让深度学习真正发生

湖北武汉市育才实验学校 关 蓓

课堂改革是教育永恒的追求，基于深度学习目标的教学设计和教学活动为新时期的课堂教学提供了新思路、新路径。这种学习模式的核心在于理解，与数学思维发展、知识系统建构、学习方法迁移等热门话题密切相关。从数学学科教育的角度来看，“深度学习”并不陌生，许多教师都在尝试在课堂教学中由具体知识和基本技能层面，深入到深度思维的层面，进而培养学生的数学思维、提升学科素养。如何进行深度教学，引导学生进行深度学习呢？现笔者结合三个教学案例谈谈个人观点。

一、有机整合教材，沟通知识间的联系，架构系统知识

在数学的学习过程中，学生的认知水平常常停留在浅层，因为他们很少将不同模块、不同单元里的知识进行联系，由此学生的知识结构比较模糊、片段化，这样也就不易在不同章节的知识间寻找其内在的联系。以单元为整体来教学，以知识的系统整理归纳来教学，都能从数学知识的内在联系和外在生发上做文章，较好地加深学生对知识的融会贯通，促进学生对知识本质的理解，优化学生的认知方式。因此，教师的教学设计要体现深度学习，可以围绕着数学的核心内容展开。

著名特级教师吴正宪教授的“运算教学的复习课”这节课，是六年级复习课，学生经历了小学阶段的学习，需要进一步加强对加、减、乘、除运算的认识和理解，能从知识的本源去梳理已有经验，构建系统知识架构。吴老师基于对深度学习的实践探索，从一个系统的角度来思考，整体把握一个知识块之间相互的联系来进行的课堂活动设计，从而达成预期教学目的。

“此时此刻，你是如何看待加减乘除的？”“你是如何认识加减乘除的呢？”开门见山的两个问题将加法、减法、乘法、除法糅合在了一起，带领学生先思考、回顾。对于熟悉得不能再熟悉的运算，我们该如何去看待它呢？这样熟悉的旧知之间又具备怎样的联系呢？运算间的关系就成了本课的研究重点。“8+4=12”“12-8=4”“4+4+4=12”“12÷3=4”四个式子激发学生积极思考，创建出大量的情景内容。通过问题“情景故事永远也说不完，那么你是怎么理解加减乘除的意义的呢？”在小组合作交流中、班级互动表达中，学生逐渐从多个情境中抽象出了运算的意义，进而明白运算的实质是部分与整体间的关系：加法是将若干个不相同的部分合为一个整体，而减法是将一个整体分为若干个不相同的部分；乘法是将若干个相同的部分合为一个整体，而除法则是从一个整体走向若干个相同的部分。在这个分析的过程中，学生又进一步理解了“乘法与除法、加法与减法互为逆运算”“乘法是加法的简便运算，除法是减法的简便运算”。这样将知识点之间建构联系的过程，又进一步强化了学生对之前所学基础知识的掌握，促进了学生对运算意义的理解。

精心设计的练习题唤醒学生思维旧知，从算法的回顾中又厘清了算理。虽然整数、小数、分数的运算教学不是在同一时间内完成的，但这些内容之间存在内在的关联以及相同的思考方法。“2433+15；24.33-1.5；；124×33；9.7÷4”五个例题的关注点在于“为什么要这样算？”“题①为什么加法要将末位对齐？”“题②为什么要将小数点对齐？”“题③为什么要通分呢？”“题④为什么会在乘法的竖式里出现了加法？”通过这样的题组练习对比，四个问题的引导，逐步抽丝剥茧，将所有的焦点集中在了“计数单位的统一”上。加法、乘法是单位的累加，减法、除法是单位的细化。吴老师就是这样通过精心设计的问题引导，帮助学生建立起“加、减、乘、除”四种运算之间的内在联系：加减乘除的运算都是在找计数单位，有些是计数单位的累加，而有些则是计数单位的细化，这些运算的实质就是“计数单位”的运算。看似平常的计算练习，却在步步追问中启动学生深入思考运算的意义与相互联系，让学生找到了运算的本质。

吴正宪老师在整体上进行教学设计并实施，不仅帮助学生掌握了一个个单一的知识点，更进一步让学生掌握了解决这一类问题、学习这一组知识的方法，形成知识系统架构，并体会到其中蕴含的数学思想方法。在这样的学习过程中，学生才能真正形成与之相关的数学核心素养，真正提高运算能力和思维水平，真正拥有基本的数学思想方法。

