基于数学易错题成因分析的教学策略

浙江温州大学城附属学校 陈加仓

学生的学习并不是一帆风顺、一蹴而就的，它是一个试误摸索、磕磕碰碰的过程，它总是与“错误”为伴，且不可避免。因此，我们有必要直面“错误”，让它成为一种可遇而不可求的教学资源。让学生在错误中反思，在纠错中悟理，在悟理中成长。学生“犯错”正是充分暴露思维的过程，教学应基于学生思维特征，分析错误成因并“对症下药”，才能加深学生对知识本质的理解和掌握，从浅层学习走向深度学习。

一、试误摸索，消除直觉错误

心理学家丹尼尔·卡尼曼曾提出，人有“理性”与“本能”两套思考系统，即快系统和慢系统。 有意识的“理性”慢系统是调动注意力来分析和解决问题，并做出决定，比较慢，但错误少；无意识的“本能”快系统依赖情感、记忆和经验迅速进行判断，错误会大大增加。“直觉错误”就是根据经验和记忆进行的“本能”快系统思考模式产生的结果，俗称“跟着感觉走”。 教学中如何减少学生的直觉错误呢？下面以“点到直线的距离”为例，进行错误成因及教学策略分析。

【错例1】①如图1，要修一条从幸福镇通往公路的水泥路，怎样修路最近？

②如图2，直线a和直线b分别代表一条公路的两边，它们之间的距离是多少？

学生错误的做法（如图3）：

【成因分析】教材例题呈现的是水平方向“直线外一点找最短线段”和“两条平行线间的距离”。学生凭直觉就会去找竖直方向的线段，这条线段刚好就是距离最短的垂直线段，但练习中遇到倾斜方向的相关问题时，却不能准确地画出垂直线段、找到最短线段，说明学生并没有真正理解垂直线段的概念本质。究其原因，教材中的学习素材缺乏挑战性，不用经历试误摸索的过程也能解决问题，但是学生仍然没有消除直觉错误，也并未真正理解掌握概念的本质。

【教学策略】教学设计时，教师要对没有挑战性的教材内容做适当调整，创设能暴露学生直觉错误的问题情境。让学生在试误摸索、不断验证的过程中理解知识本质，从感性判断走向理性思考，逐步消除直觉错误。

1.调整素材，暴露错误

为了避免混淆“竖直线段就是垂直线段”，笔者将例题中水平方向的小路调整为倾斜方向（如图1），意在增加探究难度，激发学习欲望，凸显垂直线段的概念及研究的价值。“找一条点到直线的最短路线”，学生根据“直觉”快速找到了这条线段，在这个过程中错误充分显现，学生画了12厘米、11厘米、10.4厘米等不同长度的线段。在教学中，按从长到短的顺序逐步呈现学生作品，不断地冲击学生的思维，促使学生寻找“垂直”这一抓手，画出最短的线段——垂直线段。

2.动态演示，验证错误

学生在画“垂直线段”时出现了10厘米、9.9厘米、9.8厘米等不同的情况，同样的操作，不同的结果。当测量的误差无法用语言解释清楚时，学生容易对垂直线段的性质产生错误的理解，此时教师借助几何画板进行动态验证，学生就能清晰地认识到垂直线段的长度是唯一确定的。

能否再找一条比10厘米更短的线段？虽然学生一致认为找不到，但此时学生的认知还只停留在操作层面，思维层面也许尚未达成一致。这时教师再次借助几何画板的动态演示，让学生直观地感受到垂直线段10厘米最短，而且垂直线段有且只有一条。将几何画板演示用在关键处，能进一步验证错误，完善学生对垂直线段的认知。

3.对比迁移，厘清错误

当学习材料具有共同要素或相似时，可以将先前学习的方法迁移到后续的学习活动中，并引导学生对比分析它们之间的异同点，全面而深入地理解和掌握新知。

两条平行线间的距离与点到直线的距离有共性，故笔者教学两条平行线的距离（如图2）时采用先前的研究方法，放手让学生再次“试误摸索”，有序呈现学生错例，让学生在反思中寻找两条平行线之间的最短距离。

