聚焦数学核心内容 彰显学科育人价值——2020年天津市初中学业水平考试数学学科试卷评析

刘金英 姚丽红 王凯歌

遵循基础教育课程改革的基本理念和精神，有效落实《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）的基本要求，是教学与评价的共同目标。2020年天津市初中学业水平考试数学学科试卷（以下简称“试卷”）全面贯彻党的教育方针，坚持公平、全面、科学的原则，充分体现了义务教育的性质。数学学科试卷整体上强调了德育性、公平性、地方性、基础性、思想性和应用性，更加注重数学学科内容的本质、通性通法，淡化解题技巧。同时更加聚焦核心内容和思想方法的育人价值，这对于培育学生数学素养具有重要意义。为此，结合 《课标（2011年版）》要求，在对试卷做出整体分析的基础上，主要从“聚焦核心内容”“重视数学应用”“强化思想方法”和“彰显育人价值”四个方面，结合典型试题的评析，指出教学与评价的基本原则、重要任务、关键环节和根本目标。

一、试卷整体情况

2020年天津市初中学业水平考试 （以下简称“天津中考”）数学学科试卷适用于天津市的2020年初中毕业生，是义务教育阶段的终结性考试。目的是更加全面、准确地反映初中学生修业期满后，在数学学科学习方面所达到的水平。考试成绩既是衡量学生是否达到毕业标准的主要依据，也是高中阶段学校招生的重要依据。试题充分考虑了当前初中数学教学的实际状况，在坚持近几年数学试卷基本风格的前提下，在结构、题型、题量、难度上保持稳定；在试题背景、呈现形式上，关注数学与现实生活的密切联系，问题设计更加公平适切；同时，适当设置了新情境和新问法，体现了“稳中有新”的整体思路。

（一）试卷设计

试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷为选择题，共12小题，每小题3分，共36分；第Ⅱ卷为非选择题，共84分，其中填空题6个，每小题3分，共18分，解答题7个，共66分。全卷共25题，满分120分。考试时间100分钟。

（二）试题考查内容分布

依据《课标（2011年版）》，初中数学学习内容划分为四个学习领域：数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践。2020年天津市数学试题对各学习领域内容的设计及所占比例分布如表1所示：

表1 2020年天津市中考数学试卷结构

（三）考试结果统计

2020年天津市中考考生93575人，实测平均分88.72分，与2019年全市平均分89.49分相差不到1分，很好地实现了“保持稳定”的指导思想。标准差24.09，表明绝大多数考生得分与平均分之间的差异较大，整体分数分布科学、合理。难度0.74，α系数0.92，表明试卷难度适中、区分度好，最大限度地将不同学习水平的考生加以区分，有效发挥了评价的功能。

从试题难度分布检视，较易题目20道，分值共计84分，占试卷总分的70%；中等题目2道，分值达20分，占试卷总分的16.7%；较难题目3道，分值16分，占试卷总分的13.3%。值得注意的是，第（25）题，共设计3小问，其中的第1问3分，难度0.71.综合来看，实测结果“从易到难”整体呈现了7∶2∶1的难度分布，有利于减轻学生学业负担，有效衡量学生是否达到毕业标准，助推育人方式的变革。

从试题区分度检视，鉴别指数在0.4以上的题目达9道，分值62分，占总分的51.7%；鉴别指数在0.2以上的题目共计19道，分值102分，占总分的85%，表明试卷绝大多数题目对考生相关品质区分的有效性非常好。能力强、水平高的考生得分高；能力弱、水平低的考生得低分，如此高效的鉴别能力，特别有利于高中阶段学校对考生优中选优。

二、试题主要特色

试卷在设计过程中，注意融入课程改革的基本理念。从试题的立意、素材的选取、呈现的方式、解决问题的方法以及对数学思想方法的领悟程度等方面出发，依据《课标（2011年版）》，参考本届学生所选用的人教版教科书（初中数学），科学设计试题内容，注重基础性，加强综合性，反映地方性，减少单纯记忆、机械训练性质的内容，增强了与学生生活、社会实际的联系；突出能力导向，注重考查学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，总体上彰显了数学学科的育人价值。

（一）立足课标，聚焦核心内容

基础知识、基本技能和基本思想方法是初中数学的核心内容，也是学生发展的基础。2020年天津市中考数学试题的设计，更加注重了对数学核心内容理解的程度和应用的水平。

“数与代数”领域，重点是数与式、方程与不等式、 函数相关内容， 如第 （1）、（3）、（6）、（9）、（13）、（14）题，涉及数与式的基本运算；第（7）、（19）题，涉及方程组与不等式的基本解法；第（10）、（12）、（16）、（25）题，涉及函数的概念、图象特征以及函数与方程、不等式的关系等问题，主要指向学生的数感、符号意识和运算能力。

