聚焦核心素养，深度探究变式——一类解析几何面积最值问题的教学实录及反思

广东 骆妃景 潘敬贞

高三数学复习备课，肩负着回顾及梳理知识的来龙去脉、提高学生数学“四能”、发展学生数学素养水平等重任.怎样才能实现高效备考、提高学生解题能力、培养学生数学素养是每位高三数学教师必须用心研究的课题，笔者在教学实践中基于数学核心素养开展深度教学研究.实践表明，“聚焦核心素养，开展深度教学”的教学模式对提高高三复习效益、提升学生的思维广度和深度、促进学生数学核心素养的提升大有帮助.聚焦核心素养的深度教学是以学生为主体、以数学问题为核心、以变式探究为主线、由表及里、层层递进、循序渐进地让学生经历问题的探究过程、拓宽思维宽度、体验解题过程、积累解题经验，最终掌握解决问题的通性通法.本文以“一类解析几何面积最值问题的教学”为例，从一条直线与椭圆的交点与坐标原点的连线围成的三角形面积基础题出发，开展深度变式探究教学.现将课堂教学实录及其反思整理如下，以期达到抛砖引玉之效.

一、教学实录

1.基础问题驱动，理清基本思路

(学生思考，展示解法)

师：很好，这位同学的解题视角是直接根据三角形的面积公式，选择边AB为底，利用弦长公式及韦达定理求出AB的长度，利用点到直线的距离公式求出AB边上的高，从而根据三角形的面积公式求出△AOB的面积.其他同学有不同的解法吗？

生2：我的思路与生1的思路大致一样，但我是先解方程求出A，B两点的直角坐标，再利用两点间的距离公式求出AB的长度，这样解计算量很大.

师：嗯嗯，直线方程与曲线方程联立消元后得到的一元二次方程容易解，求两点的坐标也不失为好选择，所以我们解题时要善于选择合适的方法，方可优化运算，简化解题过程，提高解题效率.

生3：根据之前的经验，因为AB过x轴上的定点，所以我利用分割法求△AOB的面积，也就是将△AOB分割为以OF2为同底的两个三角形(△AOF2与△BOF2).

【设计意图】以一个相对基础而又重要的问题为切入，学生自己动手解答，既能快速有效地吸引学生的注意力，进行问题的思考与解答，探究解法，优化运算过程与解答过程，培养学生的数学逻辑推理、数学运算等核心素养，又能引导学生回顾求解直线与圆锥曲线相交弦与已知点围成的三角形面积问题的常用方法，内化数形结合、函数与方程等数学思想方法，提升对问题的整体把握能力，为后面开展深度探究活动提供了良好的素材和铺垫.

2.聚焦核心素养，深度变式探究

师：能否适当改变问题1的条件，并得到相应的结论呢？请大家思考，小组合作讨论，自己动手变式.(通过小组讨论，教学巡堂引导，给出以下变式)

生4：因为已知直线l过F1，所以只需求出直线l的斜率就能利用点斜式得到其方程.根据问题1的解题经验，利用分割法求△ABF2的面积.

则Δ=72k4-4(1+3k2)(6k2-3)=12k2+12>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

整理得k2=1，即k=±1，

师：非常棒，这位同学在设直线的点斜式方程时很细心，先考虑直线斜率不存在的情况，这是很多同学容易遗漏的，生4逻辑非常严谨，思维很缜密！还有其他解法吗？

则Δ=8m2-4(3+m2)(-1)=12m2+12>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

师：哇，非常好，学以致用，用分割法求面积，并反设直线方程简化解答过程，大大减少了运算量，有效回避讨论直线的斜率是否存在，这是我们必须要熟练掌握的方法，生5非常善于灵活运用学习经验，选择最优化的解题思路，值得我们为他点赞！

【设计意图】引导学生回顾求过x轴上的定点的直线方程的两种常用方法，深刻体会两种方法的优劣，培养学生优化运算的意识，促进学生数学运算核心素养的提升，并为下面更一般化的变式的简洁解答作铺垫.

变式探究2：去掉问题1中“斜率为1”这一条件，求△AOB面积的最大值，并求出此时直线l的方程.

则Δ=8m2-4(3+m2)(-1)=12m2+12>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

我算到这里就被卡住了.

师：本题涉及的知识点多，综合性强，运算量大，能做到这里已经很棒了，解答的思路清晰明了，能围绕目标合理转化，反设直线方程，有效地优化运算过程，利用分割法将三角形的面积构造成自变量为m的函数，然后接下来再想办法求S(m)的最值，此为解决该类问题的通性通法.那接下来怎样求S(m)的最大值呢？哪位同学来挑战一下？

师：很好，非常棒！换元法是一种非常重要的方法，换元法有效地将复杂的问题转化为熟悉且简单的问题进行解决，生7的解法就这样，很巧妙地将问题解决了，大家可以学习借鉴.

(过了7分钟，学生8上台展示)

生8：因为直线l过x轴上的定点且斜率显然不为0，故设直线l的方程为x=my+c，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

根据上题的经验，用分割法求△AOB的面积，

即m=0，直线l的方程为x=c.

师：真的太棒了！经历了前面问题的学习，相信大家也积累了一些学习经验，解决本题的思路虽然已清晰，但完整解决本道试题需要很强的运算求解、推理论证等数学综合能力.生8完成得非常漂亮，解答过程思路清晰，推理过程思维严谨，数学符号运算能力更是棒，展现出了该同学具有较高水平的数学素养，大家为他的优秀表现鼓掌(此时教室响起了热烈的掌声).

师：此时我想再提个问题，变式探究3的条件不变，请问△ABF1面积的最大值又是多少？它与△AOB面积的最大值有什么关系呢？大家思考一下，想好就直接说说自己的想法.