二、强化活动体验，注重独立思考，发展高阶思维

深度学习作为基于理解的学习，指向高阶思维的发展和实际问题的解决。然而思维的高低层级怎样表现出来呢？内在的能力可以通过外在的形式体现出来。数学语言和数学操作活动都可以体现学生思维的高低。借助这些活动，将学生思维水平展现出来，进而准确地把握教学重点，将学习引向深处。

在武汉市育才小学万婕老师执教的“用圆的面积解决问题”一课中，万老师通过课前测试了解学生的知识起点和学生的思维层次。

根据课前测的分析，万老师在教学设计时精准地设计了适宜于学生深度学习的问题。课上，万老师抛出问题，放手让学生独立思考，质疑问难。

师：这是正方形和圆组合的图形（图1），只告诉我们一条信息：r=1米，能解决这个问题吗？请大家想一想，怎样解决？在解决时遇到了什么困难？

生1：在第二幅图里面，我们不知道正方形的边长，无法求出正方形的面积。

生2：我在解决第二幅图时，也不知道正方形的边长，就没有办法知道正方形的面积。

生：根据半径可以求出圆的直径，圆的直径正好等于正方形的边长，因此可以求出正方形的面积。（学生边说边指图2）

师：添加一条辅助线，我们能直观地看出圆与正方形的关系，求出正方形的面积。接下来，我们重点看图1，只知道半径为1米，怎么求出正方形的面积呢？我们需要找到正方形和圆各部分之间的关系。你准备运用什么方法探究正方形与圆各部分之间的关系？

学习活动要求

1.独立画图。

2.小组交流：

（1）你是怎样画的？

（2）你发现正方形与圆各部分之间有怎样的关系？

生1：我可以先把这个图画出来，再找正方形和圆之间的关系。

生2：我也觉得可以先画图看看。

生3：我先在圆中画出垂直的两条直径，和圆有4个交点。再连接这4个交点，就形成了圆中最大的正方形。

师：同意吗？

生（齐）：同意。

师：你们有什么问题想问问他吗？

生1：为什么它是圆中最大的正方形？

生2：你怎么知道它是一个正方形呢？

生3：我们知道这两条直径是相互垂直的，这四个三角形就是四个等腰直角三角形，所以这个角就是45°，另一个角也是45°，合起来就是90°。依次类推，这四个角都是90°，就说明这是一个正方形。

师：他从角的角度说明了这是一个正方形，有没有同学要补充的？

生4：这是4个大小一样的等腰直角三角形，这四条边都是它的斜边，边的长度相等，说明这是一个正方形。

师：我们可以分别从角和边的角度来考虑，从而证明这个图形确实是正方形。那这个正方形为什么是圆中的最大正方形呢？

生：这个正方形的四个顶点都在圆上，如果这个正方形再扩大一点点，就会超出圆。所以这个正方形是这个圆中最大的正方形。

师：看来这个正方形果然是这个圆中最大的正方形。老师相信你们都找到了正方形和圆各部分之间的关系，谁来说一说？

生：我发现正方形的对角线就是圆的直径，也可以得出正方形对角线的一半就是圆的半径。

师：我们能不能把这个正方形转换成与半径或直径相关联的其他图形，求出它的面积呢？

生：我将正方形分成2个完全相等的等腰直角三角形，三角形的底是圆的直径，三角形的高是圆的半径，三角形的面积等于1 m²。正方形的面积是2个等腰直角三角形的面积，也就是2 m²。圆的面积等于3.14 m²。最后用圆的面积减去正方形的面积，等于1.14 m²。

师：还有其他的方法吗？

生：我将正方形分成4个大小一样的等腰直角三角形，三角形的底是半径，高也是半径，三角形的面积等于0.5 m²。正方形的面积等于4个等腰直角三角形的面积，就是2 m²。圆的面积等于3.14 m²。阴影部分的面积也就是圆的面积减去正方形的面积，就是1.14 m²。

师：真会动脑筋！这两种方法有什么相同之处？

生1：它们都是分成几个相同的三角形，这些三角形都与圆的半径、直径有关。

生2：通过添加辅助线，把正方形分成了三角形，三角形的底和高都与圆的直径相关。

解决“外圆内方”这个问题，需要添加辅助线。辅助线的添加是解几何题的关键和难点，小学生的思维大多停留在直觉感知的水平上，但凭直觉添加辅助线也不能是天马行空式的想象，它需要学生积累丰富的数学活动经验。《义务教育数学课程标准（2011年版）》特别强调：“数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的。动手操作、画图分析是学习空间与图形的重要技能。于是，万老师把画图明理作为本节课的中心环节之一，让学生画图来寻找解决问题的思路和方法。学生在动手操作中定圆心、找半径，寻找方和圆之间的内在联系，获得了丰富的数学活动经验。画法展示后，万老师继续引导学生反思、质疑。万老师牢牢抓住“你怎么知道现在画出的这个图形是正方形？它是不是圆中最大的正方形呢？”这两个问题，进一步让学生说理，将感性认识逐步上升到理性认识。整个说理的过程实际上就是逻辑推理的雏形，同时也是高阶思维的体现。

