静电场中五类图像问题求解

甘肃 赵生武

(作者单位：甘肃省兰州市永登县第一中学)

高中物理静电场部分在描述电场力的性质和能的性质时，既涉及带电粒子的受力情况和运动情况，又涉及电场力做功与能量变化之间的关系。本章内容物理概念抽象，物理规律应用综合性强，既是学生学习的难点，又是近几年高考的热点。静电场中的图像能够呈现带电粒子在电场中的运动过程，直观地反映电场强度、电势、电势能等物理概念之间的关系、力与运动之间的关系以及做功与能量转化之间的关系。通过图像考查对静电场有关概念及规律的理解是一种重要的考查方式。现将静电场中的图像问题予以归类解析，希望可以帮助学生有效复习。

类型一 φ-x图像

静电场中的φ-x图像反映静电场中电势φ随位置坐标x的变化规律。处理φ-x图像问题必须把握以下要点：

1.沿着电场线方向电势逐渐降低。由φ-x图像直接判断各点的电势高低，并根据电势高低确定x轴上电场强度E的方向。注意电势的正负表示电势的高低。

2.电场力做功WAB=qUAB。由φ-x图像直接确定任意两点间的电势差UAB，求解电场力做功WAB，进而通过功能关系分析带电粒子动能及电势能的变化情况。注意WAB=qUAB中各物理量需带正负。

【例1】两电荷量分别为q1和q2的点电荷放在x轴上的O、M两点，两电荷连线上各点电势φ随x变化的关系如图1所示，其中A、N两点的电势为零，ND段中C点电势最高，不计重力，则

图1

( )

A.A、N点的电场强度大小为零

B.将一正点电荷静止放在x轴负半轴，它将一直做加速运动

C.N、C间场强方向沿x轴正方向

D.将一负点电荷从N点移到D点，电场力先做正功后做负功

【解析】(1)A、N点的电势为零，但过A、N点切线的斜率不为零。所以，电场强度大小不为零。A选项错误。

(3)从N到C电势升高，N、C点间的场强方向沿x轴负方向。同理，C、D点间的场强方向沿x轴正方向。C选项错误。

(4)负点电荷在N、C间所受电场力沿x轴正方向，在C、D间所受电场力沿x轴负方向。所以，负点电荷从N点移到D点，电场力先做正功后做负功。或N、D间电势先升高再降低，负电荷在N、D间的电势能先减少后增加，故负电荷从N点移到D点，电场力先做正功后做负功。D选项正确。

【点评】(1)A选项可以很好地论证“电势为零，电场强度一定为零”这一谬论，加深对电场强度和电势概念的理解。

(2)由斜率的正负表示场强的方向可以得出：A、N两点的场强方向相反，NC段与CD段的场强方向相反。

(3)根据电场力做功情况可以进一步分析点电荷电势能的变化情况，或根据电荷电势能变化分析电场力做功情况。

类型二 E-x图像

静电场中的E-x图像反映静电场中的电场强度E随位置坐标x的变化规律。处理E-x图像问题必须把握以下要点：

1.电场强度E是矢量，E>0与E<0表示电场强度的方向相反。x轴之上E>0，电场强度方向沿x轴正方向；x轴之下E<0，电场强度沿x轴负方向。图线上的点到x轴之间的距离(即E轴上的坐标值)表示电场强度的大小。

2.在匀强电场中，电势差U=Ed，d为场强方向上两点间的距离。类比v-t图像可知，E-x图像中图线与x轴围成的“面积”大小表示电势差大小，“面积”正负表示电势差正负，两点的电势高低依据电场方向判断。

【例2】空间某区域有一沿x轴对称分布的电场，其电场强度E随坐标x变化的图像如图2所示，x0和-x0为x轴上对称的两点。现将一电子从x0处由静止释放后沿x轴负方向运动，到达-x0处时速度刚好为零，下列说法正确的是

图2

( )

A.x0处的场强大小大于-x0处的场强大小

B.x0处的电势小于-x0处的电势

C.电子在x0处的电势能等于-x0处的电势能

D.电子先做匀加速运动后做匀减速运动

【解析】(1)电子在x0处和-x0处速度均为0，由动能定理可知，电子从x0运动到-x0过程，电场力做功为零，即O到x0之间与O到x0之间图线与x轴围成面积大小相等。由几何关系可知，x0处和-x0处的场强大小相等，方向相反。A选项错误。

(2)O到x0之间与O到-x0之间图线与x轴所围面积大小相等，即电势差大小相等，则φ0-φx0=φ0-φ-x0。所以，φx0=φ-x0。B选项错误。

(3)由Ep=φ·q可知，电子在x0处的电势能等于-x0处的电势能。C选项正确。

(4)电子在x0处由静止释放后沿着x轴负方向运动，说明O到x0之间所受电场力方向沿x轴负方向，场强方向沿x正方向。由矢量性可知，O到-x0之间的场强方向沿x轴负方向，所受电场力方向沿x正方向。所以，电子先做加速运动后做减速运动，但加速度a变化，不是匀变速运动。D选项错误。