师：非常漂亮，利用分割法将△ABF1的面积分割成△AF1F2与△BF1F2的面积之和，很快就得出结论.因此，大家在解决问题时要善于观察、分析寻找联系，将问题转化为基本问题解决.

师：本题与变式探究3有很多相似之处，解答思路也基本相同，但解答过程显然更加复杂，对数学综合能力的要求也更高.但生10依然完成得非常漂亮，大家为他鼓掌(此时教室响起了热烈的掌声).此时我们就完成了有关直线与椭圆相交的交点及某个特殊点的连线所围成三角形面积的求解的探究过程，相信大家也掌握了该类问题的求解策略，但需要大家进一步的探索与实践.

【设计意图】引导学生深入思考，亲身经历对问题的自主探究与拓展，合作交流，积极参与数学运算，数据处理和变形，优化技巧，总结归纳有关此类面积最值问题的一般策略，根据条件，建构合理的函数模型，表示出三角形面积的函数解析式，然后结合已知条件利用不等式或者函数单调性求最值，抽象出一般性结论，让学生体会数学的魅力与张力，培养学生的逻辑推理、数学抽象、数学建模、数据处理、数学运算的学科素养，培养学生的理性精神.

为了让学生多题归一，进一步巩固上述研究方法和解题策略，将变式问题延伸到求两条直线与椭圆相交的四个交点所围成的四边形面积，教师给出了变式探究5.

变式探究5：(2008·全国卷Ⅱ理·21)设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点.

(Ⅱ)求四边形AEBF面积的最大值.

师：有关四边形面积最值问题，通常利用分割法转化为三角形面积最值问题，如果四边形的对角线相互垂直，其面积为两条对角线长度的积的一半，然后将面积最值问题转化为距离最值问题.本题给我们的启示是：解决一个复杂的问题可以通过合理的转化为一个基本的问题.所以说，问题间是相互联系的，大家在审题时要善于抽丝剥茧，发现题目中的“蛛丝马迹”，然后将其联系起来作为解题的线索，最后将问题转化为基本问题加以解决.

【设计意图】让学生感受学习数学的快乐，体会数学问题之间盘根错节的关系，加强知识横向联系，把散落的考题连成线、铺成面、织成网，凸显问题本质，呈现题型规律，让学生在不断的“变”中深刻理解“不变”的本质，进一步提高发现问题与解决问题的能力.

3.高考链接，巩固提升

请大家选做课后四道高考真题，巩固提升：

(Ⅰ)求E的方程；

(Ⅱ)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.

2.(2014·全国卷Ⅰ文·20)已知点P(2，2)，圆C:x2+y2-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.

(Ⅰ)求M的轨迹方程；

(Ⅱ)当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积.

【答案】(Ⅰ)(x-1)2+(y-3)2=2.

(Ⅰ)求M的方程；

(Ⅱ)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值.

4.(2016·全国卷Ⅰ理·20)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

(Ⅰ)证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

【设计意图】高考题是专家的智慧结晶，高考题不仅有很好的选拔功能，同时也是教与学的好素材.因此应基于真题，因材施教，弹性作业，巩固所学，增强学习数学的信心，培养学生的数学能力，发展学生的数学核心素养水平.

二、教学反思

圆锥曲线中有关面积问题是以直线与圆锥曲线相交为背景，以交点与特殊点的连线所围成几何图形面积为研究对象.通过推理变形后提出有意义的问题.通过对问题的解答考查学生数学运算、逻辑推理等数学核心素养，考查运算求解、抽象概括等能力，考查学生化归与转化思想、函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合等数学思想方法.此类题的求解对学生的能力要求比较高，考查学生综合运用数学知识解决问题的能力.因此圆锥曲线解答题的求解成为了众多学生望而却步的考题.不少学生面对圆锥曲线解答题的解答有一定的恐惧心理，乃至直接放弃解答.因此在复习备考中要聚焦核心素养，开展深度教学，以学生为主体，以数学问题为核心，以变式探究为主线，由表及里，层层递进，循序渐进地让学生掌握解决问题的通性通法.在复习解析几何时要特别注重引导学生理解解析几何的基本思想(坐标法)，要求学生必须有画图、析图、用图的意识和习惯，只有借助图形，才能正确分析问题，寻找思路，解决问题.重视对数学思想和方法的归纳提炼，达到优化解题思维，简化解题过程的目的.

本节课以“与过椭圆焦点的直线与原点围成的三角形面积问题”为核心问题，由浅入深，不断在学生最近发展区进行辨识探究，使学生能够“跳一跳，够得着”，让课堂在学生自主探究、小组合作中迸发思维的火花，促进数学核心素养的发展.深度变式探究，尽管问题在变，探究的角度在变，但问题的本质不变，解题方法不变.

深度变式探究问题要具有延展性.本节课不断地在变式中寻求不变点，让学生认清问题的核心，掌握解题方法.从过椭圆焦点的定直线与原点围成的三角形面积引入，题目简单，方法易选择，运算注技巧，细节要完善.将问题延展到过椭圆焦点的动直线与原点围成的三角形面积最值，由特殊到一般，与定椭圆相交的任意直线与原点围成的三角形面积最值，步步展开，让学生在“变”中掌握“不变”的解题方法，发展学生的数学运算、逻辑推理、数学抽象核心素养.最后利用高考真题探究，让学生把解决问题的方法迁移到两条直线与椭圆相交所围成四边形的面积，形成相关系列问题，将考题有序地串联起来，这样的变式延展，能引导学生学习在变化中抓住不变量，“以不变应万变”.在学习过程中让学生体会数学的魅力与张力，培养学生的理性精神.