巧用手边工具，易化磁场直线边界作图问题

2020-11-13江苏王烨丽顾荣芳

教学考试(高考物理) 2020年1期

江苏王烨丽顾荣芳

带电粒子在磁场中运动的物理问题是高三复习教学的重点之一。分析这类问题的难点在于题型多变、作图困难、几何关系不明确。为了有效提高学生对磁场中带电粒子运动问题的分析能力，本文结合教学实践，探讨了使用直尺等数学工具的图解方法来帮助学生更加高效地解决此类问题，拓展分析物理问题的科学思维。

一、引言

中学物理阶段，对带电粒子在磁场中运动问题的分析能够有效培养学生的物理思维，提高学生对物理问题的分析归纳能力。因此，这类问题一直是高三复习及教师教学的重点，更是高考的热门考点之一。然而，这类问题具有情境多变、形式多样的特点，加之需要严密的数学分析推理，导致学生在分析这类物理问题时举步维艰。

在这类问题中，带电粒子的运动轨迹与粒子的入射位置和速度密切相关(主要表现为三种：入射位置变化、速度大小变化、速度方向变化)，加上磁场边界和问题情境赋予的限制条件，学生在分析粒子运动时，通常需要找出临界轨迹，进而加深对物理问题的思考与理解。在实际教学实践中，笔者发现多数学生难于分析出带电粒子运动的临界轨迹，原因主要在于学生遇到这类问题后没有理清思路就随意地图解分析，导致分析问题时困难重重。除此之外，在分析问题时缺少作图技巧、不能规范作图也是导致学生无法高效解析这类问题的重要原因。尤其是，遇到带电粒子在磁场中运动轨迹的半径不定、圆心随动的物理问题时，学生使用常规的几何作图工具(如圆规)难以快速有效地给出准确的物理分析。

为了使学生有效掌握磁场中带电粒子运动问题的分析能力，给出解决问题的有效策略，笔者结合自身的教学实践，将与大家探讨如何使用直尺和常见的圆形工具(如一元硬币、数学工具尺等)快速找出磁场直线边界问题中粒子运动的临界轨迹，进而掌握这类物理问题的有效分析方法。

二、典例分析

图1

【典例1】如图1所示，一束带电荷量为-q的粒子以垂直于磁感应强度B方向的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，入射速度方向与左边界夹角为θ，求速度v满足什么条件，粒子不从右边界射出？

【评析】“不从右边界射出”“刚好从右边界射出”等物理语言都旨在要求学生寻找出与边界相切的临界轨迹，属于典型的临界问题。在上述典例中，粒子的入射位置固定表明带电粒子的运动是由同一点发出，其入射速度方向不变意味着带电粒子在洛伦兹力的作用下发生偏转时的圆心所处直线保持不变，但圆心与入射点的相对位置随入射速度的大小发生变化，即带电粒子偏转的圆心随入射速度的变化在特定直线上发生移动。对于这类临界问题，笔者在实际教学中综合所学物理数学知识，深入挖掘题目给出的信息，使用三种不同的图解方法，加深学生对这类问题的理解，打破固有思维，从而获得有效的解决途径。

图解方法1：用好圆规，常规分析

结合中学物理知识，分析这类问题的常规思路是通过缩放带电粒子运动轨迹圆的方法来找出满足问题情景的临界轨迹。如图2所示，我们可以使用圆规，通过改变圆规针脚之间的相对距离，尝试找出需要的临界轨迹，从而对既定问题给出准确的物理解析。

图2

【评析】圆规作为中学生常备的几何作图工具之一，其操作简单。因此，基于圆规的轨迹缩放法是学生最容易想到、易于理解接受的方法。然而，这一方法的劣势在于需要耗费较长的时间来尝试找出临界轨迹，且圆规操作不灵活、作图过程繁琐，导致部分学生为作图方便快捷，往往抛弃工具而徒手示意，以致难以顺利解决此类物理问题。为了能够快速有效地分析粒子运动的临界轨迹问题，我们将对上述典例给出更进一步的剖析，提供一种高效而便捷的分析方法。

