基础性 综合性 创新性 选拔性——2019年高考全国卷Ⅰ圆锥曲线试题评析及备考建议

福建 陈崇荣

教育部考试中心任子朝先生在《新高考数学学科考核目标与考查要求研究》中提出“高考数学学科在考查过程中要体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求”.2019年高考全国卷Ⅰ对圆锥曲线的考查在注重基础性和体现综合性的同时，突出选拔性和创新性.下面一起来欣赏2019年高考全国卷Ⅰ中的圆锥曲线试题.

1.注重基础性

基础知识的理解、基本能力的发展和基本态度与价值观的养成，是学生未来发展和终身发展的基础.数学教育的传统基础是指基础知识、基本技能和基本能力，后来随着课改的深入又增加了对过程性目标以及重视学生情感、态度与价值观的培养等.

圆锥曲线是中学数学的核心内容，圆锥曲线基础知识的理解和思想方法的掌握，对发展学生的核心素养发挥着基础性的关键作用.因此每年高考应覆盖椭圆、双曲线、抛物线的概念、几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，通过对圆锥曲线的概念、几何性质基本方法的考查，增强考查内容的基础性；同时通过对圆锥曲线基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验的全面考查，强化学科基础，使学生牢固掌握解决问题的基本方法和工具，促进学科核心素养的提升.

例1.(2019·全国卷Ⅰ理·10)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若│AF2│=2│F2B│，│AB│=│BF1│，则C的方程为

( )

解析：如图，设|F2B|=m，则|AF2|=2m,|BF1|=|AB|=3m，由椭圆的定义有2a=|BF1|+|BF2|=4m,所以|AF1|=2a-|AF2|=2m，所以A(0,b).

点评：本题考查椭圆、直线以及三角形的基本概念和性质，试题的设计体现基础性，以及灵活运用知识的能力和数形结合的思想，给不同水平的学生提供广泛的研究空间，学生可以根据自己的能力水平得到不同的解题路径和方法.考查的核心素养目标是逻辑推理、数学运算素养,体现了2017年版新课标的基本理念.

2.体现综合性

综合性是指学习者对其所拥有的数学知识、数学能力、数学态度和数学品质的有效整合.高考试题内容的综合性要求学生注重认识事物整体的结构、功能和作用，以及分析理解事物变化发展的过程，鼓励学生从整体上分析各种现象的本质和规律，促进学生形成一个更加全面、完整的认知结构.在这个过程中，学生可以体会数学思想方法在分析问题、解决问题中的运用.

圆锥曲线涉及知识点众多，而试卷的容量有限，因此只能通过综合设计试题，将圆锥曲线的多个知识点衔接起来考查.如将直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的概念和几何性质相结合考查，或者结合平面向量、平面几何知识等学科内容知识的结合考查.要求学生能综合应用所学知识、原理和方法分析问题和解决问题，从整体上分析各种现象的本质和规律，促进学生形成更加全面、完整的知识网络.

点评：本题考查的知识是平面向量中的相等向量、垂直向量，双曲线的渐近线和离心率，考查的核心素养目标是逻辑推理、直观想象和数学运算素养.作为填空题的最后一题，本题需要学生有清晰的逻辑思维能力、良好的直观想象能力，知识的综合理解能力.本题有较好的选拔功能与良好的区分度，有很好的教学导向作用，引导中学数学教学在提高学生的综合分析能力、问题转化能力和逻辑推理素养方面下工夫，凸显了数学新课标的基本要求.

3.突出创新性和选拔性

创新意识是理性思维的高层次表现.高考数学要充分利用学科特点，加强对创新能力的考查.主要途径有：增强试题的开放性和探究性，加强独立思考和能力的考查；通过创设新颖的试题情境，创新试题呈现方式，考查学生的阅读理解能力，体现思维的灵活度；提出有一定跨度和挑战性的问题，引导学生进行深入思考和探究，展现学生分析问题和解决问题的思维过程，考查学生的数学抽象和逻辑推理素养.

(Ⅰ)若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

根据韦达定理有y1+y2=2，y1y2=-3t.

点评：本题考查抛物线的几何性质，考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量和弦长公式的应用.综合考查了逻辑推理和数学运算等核心素养，以及数形结合思想、函数与方程思想和化归与转化思想.

4.复习备考建议

2019年高考数学全国卷Ⅰ圆锥曲线试题，难度适中，紧扣新课程标准、考试说明，考查内容全面.突出考查学生对基础知识的掌握，同时更重要的是考查学生核心素养的发展水平，以区分和选拔学生.根据2019年的圆锥曲线试题分析，谈谈如下复习建议.

4.1回归教材，注重基础，强化运算求解能力,提升核心素养

2019年全国卷Ⅰ对圆锥曲线的基础知识进行了全面考查，如圆锥曲线定义、几何性质和直线与曲线位置关系等，而且不回避热点，如离心率问题或弦长问题等.因此要回归课本复习基础知识，使学生了解知识的发生、发展和应用过程，夯实学生的知识基础，使学生掌握解决问题的工具.每年的高考试题很多都是由课本习题改编而来，源于课本，高于课本.所以在复习备考时要重视教材上的例题和课后习题.例如人教B版选修2-1P74巩固与提高第4题中也是“已知直线与抛物线相交所得弦长，求直线方程”，很明显应该就是2019年全国卷Ⅰ第19题的影子.

数学运算是数学六大核心素养之一.圆锥曲线复习过程中，如何更好得落实新课标精神，提高学生的数学运算素养尤其重要.2019年全国卷Ⅰ第19题要求学生在短时间内选择恰当的直线方程代入抛物线方程进行准确的计算化简求值，还是有一定困难，因为不同的直线方程涉及的计算量不一样.因此平时要引导学生进行大运算量的练习，有些问题不能只想不练，争取每周完整计算1-2道圆锥曲线试题，提高学生数学运算素养.

4.2重视圆锥曲线的几何性质，切实提升数形结合思想和化归与转化思想在解决问题中的运用

自从笛卡尔创设解析几何以来，代数法成为解决解析几何问题的通性通法，但是解析几何问题的本质是几何问题，利用几何中的几何性质解答往往能避开烦琐的代数运算，起到出奇制胜、事半功倍的效果.纵观2019年的高考圆锥曲线试题，其中都离不开图形分析，而且需自己画图，数形结合处理问题才会游刃有余.因此在平时的教学中，要训练学生多画图，因为画图既可以帮助学生理解题意，又可以帮助学生快速找到解题思路.2019年全国卷Ⅰ第10、16、19题，数形结合是解决它们的强有力的“武器”，特别是第16题，角度关系、长度关系、平面几何关系等都是从图形中推理出来的，没有图就如“巧妇难为无米之炊”一样.

4.3研究2017年版新课标，关注核心素养导向下的高考命题的改变