【点评】(1)根据电场强度E的大小可以判定电场力的大小和加速度的大小。

(2)根据电场场强E的矢量性和已知条件可以确定电场强度的方向，进而判断电势的高低，分析带电粒子电势能的变化以及电场力做功情况。

类型三 Ep-x图像

静电场中Ep-x图像反映带电粒子的电势能Ep随位置坐标x的变化规律。理解要点如下：

1.由图像可以直接判断带电粒子在各点的电势能Ep的大小，并根据电势能大小变化确定电场力做功情况。

2.结合Ep=φ·q关系式，由电势能Ep的大小确定各点的电势φ的高低，进而确定电场强度的方向、电场力方向以及加速度方向。

【例3】一带电粒子在电场中仅受静电力作用，做初速度为零的直线运动，取该直线为x轴，起始点O为坐标原点，其电势能Ep与位移x的关系如图3所示，下列图像中合理的是

( )

图3

A

B

C

D

【解析】(1)Ep-x图像的斜率逐渐减小，表示电场力逐渐减小，场强E逐渐减小，带电粒子的加速度逐渐减小。A选项错误，D选项正确。

(2)由动能定理可知ΔEk=F合·Δx，类比|ΔEp|=F电·Δx可知，Ek-x图像的斜率表示F合，而带电粒子仅受电场力作用，电场力即为合外力。所以，电势能逐渐减小时，动能逐渐增大，但Ek-x图像的斜率逐渐减小。B选项错误。

【点评】(1)解决Ep-x图像问题时，既要根据电势能Ep的大小变化判断电场力做功情况，又要根据图像斜率的变化判断电场力大小变化、电场强度大小变化以及加速度大小变化。

类型四 Ek-x图像

静电场中的Ek-x图像反映带电粒子的动能Ek随位置坐标x的变化规律。解决Ek-x图像问题必须掌握以下要点：

1.由Ek-x图像直接判断带电粒子的动能Ek的大小，并根据动能大小变化确定合外力做功情况，进而分析电场力做功情况及电势能变化情况。

2.Ek-x图像的斜率大小表示带电粒子所受合外力的大小。根据Ek-x图像的斜率大小判断合外力大小，进而判断电场力大小及电场强度大小。

【例4】如图4甲所示，x轴处在静电场中，一个电荷量为q、质量为m的带负电的粒子在原点O由静止释放，仅在电场力的作用下沿x轴正方向运动，粒子运动过程中的动能随位置变化的关系图像如图4乙所示，图4乙中的量均为已知，则下列说法正确的是

甲

( )

A.场强沿x轴正方向逐渐增大

B.图4乙中图线的斜率大小表示粒子所受电场力的大小

【解析】(1)Ek-x图像的斜率大小表示带电粒子所受合外力的大小，而粒子仅受电场力作用，所以，图4乙中图线的斜率大小表示粒子所受电场力的大小。B选项正确。

(2)Ek-x图线的斜率一定，电场力一定，所以，电场强度大小一定。A选项错误。

类型五 v-t图像

静电场中的v-t图像反映带电粒子运动过程中速度v随时间t的变化规律。若带电粒子只受电场力作用，求解静电场中的v-t图像问题须把握以下两点：

1.根据v-t图像直接判断速度v的大小变化，确定电场力方向，分析电场力做功情况以及动能Ek、电势能Ep的变化情况。

2.根据v-t图像的斜率变化判断带电粒子加速度的变化、电场力变化以及电场强度的变化情况。

【例5】如图5甲所示，两个点电荷Q1、Q2固定在x轴上，其中Q1位于原点O，a、b是它们连线延长线上的两点。现有一带正电的粒子q以一定的初速度沿x轴从a点开始经b点向远处运动(粒子只受电场力作用)，设粒子经过a、b两点时的速度分别为va、vb，其速度随坐标x变化的图像如图5乙所示，则以下判断正确的是

甲

( )

A.b点的场强一定为零

B.Q2带负电且电荷量小于Q1

C.a点的电势比b点的电势高

D.粒子在a点的电势能比b点的电势能小

【解析】(1)v-t图像上b点的切线斜率为零，加速度为零，场强一定为零。A选项正确。

(2)带正电粒子从a到b过程速度增大，电场力沿x轴正方向，场强沿x轴正方向，由点电荷电场强度可知Q2带正电，而b点场强为零，由场强叠加原理可知，Q2电荷量小于Q1。B选项错误。

(3)沿着电场方向电势降低，所以a点的电势比b点的电势高。C选项正确。

(4)粒子从a到b过程中电场力做正功，电势能减小，粒子在a点的电势能比b点的电势能大。或者根据电势能与电势的关系，a点的电势比b点的电势高，带正电粒子在a点的电势能比b点的电势能大。D选项错误。

【点评】(1)分析静电场中的v-t图像问题需要从速度变化和图线斜率变化两个角度入手，分两条思路进行求解相关问题。

(2)静电场中的v-t图像问题往往与电场分布相结合，综合分析带电粒子的受力情况、运动情况及能量变化情况。