面进行扩展研究：一是依据JIT库存策略，提出资源限制条件下两阶段订货时均采取JIT库存策略的联合订货决策；二是借助CRS规律，将产品组由一组扩展至多组，提出考虑CRS的多产品两阶段JIT联合订货决策，以期实现零售商资源的合理利用及其收益的最大化。

2 问题描述

由图1可见，在资源限制的条件下，零售商首先需将一个销售周期划分为两个订货阶段进行多产品联合订货。其次，根据顾客在缺货时购买替代品的情况，将联合订货的产品按相互替代性划分为多组。然后，利用JIT库存准则并依据CRS三种反应的比例系数，确定每个阶段最优的订货量，以使收益最大化。

图1 两阶段CRS流程

根据前面的问题描述，为了便于构建模型，本文做以下假设：(1)两次订货的提前期均为零；(2)替代情况只在一种产品缺货，其替代品有多余存货时发生，且替代品多余的存货可以全部替代缺货产品；(3)为保证服务水平，本周期各种产品的两阶段订购量大于最低服务水平a要求的订货量。

3 模型构建

3.1 符号及定义

Wmi表示第m组中产品i每单位产品所占资源；

W表示零售商资源的上限；

Umi表示供应商第m组中产品i的供应上限；

Lmi表示供应商第m组中产品i的供应下限；

U表示供应商对所有产品一次订购批量的供应上限；

L表示供应商对所有产品一次订购批量的供应下限；

G表示每次固定订货成本；

K表示产品固定仓储费(也可以是共同承担的店面成本或库存维持成本)

a表示顾客服务水平的下限；

Smi表示第m组中产品i缺货时其同组产品的替代比例上限；

3.2 订货决策模型

由问题描述可知，在第1阶段第m组中产品i(i∈Am)满足顾客原始需求的销售量为：

(1)

产品i(i∈Am)的缺货量为：

(2)

(3)

(4)

(5)

在第1阶段结束时，根据JIT库存策略，第m组中产品i(i∈Am)没有剩余。

在第2阶段，第m组中产品i(i∈Am)满足顾客原始需求的销售量为：

(6)

第m组中产品i的缺货量为：

(7)

对于有替代关系第m组中产品i和产品j：

(8)

(9)

(10)

由于期末不会有剩余产品，因此，本周期零售商的总成本为：

(11)

于是，可构建如下考虑CRS的多产品两阶段JIT联合订货决策模型(M1)：

目标函数

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

∀m∈{1,…,M},∀i,j∈{nm-1+1,…,nm}

(26)

∀m∈{1,…,M},∀i,j∈{nm-1+1,…,nm}

(27)

(28)

(29)

目标函数式(12)表示零售商两阶段联合订货的总收益最大化；约束条件式(13)和式(14)分别表示第1阶段和第2阶段联合订货时要满足零售商的资源限制；约束式(15)表示每种产品第1阶段的总订货量不能超过在第1阶段的需求量与其他替代品缺货时最多能替代的数量，这样就能保证第一阶段结束时每种产品都没有剩余库存；约束式(16)和式(17)表示供应商设定的每种产品最低和最高订购数量条件；约束式(18)和式(19)表示供应商设定的所有产品一次订购的最低和最高数量条件；约束式(20)表示在第1阶段和第2阶段的订货量，加上在两个阶段其缺货时被同组其他产品的替代量，或减去在两个阶段其不缺货时替代同组其他缺货产品的替代量不大于每种产品的需求；约束式(21)表示周期内两个阶段的原产品需求满足率(服务水平)不能低于a；约束式(22)和式(23)表示第1阶段产品满足顾客原始需求的销售量约束；约束式(24)和式(25)表示第2阶段产品满足顾客原始需求的销售量约束；约束式(26)和式(27)分别表示第1阶段和第2阶段每种产品缺货时的替代率关系，其中，同组其他产品的替代率之和不能超过该产品的替代率上限；约束式(28)表示每种产品第2阶段的订货量必须满足在第1阶段缺货时，选择延迟购买到货的顾客需求，且不能超过延迟购买量与第2阶段需求量以及在同组其他产品缺货时最多能替代的数量之和；约束式(29)表示变量取值均为非负。

4 算法设计

联合订货(Joint Replenishment Problem，JRP)问题属于NP完全问题[19]，本文构建的考虑CRS的多产品两阶段JIT联合订货模型，是JRP模型在JIT库存策略和多组替代产品方面的扩展，模型M1目标函数和约束条件中均含有决策变量的分段函数和非线性项，因而难以得出解析最优解[20]。由于帝国主义竞争算法(Imperialist Competitive Algorithm，ICA)在非线性优化问题求解方面具有收敛速度快、收敛精度高和较强的全局收敛性等特点，且在计算时间方面通常比其他基于群体的元启发式更好[21]。近年来在JRP领域，ICA已得到了广泛的关注和应用[22]。但ICA存在陷入局部最优解的可能[23]，为此，本文根据模型M1的特点，在初始解生成和殖民地国家革命方式方面，对ICA算法加以改进以便快速地获取近似最优解，具体步骤如下：