“图形与几何”领域，重点是图形的性质、图形的变化和图形与坐标，涉及到对平面图形的形状、大小、位置关系及其图形变换的基本认识等内容。如第（8）、（17）、（21）题，借助于基本图形：三角形、四边形和圆，需要学生对重要的几何基本事实的理解；第（2）、（5）、（11）、（22）、（24）题，通过设置图形的变化（轴对称、旋转、平移、相似、投影）等内容，需要学生在图形的运动变化过程中，对几何基本要素及其位置关系的认识，主要指向学生的空间观念、几何直观和推理能力。

“统计与概率”领域，重点是依据统计图表获取信息，通过简单的统计与概率问题的计算，感受统计与概率在实际生活中的应用，如第（15）、（20）题涉及简单随机事件的概率、用统计图描述和分析数据等内容，主要指向学生的数据分析观念。

“综合与实践”领域，重点是在新的情境中，综合运用知识解决问题，如第（4）、（18）、（23）题主要指向学生的模型思想、应用意识和创新意识。

这样的题目，都是从《课标（2011年版）》的基本要求出发，围绕主线，突出重点。聚焦核心内容，是教学与评价的基本原则。

（二）贴近生活，重视数学应用

现实生活中蕴含着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象为数学问题，用数学的方法予以解决。试题在题目素材、背景的选取上，更加注重与现实生活的联系，关注了数学的应用意识，全卷共有7题、42分，涉及到应用数学知识解决实际问题的内容。

1.以当前热点的问题为素材，弘扬正能量

第（3）题，关注了2020年6月在天津举办的世界智能大会，以第四届世界智能大会办会的全新模式“40家直播网站及平台同时在线观看云开幕式暨主题峰会的总人数”为素材，紧跟时代发展步伐，反映了新时代中国特色社会主义建设的新成就，弘扬了我国在人工智能领域取得的科技新成果。本题源自人教版教科书七年级上册第45页例5，用科学记数法表示数值较大的数，不仅能让学生体会数学的简约之美，同时这样的设计，也可以使学生进一步感悟科学记数法的意义和应用价值，感受到数学知识与现实生活的密切联系，激发学习数学的兴趣和积极性。

第（4）题，“感动中国”与时代息息相关，将培育和践行社会主义核心价值观的基本内容和要求，巧妙融入学科内容，特别是抗击疫情期间涌现出来的舍身忘我、勇往直前、无私奉献的先进事迹感动着每一个中国人，以此为素材，更加激发了学生的爱国热情。本题源自人教版教科书八年级上册第88页数学活动“美术字与轴对称”，通过对美术字“感动中国”的辨识，让学生感受轴对称现象无处不在，体会轴对称在现实生活中的广泛应用。

2.以学生熟知的情境为背景，回归教科书

第（23）题，源自人教版教科书八年级下册第76页例2，并融合了《课标（2011年版）》第123页例77的设计思路和理念。题目以“看图说故事”的形式呈现，结合所给图象，生动再现了学生日常生活中的情境，使学生体会到数学就在身边，感受数学的趣味和作用，搭建了数学与外部世界联系的桥梁；通过分析具体问题中两个变量之间的对应关系，深化对函数本质的理解；通过经历建立一次函数、一元一次方程模型的过程，体会建立数学模型的思想方法和实际意义。

模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，第（23）题的设计体现了建立和求解模型的过程。第（Ⅰ）问，以填表的形式，先给出自变量为具体数字的例子，让学生体会两个变量间的对应关系，为后续解决问题提供了必要的帮助；第（Ⅱ）问，通过观察图象，从图形与图形、数量与数量的关系中抽象出一般规律，再结合具体的问题情境，理解和认识数量与数量关系的实际意义，进一步体会知识间的内在联系，如此设计，减少了学生在文字书写上的时间，有利于学生将注意力集中到如何解决问题上；第（Ⅲ）问，在前两问已有的研究经验和理解认识的基础上，引导学生将这一变化过程用函数模型表示出来，将感性认识上升到理性思维，有利于把握事物的本质，以简驭繁，培养运用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。这样层层递进，为学生指明了解决实际问题的基本方法和步骤，引导学生要多从数学的角度发现问题和提出问题，增强应用意识，提高分析问题和解决问题的能力。

