使旋转圆“跃然纸上”
——关于2017年全国卷Ⅱ第18题的困惑与前行
2020-11-13广东黄兴仲
广东 黄兴仲
旋转圆问题,由于其轨迹变化多样,学生在解决此类问题过程中难以抓住临界条件,致使解题无法继续进行。教学上常以PPT、几何模板、实物等形式辅助,但并不适合于考场环境下的求解。笔者在借鉴和分析的基础上,探索出一种只使用圆规作图的方式让旋转圆“跃然纸上”的办法,使此类问题迎刃而解。
一、原题展现
图1
【2017年全国卷Ⅱ第18题】如图1所示,虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场,P为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点,在纸面内沿不同的方向射入磁场。若粒子射入速率为v1,这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上;若粒子射入速率为v2,相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则v2∶v1为
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【分析】解决此题的关键点在于画出粒子的运动轨迹草图,从而确定打到最远处粒子的位置。
图2
【解析】当粒子在磁场运动半个圆周时,打到圆形磁场的位置最远(如图2)。
【困惑】本题的要点及难点在于如何画出粒子的运动轨迹图,从而确定打到最远处粒子的位置。
【前行】笔者经过查阅资料后发现,要画出粒子的运动轨迹图,有如下几种方式,一是采用自制圆纸板帮助学生理解该动态过程,二是采用PPT、几何画板等软件帮助学生理解动态过程。但这两种方法都只是适用于平常环境,在考场环境中学生无法有效利用工具画出粒子的运动轨迹图。笔者在借鉴和分析的基础上,认为在考场环境下,可简单地使用圆规作图画出草图,从而确定粒子的临界运动位置。
二、使旋转圆“跃然纸上”
1.旋转圆的基本知识
要使旋转圆“跃然纸上”,首先需要了解旋转圆的一些基本特点:
(2)粒子在磁场中能经过的区域,是以粒子源为圆心,以2R为半径的大圆。
2.旋转圆“跃然纸上”的步骤
在常规教学中,可以实物的形式,帮助学生进行分析,使学生建立起相关概念,为旋转圆“跃然纸上”的理解做好铺垫。根据旋转圆的基本知识,实现旋转圆“跃然纸上”的基本步骤为:
(1)画出以粒子源为圆心,2R为半径的大圆(以下称为轨迹圆);
(2)画出以粒子源为圆心,R为半径的圆(以下称为圆心圆);
(3)在圆心圆上任意定一点,画出以该点为圆心,以R为半径的圆(以下称为基本圆),并根据左手定则,画出在该点的速度方向;
(4)以该点为旋转定点,以速度方向为移动棒,使基本圆进行旋转,即可轻松作出临界状态的圆(如图3)。
图3 基本圆旋转示意图
三、应用
【例1】以2017年全国卷Ⅱ第18题的原题为例,先在原有的磁场圆中画出轨迹圆、圆心圆、基本圆并标出其速度方向(如图4),然后以P点为旋转点,以速度方向为移动棒,推动着圆进行旋转,可知带电粒子距出射点最远的点为轨迹圆与磁场圆交点的地方(如图5),即说明当粒子在磁场运动半个圆周时,此时打到圆形磁场的位置最远,从而为后续解答打下坚实的基础。
图4
图5
【例2】如图6所示,一粒子发射源P位于足够大绝缘板AB的上方d处,能够在纸面内向各个方向发射速率为v、电荷量为q、质量为m的带正电的粒子,空间存在垂直纸面的匀强磁场,不考虑粒子间的相互作用和粒子重力。已知粒子做圆周运动的半径大小恰好为d,则
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图6
A.能打在板上的区域长度是2d
【分析】设磁场方向垂直于纸面向里,粒子在纸面内向各个方向发射相同速率的粒子,粒子又要打在板上,要解决这类问题,首先需满足d<2R,其中d为P点到绝缘板的距离,R是圆的半径(如图7)。其次解决该类型问题,其基本步骤为:先确定临界状态圆的位置,而后确定该圆心。对于该题而言,主要集中两个方向,一是粒子打在板上的最远处,二是粒子到达板上时间的最值。
图7
1.求粒子打在板上的最远处
(1)确定临界状态圆的位置
通过先前的使旋转圆“跃然纸上”的步骤,则可判断出打在板上的两个临界圆的位置,分别为向右旋转至刚好与直线相切、向右继续旋转至通过轨迹圆与直线相交点的圆。
(2)确定圆心
图8
对于后者,只需连接固定点与轨迹圆和直线相交的点,刚好与圆心圆相交的点即为所要的圆心(如图9)。
图9
2.求粒子到达板上时间的最值
由于基本圆的半径均相等,故可通过圆心角、弧长或弦长进行灵活选择判断。当圆心角大于180°时,通常采用基本圆进行旋转,取其弧长最大或圆心角最大,而当圆心角小于180°时,采用弦长进行判断较为容易。基于此,可以作出粒子到达板上最长时间对应的圆(如图10)和最短时间对应的圆(如图11)。
图10
图11
【例3】如图12所示,S处有一电子源,可向纸面内任意方向发射电子,平板MN垂直于纸面,在纸面内的长度L=9.1 cm,中点O与S间的距离d=4.55 cm,MN与SO之间的夹角为θ,板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度B=2.0×10-4T,电子质量m=9.1×10-31kg,电荷量e=1.6×10-19C,不计电子重力。电子源发射速度v=1.6×106m/s的一个电子,该电子打在板上可能位置区域的长度为l,则
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图12
A.θ=90°时,l=9.1 cm B.θ=60°时,l=9.1 cm
C.θ=45°时,l=4.55 cm D.θ=30°时,l=4.55 cm
【分析】此题对比例2,难点在于板在转动,但其本质仍与例2中求解粒子打在板上的最远处的过程一样。
图13
图14
因θ不定,根据图14可知,要使电子轨迹与MN相切,则电子轨迹圆的圆心C落在与MN距离为r的平行线上(如图15)。
图15