步骤2计算每个初始解(国家)所对应的模型M1目标函数值，按目标函数值fn(n∈{1,…,Npop})从大到小顺序，以一定的比例从初始国家群体中选出Nimp个作为初始帝国主义国家群体，剩余的(Npop-Nimp)个群体作为殖民地国家群体。

步骤3根据帝国主义国家的势力(目标函数值)大小划分殖民地。每个帝国的殖民地国家个数按照式(30)计算：

(30)

步骤4对每一个帝国主义国家，将其占领的殖民地国家进行同化，即被其占领的每个殖民地国家，按照给定的同化系数β(β>1)和偏移方向γ，向其所属帝国主义国家移动。图2显示了一个殖民地国家向所属帝国主义国家移动的情形：

图2 殖民地向帝国主义国家移动

步骤6选择最弱的帝国中最弱的殖民地作为帝国竞争的对象，势力越大的帝国越有可能占有该殖民地。但为了避免陷入局部最优，通过引入帝国竞争殖民地国家的实际概率，使得最弱的殖民地国家转移到占有殖民地国家实际概率最大的帝国中，而未必转移到势力最大的帝国中[24]。具体过程如下：

(31)

(32)

接下来，由均匀分布U(0,1)生成每个帝国占有殖民地国家的偏离概率rn：

rn～U(0,1)n∈{1,…,Nimp}

(33)

(34)

此时，将最弱的帝国中最弱的殖民地并入到实际概率最大的帝国中。筛查所有帝国，将没有殖民地的帝国移除，使其变为殖民地。将迭代数累加一次。

步骤7判断是否达到迭代上限：若未达到，则转到步骤4；若达到，则迭代结束，得到近似最优解，算法终止。

5 数值分析

为了验证模型和算法的有效性，本文首先从文献[3]的研究报告中选取9组产品(注：该报告中每组产品的种类数量均为2)，结合该研究报告中各组产品缺货下顾客选择延迟购买、放弃购买和购买替代产品等美国和世界平均水平的CRS数据，得到可以两两相互替代18种产品的CRS数据emi和Smi。其次参照文献[20]，给定各产品的所占库容数据Wmi。然后，在假定利用以往的销售数据分析预测得到各产品需求数据Dmi的基础上，依据两阶段JIT联合订货策略实际，设定各产品订货量的上下限、在第1阶段的集中系数、产品进价和售价等数据，如表1所示：

表1 模型参数数据

为了验证模型在不同分组规模下的适用性，本文将实验按产品数量分成3个规模，分别为：规模1含有前6种产品，规模2含前有12种产品，规模3含有全部18种产品。不同规模联合订货的资源限制和成本情况如表2所示：

表2 不同规模问题的库容和成本数据

顾客服务水平a取值为0.7，ICA主要参数取值如下：Npop=200，Nimp=30，β=2，γ=π/4，(β和γ的最佳拟合值分别为2和π/4)最大迭代次数为400，革命的概率为0.6。所有的测试问题都在具有3.10 GHz CPU和4 Gig RAM的Intel G3240处理器的个人计算机上解决。此外，所有算法都使用MATLAB R2016b软件进行编码。在给定的每个规模问题中，通过ICA来确定满足收益最大化的所有产品两阶段联合订货量。对于每个规模问题，运行15次，选取最优的运行结果作为近似最优解。

此外，为了验证本文设计的改进ICA算法的有效性，这里将其同遗传算法(GA)作对比，GA关键参数设置参照ICA相关参数设置，种群数量为200，迭代次数为400，交叉率为0.6，变异率为0.05，复制率为0.15。得到近似最优解的质量与CPU运行时间如表3所示：

表3 改进ICA与GA的CPU时间与最优解的质量对比

由表3可以看出，在3种规模算例数据下，本文设计的改进ICA方法的CPU运行时间都较短，可以满足实际需要。而且其CPU运行时间和求解质量均优于GA方法，且随着问题规模的增加，采用改进的ICA算法，求得解的质量优势愈加显著。

在规模1下，最优订货决策结果如表4所示；在规模2下，最优订货决策结果如表5所示；在规模3下，最优订货决策结果如表6所示：

表4 规模1下的最优订货决策

表5 规模2下的最优订货决策

表6 规模3下的最优订货决策结果

从表4-表6中可以看出，在3种规模下，产品1和产品3在两阶段存在缺货，且存在顾客延迟到购买和由替代品替代的情况，其中产品3的替代率两阶段都达到了最大；在后2种规模下，产品7和8在两阶段都存在缺货，且存在顾客延迟购买的情况，但都没有替代情况出现；产品9只在规模2下的第1阶段存在缺货，且存在顾客延迟购买和以最大替代率被替代品替代的情况；在规模3下，产品13、14、15在两阶段都存在缺货，产品13和产品15存在顾客延迟购买的情况，且只有产品15存在由替代品替代的情况；其中产品3的替代率在每次缺货时都达到了最大替代；产品7和8在两阶段都存在缺货。这表明，虽然在不同规模下，零售商联合库存的订货量决策结果略有差别，但顾客对缺货产品的延迟购买和替代规律基本一致。此外，由上述δmi计算结果可知，存在缺货替代情况的都是由单位资源机会收益高的产品替代收益低的产品，如产品2替代产品1，产品4替代产品3等。这是由于，在零售商联合订货决策中，为了实现收益最大化的目标，即使可能导致低收益产品失去部分销售机会，而同组产品间只能出现由高收益产品单向替代低收益产品的决策结果。