此外，试卷还设计了第（20）题“农科院了解某种小麦的长势”、第（22）题“测量池塘 AB的长”等问题，让学生在熟悉的问题情境中，通过观察、探究、推理、论证等过程，体会数学与实际问题的联系。

强调数学知识的实际背景与应用，是《课标（2011年版）》对教学与评价提出的重要任务。

三、能力导向，强化思想方法

数学不仅仅是一种“工具”和“方法”，更重要的是一种思维模式，其表现就是数学思想方法。数学思想方法是数学基础知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵于数学知识之中，是数学知识的精髓。

（一）通过解法的多样化，把握知识之间的内在联系

第（17）题，以平行四边形与等边三角形的组合为背景，既关注了基本图形的基本性质，又关注了将基本图形进行适当的组合之后，探究新情境下图形要素之间的位置关系和数量关系。首先，由于组合之后图形的位置相互关联，当给定“AD=3，AB=CF=2”数量及其关系时，平行四边形和等边三角形的形状和大小就都是唯一确定的。在此基础上，题目设计了“新线段”DE的中点G，求以点G为一个端点的线段CG的长。结合点G的特殊性，可以有多种解法：一是再去寻找或构造另一个中点，两个中点的出现有利于使用三角形的中位线定理；二是联想中线加倍的方法，去构造全等三角形；三是联想平行线分线段成比例定理；等等。事实上，各种解法之间存在必然的联系，例如全等三角形的方法可以看作是1∶1的平行线分线段成比例，中位线的方法与平行线分线段成比例的方法也是相通的。另外，本题由于图形位置与大小的唯一确定性，有助于再思考“DE的长度如何求”“如果构造直角三角形建立三角函数关系可以吗？”等问题，为进一步探索相关内容预留了充分的思考空间，为今后的教学提供了丰富的资源。

第（21）题，源于人教版教科书九年级上册第122页第1题，以圆为背景，有效沟通了圆中的圆周角、弧、圆心角、切线之间的关系。题目的设计从一般到特殊，从圆内到圆外，分别侧重了圆的旋转对称性和圆的轴对称性，其典型性使得解题方法众多。第（Ⅰ）问，给出的∠APC=100°是一个角的顶点在圆内且角的两边与圆相交的角，考虑“以弧定角”，可以利用“三角形的外角”将这样的圆内角转化为两个圆周角之和，转化之后发现，其中一个角的大小正好是已知的63°，另一个角的大小即为所求的角，还可以先利用“同弧所对的圆周角相等”，再转化为三角形内角或外角的关系，虽然转化的路径不同，但“将顶点不在圆上的角转化为顶点在圆上的角，再利用圆中的弧来确定角”的转化思路是一致的；第（Ⅱ）问，在利用切线的基本性质的基础上，主要通过圆的轴对称性（垂径定理），将圆的问题转化为直线型问题来解决，只要将图形中的“线”与“角”组织合理、运用充分，通过多样化的思考均可以得到所求角的大小。

显然，解题方法的不同，表明学生对相关知识内容理解的不同，其思维水平存在一定的差异。善于把握知识之间的内在联系，体会从不同角度思考和解决问题，凸显了试题的能力导向。

（二）通过综合运用知识，构建解决问题的整体观念

第（24）题，以“特殊的直角三角形翻折”为背景，将图形的性质、图形的变化、图形与坐标等内容有机融合，突出了平面直角坐标系条件下对图形位置的刻画与研究。本题的设计，由特殊到一般，由浅入深，逐层递进。第（Ⅰ）问，给定一个特殊位置OP=1，求点P的坐标，起点低，只需利用直角三角形的边角关系，即可；第（Ⅱ）问，给定OQ=OP，表明“折痕”有了一定的确定性，结合题意可得折痕是一条与x轴夹角为60°的直线，且始终保持着使△OPQ为等边三角形。于是，对于第（Ⅱ）问①，只要把握好△OPQ是等边三角形或者四边形OQO'P为菱形，先“定性”后“定量”，借助含30°的直角三角形的边角关系，就可以“用含有t的式子表示O'D的长”了，其中“t的取值范围”需要考虑图形运动的特殊位置。

第（Ⅱ）问②，要求探究折叠后重叠部分面积变化的规律，应整体分析不同变化阶段时，重叠部分的面积S与自变量t之间的对应关系，这一对应关系的确立，随图形折叠的不同而不同，这与函数“变化与对应”的思想是一致的。因此，从函数角度看，通过建立图形要素之间的对应关系，用函数的表达式可以刻画图形的变化规律；从几何角度看，通过相关的代数运算，可以进一步发现图形要素之间新的位置关系。体现了几何与代数相关内容彼此的融合与统一。