在此基础上，还要引导学生思考：为什么点到直线的垂直线段只有一条，平行线之间的垂直线段却有无数条？学生在对比中发现：两条平行线，以其中一条直线为基准，另一条直线上有无数个点，且每个点可对应一条垂直线段，无数个点就有无数条垂直线段。 学生通过对比，不仅厘清了错误，还沟通了两者之间的内在联系，更深刻地触及垂直线段的本质。

二、制造冲突，完善概念断层

概念教学中经常会存在教学任务完成后，学生仍然没有完整的概念认知，依然对概念模糊不清的情况。分析其原因，和学生的前概念有关。前概念即为在学习前拥有的概念，主要分为正确的前概念和错误的前概念两类。后者主要指学习者学习新知识之前头脑中存在的一些不科学的知识和经验。当学生的前概念是正确的时候，则能支持并促进新学习的发生；当学生的前概念是错误的时候，则会与科学概念产生冲突，起到阻碍作用。教学中我们要更加关注后者，利用“阻碍”，制造认知冲突，引发深度学习，完善概念教学中存在的断层现象。下面以“分数的再认识”为例来分析错误成因及教学策略。

学生错误的做法：6支笔的颜色不同、长短不同、粗细不同，不能平均分成3份，所以不能用表示。

【成因分析】在分数的初步认识阶段，教师在教学中特别强调平均分。学生以分得的结果是否“一样”去判断是否属于“平均分”，即所分得的各部分大小一样，才是平均分，才可用分数表示。当进入分数的意义阶段，单位“1”已从一个物体扩展到一些物体组成的一个整体，平均分的对象也从连续量过渡到离散量。平均分抽象到数量的等分，至于它的颜色、形状等非本质因素就不用考虑了，但学生对“平均分”的前概念还停留在分数的初步认识阶段。因此，教学“分数的再认识”，除了对单位“1”的再认识之外，还须对“平均分”进行再认识。

【教学策略】教师在进行概念教学时不能想当然地以为某些前概念学生应该知道，也不能直接告知其掌握的前概念是不完整的，正确的前概念应该是怎样的。接受式的学习并不能真正促进学生的概念发生转变。概念的纠正需要制造冲突，引发学生思考，并通过解释、验证等推理活动逐步构建科学的、系统的概念体系，达到理解性学习。

1.制造冲突，引发思考

思维的冲突不是凭空产生的，而要先提出数学问题，引起学生内心的冲突，使之处于“心欲求而未得，口欲言而不能”的状态，从而激发学生一系列的思维加工活动。

故此，本课教师在学生掌握了1个圆的和多个圆的平均分后，提出新的问题：8支笔，你能拿出它的吗？

受圆片中找操作方式的迁移，学生很快将8支笔看成一个整体（圈一圈），平均分成4份（画线），每份2支，得出2支笔就是它的（ 如图5）。学生在分相同圆片时的操作经验以及平均分的前概念使他产生疑惑：长短不一的笔能平均分吗?平均分的是什么？认知冲突引发思维碰撞，学生进入真实的思考状态。

2.说理辨析，澄清错误

数学是讲道理的学科，教学就是为学生提供讲道理的平台及支持，让学生在说理辨析中完善原有的概念和认知。

生1：因为每支笔的大小不一样，颜色不一样，长短也不一样，不是平均分，不能用表示。

（这是以前学过的“知识”，因此，多数学生表示赞同）

生2：现在平均分的对象是一个整体，而不是一个物体或图形，因此，可以不考虑笔的颜色、长短、大小、形状等，只要分得的支数一样就可以了。因此，每2支一份就是平均分，可以用表示。（如图6）

