把握规律探索策略，发展数学思维水平

严卿

摘 要：规律是世界万物运动与变化中存在的本质、必然的联系，也是数和形固有的特征或关系。探索规律是一种十分重要的数学活动，有助于学生抓住数学知识的本质和内在联系，进行全面、深入、灵活的思考，透过纷繁复杂的表象发现内在规律，为进行更高水平的数学研究和科学创造打好基础。在探索规律的教学中，不能仅仅把规律内容作为教学的重点，而要让学生经历规律的探究过程，掌握科学探索规律的方法，积累严谨论证规律的经验，建立规律之间的整体联系。这样的学习活动才能帮助学生提高探索规律的能力，体会规律背后蕴含的数学思想方法，有效地发展思维水平，提升数学素养。

关键词：感悟规律;推理论证;验证

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 收稿日期：2020-04-15 文章编号：1674-120X（2020）27-0068-02

一、猜想—验证—论证，萌发探究规律的方法

运用精心设计的学习材料，使学生在发现和探究的过程中，养成严谨思考的习惯，形成完整科学的探究方法，胜过探索发现或逻辑推理本身的价值。人们在科学研究中，习惯从已有的知识经验出发，先大胆猜想，再进行验证和推理。“猜想—验证”已成为现代科学研究中常用的方法。建立猜想的过程本质上就是由特殊到一般，由具体到抽象的归纳推理过程。引导学生从具体的数据或数学现象出发进行猜想和验证，有助于他们感受探索规律的一般过程和主要特点，逐步增强探究意识，发展探索规律的能力。

在研究两个自然数之和的奇偶性时，教师带领学生玩抛骰子、转转盘的游戏。学生只要将抛骰子得到的数加在一起，并在转盘上找到对应的结果，就能领取奖品。学生玩了几次都没有中奖，他们在失望的同时都很想弄清其中的奥秘。有的学生发现，奖品只对应着转盘上的奇数，偶数对应的都是“谢谢参与”。无论抛骰子得到几，加一遍的结果都是偶数。有的学生提出，只有将骰子连续抛两次并将两次抛到的数相加，才有可能获奖。教师请学生思考，“两个数相加之和可能是奇数还是偶数呢？怎样研究这个问题呢？”学生对偶数加偶数、奇数加奇数、偶数加奇数这三种不同的情形进行了计算，并提出了猜想：偶数加偶数等于偶数，奇数加奇数等于偶数，奇数加偶数等于奇数。并对应猜想列举 12+18=30，13+27=40，21+36=57 等算式进行验证。教师请学生思考，“离开具体的算式，怎样证明任意两个自然数都符合这个规律？”学生通过画图把偶数表示成若干个2的和，把奇数表示成若干个2与1的和。偶数加偶数，结果还是若干个2，所以和一定是偶数。奇数加奇数， 两个1合起来是一个2，两个奇数的和就变成了若干个2，和一定是偶数;奇数加偶数，和仍是若干个2加1，和一定是奇數。

教师通过数学游戏引导学生计算任意两个自然数的和，猜想和的奇偶性规律，意在引导学生对和的奇偶性规律进行简单归纳以便进一步验证。学生借助具体数据举例验证，证明了猜想的正确性，又从奇数和偶数的普遍意义出发，通过演绎推理对规律的合理性与科学性进行论证，从一般的角度增加了规律的可靠性。

授之以鱼，只供一饭之需;授之以渔，则终身受用无穷。正确的研究方法是科学探究规律的前提，对学生的数学思考和思维发展意义重要而深远。教师需引导学生对学习材料进行充分的观察和比较，在探究过程中为学生提供猜想的空间，确立“大胆猜想，小心求证”的研究思路，使学生找到系统研究规律的路径，丰富探究活动的经验。在验证猜想的基础上，还要引导学生以基本的数学概念和方法为切入点，对规律的科学性与合理性进行更为严密的论证，培养学生严谨的思维品质。学生只有完整经历了“猜想—验证—论证”的过程，探究规律的科学方法论的种子才会在内心悄然萌发。

二、归纳—反思—推理，感悟规律的科学合理

数学是研究模式和规律的基础科学。用数学的眼光发现事物之间的联系，并科学地探究规律是学生具有良好思维品质的重要表现。学生在提出猜想之后，通过举例、测量、计算、画图等方式验证猜想，归纳规律，归根到底没有脱离具体的数据，其验证的对象也是一些特殊的学习材料。我们应该努力超越简单归纳，从普通的角度培养学生的推理能力，得出一般的结论，使学生对规律的合理性与普适性形成更为深刻的体验。学生只有经历从依靠具体数据或图形进行初步验证到根据定义和公理进行一般化推理论证的转变，才能触摸到数学的本质，形成严谨推理、严密论证的数学品格。

以探索多边形的内角和为例，学生将多边形分割成若干个三角形，在研究了四边形、五边形、六边形的内角和后，发现多边形内角和可以由分成的三角形个数乘180°得到，且三角形的个数等于多边形的边数减2。教师引导学生思考：“能用一种大家都理解的方式表示求多边形内角和的方法吗？”学生概括出，用n表示图形边数，n边形的内角

