极坐标与参数方程几何意义考查中的“破剑式”——坐标系与参数方程中的快速“破题”技巧小结

广东 朱伯举

虽然坐标系与参数方程的内容在高考全国卷中属于选考内容，只作为两道选做题的其中之一，难度中上，分值为10分，但该内容几乎是各学校高考备考的“必争之地”.该内容是解析几何的延伸和拓展，高考更注重对参数方程和极坐标几何意义的考查.于是，如何灵活运用极坐标与参数方程几何意义便成了解决该类问题的关键.武侠小说中独孤九剑的“破剑式”善于寻找各路名家剑法的破绽从而击破对手，而极坐标与参数方程的几何意义也有其独特的“破剑式”，灵活运用能快速帮助我们“破题”.

从近几年的高考全国卷试题中不难发现，对极坐标与参数方程几何意义的考查主要分成以下三类：一是利用参数方程设动点坐标解决问题；二是利用极坐标中的极径ρ和极角θ的几何意义解决问题；三是利用直线参数方程中参数t的几何意义解决问题.这三种几何意义的运用通常“藏于”高考题中，甚至同一道题可以运用多种几何意义，实现一题多解.学生在解决问题时最大的困难是审题时眼花缭乱，不知道从哪一种几何意义入手，实现“破题”.下面笔者将分别举例说明以上三种几何意义的“破题”技巧，帮学生练成极坐标与参数方程几何意义运用中的“破剑式”，实现同类型题目“多题一解”.

类型一：利用参数方程设动点坐标解决问题

参数方程的一个重要意义是可以代替曲线中动点坐标，所以利用参数方程来设动点坐标解决问题在高考全国卷中屡见不鲜，而且以该内容为考点的题目特点鲜明，往往涉及曲线中的动点到定直线的距离问题.例如2016年全国卷Ⅲ、2017年全国卷Ⅰ和全国卷Ⅱ以及2019年全国卷Ⅰ的22题都是考查曲线动点距离最值问题.下面笔者以2019年全国卷Ⅰ第22题为例，分析和总结该类型题的快速“破题”技巧.

(Ⅰ)求C和l的直角坐标方程；

(Ⅱ)求C上的点到l距离的最小值.

思路分析：本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化和椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常是用参数方程表示椭圆上的点，将问题转化为求解三角函数的最值问题.

“破题”技巧小结：题目中的设问“特征”为“求曲线上动点到直线距离的最值”，那么该题的考查类型为利用参数方程的意义设动点坐标，再结合点到直线的距离公式和三角函数辅助角公式解决问题.

类型二：利用极坐标中的极径ρ和极角θ的几何意义解决问题

在极坐标系中，有以下几个概念：

1.极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；

2.极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ；

3.极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ).

也就是说，极径ρ和极角θ分别代表一段距离和一个角，而且这段距离和这个角都与极点即坐标原点有关.高考命题也多次从该几何意义进行考查.例如2015年全国卷Ⅰ和全国卷Ⅱ、2016年全国卷Ⅰ、2017年全国卷Ⅱ和2019年全国卷Ⅲ的22题都可以利用该几何意义解决问题.下面笔者以2017年全国卷Ⅱ第22题为例，分析和总结该类型题的快速“破题”技巧.

例2：(2017·全国卷Ⅱ·文22理22)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.

(Ⅰ)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

解析：(Ⅰ)设P点的极坐标为(ρ,θ),

思路分析：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互相转化、极坐标的几何意义和三角恒等变换等内容.第(Ⅰ)问中设点的极坐标，结合条件确定线段OP与OM的关系式，利用代入法即可确定相应的轨迹方程，进而转化为直角坐标方程.第(Ⅱ)问中设点B的极坐标，利用极坐标的几何意义表示出三角形的面积，再结合三角恒等变换的方法，把问题转化成求三角函数的最值问题.

难点突破：本题的主要难点是对于极径的意义理解不到位，其一，不能建立极径与线段OP，OM之间的联系，从而无法快速求出点P的轨迹方程；其二，不能利用极径的几何意义建立△OAB的面积模型进行求解，而是顺着第(Ⅰ)问的思路在直角坐标系下寻求解题思路，结果造成不能顺利建模或是建立△OAB面积关于直线斜率OB的函数关系，致使解题过程复杂化，计算量加大，最终无法准确求解.笔者认为学生对极径的意义理解不到位，不能灵活使用极径解决问题的根本原因，主要是很多学生在审题时无法判断“什么时候合适考虑使用极坐标的几何意义”.

其实，这一题里面有一个明显的特征：O，P，M是以极点为起点的射线上的三点，同时O为极点(原点).我们刚好可以通过这一特征建立极径与线段OP，OM之间的联系，快速“破题”，利用极坐标的意义来解决问题.

“破题”技巧小结：题目的条件中存在“经过极点(原点)的直线或者射线”的几何条件，多从极坐标的几何意义角度“破题”.另外，与解析几何相同，坐标系与参数方程的核心内容也是利用代数的手段研究几何问题，因此正确的作图对于成功解题有着决定性作用，应养成边读边画，以图助理解，以图找思路的良好习惯，图形引领数形结合，这样才能发现题目中的“破题”关键.

迁移运用：对于本题的第(Ⅱ)问，我们若能发现线段OA的长为定值，那么三角形OAB的面积实际上可以转化为动点B到定直线OA的距离最值问题，那么该问我们也可以用上文所说的类型一的题目特征来实现“破题”.

类型三：利用直线参数方程中参数t的几何意义解决问题

近几年高考全国卷中对于t的几何意义的考查并不是很常见，但在2016年与2018年的全国卷Ⅱ中的22题均可以用该知识点解决.该类问题往往也可以通过转化为直角坐标利用解析几何的方法完成，但有时候这样做计算量较大.下面笔者以2018年全国卷Ⅱ中的22题为例，分析和总结该类型题的快速“破题”技巧.

(Ⅰ)求C和l的直角坐标方程；

(Ⅱ)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率.

当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y=tanα·x+2-tanα，

当cosα=0时，l的直角坐标方程为x=1.

(Ⅱ)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0.①

思路分析：(Ⅰ)根据同角三角函数关系将曲线C的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意根据斜率的存在情况分两种情况讨论.(Ⅱ)将直线参数方程代入曲线C的直角坐标方程，根据参数t的几何意义得sinα,cosα之间的关系，求得tanα，即得直线l的斜率.这里，能否利用直线参数方程中参数t的几何意义是能否顺利求解的关键.

难点突破：本题第(Ⅱ)问可以利用直线参数方程中参数t的几何意义完成解答，但是怎么想到能够用该意义完成呢？这里对直线参数方程中参数t的几何意义使用的前提认识到位很重要.笔者认为直线参数方程中参数t的几何意义有两大关键词“标准方程”和“定点”.该题中直线的参数方程的标准形式中的定点为(1,2)，而该点也刚好为第(Ⅱ)问中所提及的“曲线C截直线l所得线段的中点坐标”，这一特征显得特别重要，这一条件恰好为我们使用直线参数方程中参数t的几何意义提供了前提，发现这一特征正是“破题”关键.

“破题”技巧小结：直线参数方程中参数t的几何意义的使用与“直线参数方程的标准方程中的定点”有很大的联系，所以当我们发现题目条件中所提供的点与直线参数方程的标准方程中的定点“不谋而合”时，这不是“巧合”，而是一个提示：该题可以利用直线参数方程中参数t的几何意义求解.