若零售商不考虑CRS进行多产品两阶段JIT联合订货，即假定顾客在遇到缺货时放弃购买，则该问题可转换为一个背包问题进行求解。在3种规模下，考虑与不考虑CRS时的联合订货决策收益结果对比如表7所示：

表7 考虑与不考虑CRS的收益

由表7的收益对比结果中可以看出，零售商考虑CRS时的收益均高于同样规模下的不考虑CRS时的收益。这是由于考虑CRS后，不仅可以满足部分顾客延迟购买和部分顾客购买替代品的需求，从而提高了顾客的服务水平，而且也增加了销售机会和销售量，提高了零售商的总收益。

在3种规模下，两个阶段产品的缺货水平如图3-图5所示：

由图3-图5可以看出，在不同规模下，零售商在两个阶段缺货的规律基本一致。且多数产品若在第1阶段缺货，在第2阶段也易缺货。

图3 规模1下两阶段产品缺货水平

图4 规模2下两阶段产品缺货水平

图5 规模3下两阶段产品缺货水平

在3种规模下，两个阶段的顾客服务水平如图6所示：其中替代品满足的替代需求部分计入原产品的服务水平。

由图6对比3种规模下的顾客服务水平可以发现，在不同规模下，联合订货的顾客服务水平变化趋势大体一致。在规模1下，产品1的实际服务水平最低，其次是产品3；扩展至规模2时，产品7的实际服务水平最低，其次是产品1，然后是产品3；扩展至规模3时，产品13的实际服务水平最低，其次是产品7，接着是产品1、产品3、产品15、产品14。

图6 不同订货规模下各种产品整个阶段的实际服务水平

对上述3个规模的多产品联合订货决策结果进行进一步的分析，可以发现：

(1)如果同组的产品及其替代品的单位资源机会收益相近，顾客从原产品转换到替代品并不会增加太多收益，且产品失去销售的机会成本可能会淹没收益增加部分，所以替代情况不会发生。

(2)如果同组的产品及其替代品的单位资源机会收益相近，且其单位资源机会收益高于其他产品组的单位资源机会收益时，则该组产品都不会缺货；而低于其他产品组的单位资源机会收益时，则该组产品可能会缺货。

(3)如果同组的产品及其替代品单位资源机会收益差距较大,且其单位资源机会收益高于其他产品组的单位资源机会收益时，这个产品组便会出现缺货和替代情况。单位资源机会收益小的产品会发生缺货，单位资源机会收益大的产品会部分替代缺货的产品。受产品替代比例上限的约束，单位资源机会收益小的产品仍会剩余部分资源。定义其单位剩余资源机会收益为：

(35)

6 结语

本文针对考虑CRS的零售商多种产品联合订货决策问题，基于库存资源限制因素和JIT库存策略，构建了以零售商收益最大化为目标的多产品两阶段JIT联合订货决策模型，并设计了帝国主义竞争求解算法，从Gruen等的研究报告中选取了18种产品，3个不同规模算例测试的结果验证了模型和算法的有效性。本文的创新性工作主要包括：(1)提出并验证了考虑CRS下，零售商多产品两阶段JIT联合订货决策不仅能提高顾客服务水平，而且还能有效估计缺货情况下的顾客需求，提高零售商的总收益。(2)在零售商库存资源有限的前提下，提出了两阶段JIT联合订货策略，分析了两阶段同组产品间的最大替代率以及单位资源机会收益的差距情况，当单位资源机会收益相近时，同组产品间不会发生替代情况，当高于其他产品组的单位资源机会收益时，则该组产品都不会缺货，而当同组产品间的单位库存资源机会收益差距较大,且高于其他产品组的单位库存资源机会收益时，则该产品组便会出现缺货和替代情况。(3)研究了由一组扩展至多组产品的联合订货决策问题，既分析组内产品间的相互替代关系，又分析了产品组间的资源分配关系，其中产品组间的单位资源机会收益及单位剩余资源机会收益，是决定资源如何有效分配的主要因素，当同组产品间的单位库存资源机会收益差距较大,该产品组出现缺货和替代情况时，若该组缺货产品的剩余资源单位机会收益小于其他组产品的单位资源机会收益，则该产品的剩余资源便会转移给其他缺货产品，出现缺货引流现象。

基于本文，未来可从以下两个方面进行更深入的研究：一是研究存在部分单向替代的联合订货问题。二是研究考虑CRS的多阶段联合订货问题。