树立整体观念，把握核心内容之间的内在联系，在分析和解决问题的过程中感悟思想、积累经验，是教学与评价的关键环节。

四、关注发展，彰显育人价值

中考需承载社会赋予其特定的功能，实现“立德树人”的根本任务。因此，在试题设计的过程中，如何从现有的问题出发，既评价学生对数学基础知识、基本技能、基本思想方法的掌握情况，同时又为学生的临场发挥、施展才能搭建平台，并进一步指向数学核心素养的达成，2020年天津市中考试题，关注了以下两个方面。

（一）助力学生学习潜质的发挥

第（18）题，是网格作图问题，围绕线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等基本图形的基本性质，依托三角形的全等和相似、线与线的位置关系等，借助网格作对称点，结合圆作垂线，凸显了网格的功能。本题第（Ⅰ）问，可直接利用勾股定理求网格中一条确定线段的长度，其过程中所用到的直角边的位置，恰好为后面确定对称点的位置起到思路上的引领；第（Ⅱ）问，利用轴对称将“最短路径问题”转化为“垂线段最短问题”是解决问题的基本路径，而如何运用好网格和半圆，需要面对新的情境，结合平行线分线段成比例、三角形的高、圆的性质等，综合运用所学知识，才能解决问题。此外，本题也可以借助网格的坐标功能，建立适当的平面直角坐标系，利用直线的解析式确定特殊点的坐标，按照“点”的具体位置再画图。

网格背景下研究基本图形，一方面需要对基本图形的基本性质有着深刻的理解；另一方面，对于网格所赋予的图形特殊的位置关系和数量关系，并进而可以“数量化”解决问题的方法，也应有足够的认识，这对于学生的数学能力提出了更高要求，为学生高水平发挥提供了很好的素材。

（二）指向数学核心素养的达成

第（25）题，是二次函数的综合性问题，主要涉及二次函数的概念和性质、图形与坐标的关系、研究函数问题的基本方法等，突出了数形结合、化归、分类等数学思想方法在解决问题中的作用，进一步凸显了对推理能力、思维品质和创新意识的要求。

作为压轴题，本题各问的设计逻辑性强，起点低、坡度缓、层层递进。第（Ⅰ）问，通过已知条件及给定常数a，m的值，可将抛物线确定下来，在求顶点坐标的过程中既可以使用配方法，也可以使用公式法，容易得解。在解答过程中需要关注对已知条件的理解和转化，点A为抛物线与x轴的交点是整个题的条件，由“点在抛物线上，点的坐标满足抛物线的解析式”，可将此条件转化为代数条件，得到关系a+b+m=0，此关系在后续的解题中可起到消元的作用。

第（Ⅱ）问①中，给出动点的一个特殊位置，根据动线段EF的长度，利用勾股定理建立等量关系得到关于m的方程，求出m的值，进而求出点F的坐标。在解答过程中，需要根据题意画出相应的图形，运用数形结合、分类讨论的思想方法。本小题也可以灵活应用抛物线的对称性，由AE=CM得到关于m的方程，求得m的值。由此可见，该问的设计不仅指向学生对通性通法的掌握程度，又对学生灵活运用所学知识解决问题提出能力上的要求。第（Ⅱ）问②中，需要明确线段EF在运动变化中的不变性，即虽然线段两个端点的位置在变，但线段的长度始终保持不变，结合直线l与x轴平行的条件，可以发现，线段MN的中点N与点C的距离CN的长等于MN长的一半，即点N在“以点C为圆心，为半径”的圆上。至此，借助几何直观，把复杂的数学问题变得简明、形象，再根据MN的最小值，即可求得m的值。

以函数问题为背景，设置综合性问题，具有很好的甄别功能。学生能否应用函数观点，恰当地运用数学思想方法解题，形成合理的解题序列，并层次清楚地进行表述，做到推理严谨，论证完整，条理分明，是衡量学生数学素养水平高低的重要方面。

引导学生用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界，实现学科育人，是教学与评价的根本目标。

综上，在数学教学与评价中，只有聚焦数学核心内容，关注数学知识产生、发展、应用的全过程，并在这一过程中，强化数学结论获得的思维方式，感悟数学内容自身蕴含的思想性和教育价值，才能使教学与评价做到合理、科学、有效，并有助于学科育人的各项目标得以真正落地、落细、落实。