三、有效运用策略，促进深度理解，数学学习为发展奠基

深度学习是在理解学习的基础上,学习者能够批判性地学习新的思想和事实,并将它们融入原有的认知结构中,能够在众多的思想间进行联系,并能够将已有知识迁移到新的情境中,做出决策和解决问题的学习。

著名特级教师俞正强老师曾上过一节朴实而又富有深度的课——“年、月、日”。课前，俞老师给每个学生发一张不同年份的日历牌。课始，看似三年级的学生对于年、月、日的知识早已有不少的了解，可随着俞老师的一句“你知道一个月有多少天吗？”，学生却给出了五花八门的答案：31天、30天、21天、28天、29天、32天等，正当一片混乱之时，俞老师趁“乱”发问：“怎么把它弄明白？”学生纷纷拿起日历查阅起来，从容、淡定的俞老师在一旁静静等待，等待学生自主发现月与日之间的关系。随着对大小月天数的清晰认识，到二月份的天数时，学生间再次出现“混乱”，有学生认为二月份是28天，有学生认为二月份是29天，还有学生说平年28天，闰年29天。面对混乱，学生们又急了，可俞老师不急不躁，循循善诱，充分发掘学生的已有经验，引发学生深度思考，不断探寻数学本质。

俞正强老师在他的专著《种子课》中认为：我们的学生本身便是一颗来自天地的种子,他是带着能量,带着春夏秋冬的记忆，带着生长收藏的使命而来,需要我们去体会、去感悟、去尊重、去唤醒。

正如俞老师所提到的，学生的经验并非空白，整节课俞老师都在学生的已有经验上引导学生深入探索，形成深度认识理解。俞老师的课堂主要有以下几个特点：

（1）立足和尊重学生的思维，循循善诱，激发学生的探究欲望。对于学生的发言，俞老师从不轻易下结论，而是给予学生再思考、再发现的机会。比如，俞老师提问：“现在2月有28天又有29天，我们该怎们办呢？”这时有一位学生不假思索地说换日历，俞老师没有否定，而是让学生经历换日历的过程，学生换了日历发现有的2月确实有29天，打破了该生原有的认知思维，激发了学生的探究欲望。

（2）遵循学生已有经验，促进学生深度理解，引导学生探寻数学本质。方法的记忆只是一种形式，而对知识的理解才是最为本质的。再如，俞老师提问：“2月有29天，与什么有关？”有一位学生自信满满地说：“与平年和闰年有关。”乍一听，我们会以为这个学生已经清楚了平年和闰年蕴藏的规律，但是在俞老师的步步追问下，学生很快暴露出知识的盲区：学生只是知道有平年和闰年这样的词语，但是对平年和闰年蕴藏的规律却不清楚。这时候俞老师引导学生自主探索2月天数的规律，在一次次独立思考、集体验证、自我调整后，学生终于找到了规律。整个探索的过程学生由感知规律到发现规律再到运用规律；由提出猜想到验证猜想；由质疑到确信，兴趣越来越浓烈，思维在不断升级。这节课里满是学生与教师思维的碰撞，碰撞中透着智慧的光芒，让在场的教师们无不拍手叫绝！

课后俞老师对本节课进行了深度解读，他认为数学教学的拓展首先应向内拓展，发掘数学本身的内涵。俞老师的这节课既没有使用华丽的课件，也没有准备精美的教具，仅仅就用一支粉笔、一块黑板和40张不同年份的日历，从学生的常识出发，在糊涂之处着力研究，将常识变成知识，再用知识进行思维拓展来完善常识。在深度学习中，学生的认知结构在完善，数学思想方法在形成。哪怕若干年后，今天学习的具体内容不一定记得，但是抽象、推理、模型的基本数学思想给人带来的改变，深度学习的美好体验，一定是留在学生的身上，并积极地发挥着作用。

深度学习为课堂变革提供了一个新的思路。深度学习的设计与实施需要教师对学科、对学生、对教学有正确的理解，在此基础上创造性地进行教学的设计与组织，使其体现学科本质、关注学习过程中学生的有效参与和富有深度的思考。在深度学习的教学设计中，重点体现的是教师对学科内容的深刻理解，对学生学习认知的切实把握，对教学活动的精心设计，使有意义的学习活动真正发生，让深度学习真正发生！