真理越辨越明，辩论中学生再次认识了“平均分”：平均分可以抽象至数量的平均分。平均分的再认识帮助学生完善了分数的概念。

三、推理思辨，提升逆向思维

逆向思维是一种反向思考能力，能有效地提高学生的思维能力，并增强其创新意识，是数学思维的一个重要组成部分。在教学中大量的学习活动让学生的思维处于顺向活动，却缺乏对其逆向思考的引导。久而久之，需要学生用逆向思维进行解题时，错误率就比较高。因此，教师在教学中不仅要关注学生的正向思维能力的培养，还要注重逆向思维能力的培养。下面以“三角形的面积”为例进行错误成因及教学策略分析。

【错例3】①一个三角形的面积是20cm2，它的底是5cm，高是多少？②一个三角形和一个平行四边形的面积与高都相等，平行四边形的底是12cm，则三角形的底是多少？

学生错误的做法：①：20÷5÷2=2（cm）。②20÷5＝4（cm）；12÷2=6（cm）。

【成因分析】为什么学生不能很好地逆用三角形面积计算公式呢？首先，除了面积公式理解不到位以外，还有一个主要原因在于学生的逆向思维能力较弱。其次，由于逆用三角形面积公式问题最多只是作为一两道习题在教材或作业本中“一闪而过”，我们一般不会引导学生深入探究，因此造成学生解题时“连蒙带猜”。

【教学策略】教师在设计教学时要选择合适的内容进行逆向思维的训练，而逆向思维需要在深入理解并掌握数学知识本质的前提下展开。通过画图表征，进行知识顺向、逆向的联结，将逆向知识转化为顺向知识，真正提升学生的逆向思维。“已知三角形面积与底（高），求高（底）”是培养学生逆向思维的好素材，它与 “已知圆锥体积与底面积（高），求高（底面积）”等知识是类似的，它直接关系到后续学习与逆向思维能力的培养。

1.画图表征，修正思路

数学表征有助于学生理解概念、关系或关联以及解决问题过程所使用的数学知识。因此，教学中利用图形表征，能不断修正错误想法，有效进行知识顺向、逆向的联结。

学习三角形的面积后，先让学生在方格图（边长为1cm）上画面积为12cm2的三角形。学生在画的过程中，会不断地修正自己错误的想法。如图7，当学生画出了底为6cm，高为2cm的三角形后，发现它的面积只有6cm2，从而调整思路再画；如图8，当学生画出了底为4cm，高为3cm的三角形时，也发现它的面积不是12cm2，然后也调整思路再画。只要多画几个，学生就会发现它的底与高的积应为24。

学生在操作中感悟到“三角形底与高的积是它的面积的2倍”，因此，求底或高时，须用面积的2倍除以高或底。

接着继续引导学生在画中感悟“等底等积或等高等积，三角形的高或底是平行四边形的2倍”。只有当三角形的底（高）是平行四边形的2倍时，它们的面积与高（底）才可能都相等，如图9、10。

2.倒推转化，化逆为顺

当用“顺向思考”解决问题遇到困难时，教师不妨引导学生进行逆向思考；当用算术方法解决问题有困难时，不妨引导学生列方程解决问题。

（1）用倒推转化解决问题。错题3第①题可以引导学生将三角形面积先乘2，转化成与它等底等高的平行四边形，然后再逆用平行四边形面积公式，求它的高或底。第②题可以将这个三角形面积先乘2，得到与它等底等高的平行四边形，新得到的这个平行四边形的面积是另一个平行四边形的2倍，由于它们高相等，则底是它的2倍，即原三角形的底是平行四边形底的2倍。

（2）用列方程解决问题。第①题可以根据三角形面积公式，列方程5h÷2＝20，解方程得h＝8；第②题可以根据“三角形与平行四边形的面积相等”，列方程ah÷2＝12h，解方程得a＝24。

总之，减少错误的发生并不能靠机械的重复练习与记忆，也不能仅仅采用“讲授告知”，而要引导学生进行剖析、思辨、验证等深层次的思考，从而达到深度学习。