和=（n-2）×180°。教师追问：“任意一个多边形的内角和都可以用这个方法来计算吗？如何证明这个规律适用于任意一个多边形呢？”学生对探索规律的过程进行了深入的反思，认真观察了将任意多边形分割成若干个三角形的方法，提出了两种论证思路。有的学生从n边形左下角的顶点出发，将多边形分割成若干个三角形。第一个三角形由多边形的两条边和一条对角线围成，其内角和是180°。在此基础上增加一条边和一条对角线，多边形内角和变成两个180°，即360°。照这样推算，每增加一条边和一条对角线，就多出一个三角形，内角和增加180°。以最开始的两条边为基础，一共增加了（n-2）条边和（n-2）条对角线，将多边形共分割成了（n-2）个三角形，其内角和就是（n-2）×180°。

还有学生将n边形的每个顶点直接连接图形中心点，将其分割成n个三角形，它们的内角和之和是n 个180°。每个三角形与中心点相连接的角围成了一个周角，即360°。n个三角形的内角和之和减去这个周角，剩下的角度之和就是n边形的内角和，根据乘法分配律，180°× n-360°=180 °×n-180°×2=（n-2）×180°。

教师没有满足于学生总结出的多边形内角和的计算方法，而是把学生的思考引向深入，从更一般的角度论证方法的正确性和广泛性，拓展了规律的适用范围，学生在合情推理的过程中感悟了多边形内角和规律从特殊到一般的飞跃，通过分析和推理，学生体验了数形结合与数学建模等思想方法在实现规律一般化过程中的魅力。

推理是规律探究和数学思考的基本方法，也是从已有判断得出新判断的思维方式。教师要充分重视逻辑推理在规律探索中的重要作用，包括合情推理和演绎推理。从特殊到一般的思维路径属于合情推理，从一般到特殊的思维路径属于演绎推理。学生从猜想与验证开始探索规律，而逻辑推理可以把学生对规律的认识推向深入，使其从更一般的角度认识规律的科学性和广泛性，养成严谨思考、严密论证的探究习惯。

三、比较—分析—建构，把握规律间的整体联系

数学知识不是孤立的，而是内部联系紧密的系统化的整体。变化和联系的观点是数学研究的核心思想，因而数学规律既可以从一种形式转化为另一种形式，又可以从一种数学规律出发探索出其他规律。学生对规律的探索是一个从不同角度、不同层次逐步丰富认识、加深理解的过程。在探索规律的同时，我们要重视引导学生对规律进行比较和分析，帮助学生很好地建立起规律之间的结构性认识，促进学生的数学思维水平伴随着数学规律的整体建构而不断提高。

研究图形变化时，学生提出了“如果将一个立体图形按n∶1的比例放大，放大后与放大前体积的比应该是n3∶1”的猜想，并通过举例验证和实际测量验证，证明了长方体、正方体、圆柱体、圆锥体的体积变化规律都符合这个猜想。教师继续引导学生脱离具体图形和特殊数据，从计算体积的基本公式出发，从更一般的角度推理论证了所有的立体图形都符合这个规律。学到这里，教师请学生反思：“立体图形体积的变化规律、平面图形面积的变化规律、线段长度的变化规律三者之间有什么联系？”有的学生发现，将一个图形按n∶1的比例放大，放大后与放大前图形对应边长度的比是n∶1，面积的比是n2∶1，体积的比是n3∶1。也有学生发现，对应边长的比和图形放大的比是一致的，面积的比是放大的比的平方，体积的比是放大的比的立方，只要知道了三者中任意一个比就能推算出其他两个比。还有学生结合之前对规律一般化的推理过程，以长方体为例，总结出在一维空间里，线段变化只受线段长度本身的影响;在二维空间里，面积变化要受到长度和宽度两个乘数的影响;在三维空间里，体积变化要受到长度、宽度和高度三个乘数的影响。每增加一个维度，对应的乘积就要多受一个乘数的影响。

教师引导学生站在思维的制高点，从不同维度对线、面、体的变化规律进行分析和比较，将一个图形按照n∶1的比例放大时的对应边长比、面积比、体积比建立起整体联系，发展了空间观念。学生完善了图形变化规律的知识结构，实现了主体思维的不断强化。在反思规律间联系的过程中，学生丰富了探索规律的经验，实现了数学的深度思考，发展了思维水平。

在探索规律的过程中，教师要引导学生及时反思新旧知识间的关系，体会探究活动更深层次的意义和价值。并引导学生站在数学的视角，通过对规律的比较与分析，拓展数学思维，按照由简单到复杂、由低纬到高纬的逻辑顺序去建立规律间的联系，为今后研究更复杂的规律积累经验，也为从事更高水平的数学研究和创造活动打好基础。

维果斯基认为，学习过程是概念转换的过程，即学生受到新的知识经验影响而改变认知，对原有概念重新建构的过程。学生掌握了探索规律的科学方法，实现了规律的深入理解和自主建構，可以有效地提高数学概念转换的效果。在探索规律的教学活动中，我们要充分引导学生用数学的眼光观察，善于发现规律，勇于提出猜想;用数学的思维思考，对规律进行广泛验证，严密求证;用数学的语言交流，把握规律间的联系，感受数学的魅力。这样既能充分发挥探索规律的教学价值，又能使学生收获真正的数学素养，提升我们的教学品位。

参考文献：

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