图解方法2：借用直尺，直击要点

深入挖掘题设条件后，可以发现为了保证带电粒子恰巧不从匀强磁场的右边界射出，其运动的临界轨迹应与匀强磁场的右边界相切。由此我们可以判断出运动粒子在临界位置处的速度方向，进而分析出带电粒子运动的临界轨迹。在上述典例中，我们知道带电粒子以速度v从磁场的左边界射入后将在洛伦兹力的作用下做圆周运动，其运动轨迹的圆心位置处于入射速度的垂直方向，如图3(甲)虚线所示。结合临界运动轨迹与右边界相切的隐含条件，我们知道运动粒子在临界(相切)位置处，其与轨迹圆心的连线应与磁场的右边界相垂直。结合圆的几何性质，即圆的任意两条半径都满足长度相等且其交点为圆心位置，我们可以借助直尺，保持直尺与右边界垂直，同时平移直尺，如图3(乙) 所示。当示意的两条半径相等时，其交点即为临界轨迹的圆心位置。通过上述分析过程，我们最终可以得到运动粒子的临界轨迹如图3(丙)所示。

甲

乙

丙

【评析】带电粒子在磁场中运动的临界轨迹通常相切于磁场的边界位置。上述方法既可在原图上分析，也能在稿纸上快速操作。当分析过程对作图精确度要求不高时，只需利用直尺就能快速并较为精确地找出圆心，从而给出粒子运动的临界轨迹。相比于上一种图解方法，我们结合圆的性质，避开了繁琐的尝试过程，其图解分析更为快速准确，也更为灵活。然而，为了能够充分挖掘题设条件，学生需要对轨迹相切等过程有较为深刻的物理认知，而这正是中学物理对学生科学思维培养的重点。

图解方法3：巧用工具，提高效率

当学生对临界轨迹有比较深刻的认识后，我们可以借助日常的圆形工具(如一元硬币)来更为快速有效地分析临界运动轨迹的物理问题。在图4中，我们进一步展示了巧用圆形工具以达到简化分析过程的方法。首先，我们可以借用一元硬币画出一个圆形轨迹，用以表示粒子的运动轨迹，如图4(甲)所示。在选定位置处添加磁场的左边界，如图4(乙)所示。考虑到临界轨迹的相切条件，可以标定出磁场在右边界的位置，如图4(丙)所示，其运动轨迹的临界位置和轨迹圆心由图4(丁)表示。

甲

乙

丙

丁

【解析】上述方法直观精准，没有冗余的作图操作，给出了一个非常干净利落的分析图解，为分析物理问题时几何关系的寻找减轻了负担。当笔者将这一方法介绍给学生时，大家都觉得直观又明了。需要注意的是，有时为了迁就工具圆的大小，需要在稿纸上作图分析，而不便在原图上操作。笔者运用此图解方法教学时会事先找寻一定硬度的材料(如硬纸板)，制作出大小不一的“轨迹圆”，以满足日常教学的各种需要。同时可以给示范材料加上方向标识，使初速度和偏转方向呈现于学生眼前，将抽象轨迹具体化、可视化。相对前两种图解方法，该方法比较强调“逆向思维”，对学生的惯性思维是一个不小的挑战，一旦成功飞跃到思维的彼岸，学生将打开一个新的视觉世界，使他们的思路得以开阔，分析解决物理问题的能力得以提升。

针对上述带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题，我们介绍了的三种分析方法，分别是圆规缩放图解的常规方法、直尺图解的进阶方法，以及巧用现有图形工具的逆向图解方法。事实上，在很多常规物理问题的解析中，逆向图解往往比圆规缩放图解更方便。在规范简洁的图形上，物理量之间的几何关系更容易被发现，从而有效简化物理问题的分析过程，提高学生解决物理问题的能力。

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图5

【评析】上述典型问题的情境特点是带电粒子进入磁场的位置不定，入射速度的大小和方向不变。因此，粒子运动轨迹的出发点不固定，但在洛伦兹力的作用下其绕转圆心所在直线不变，以及绕转半径大小不变，即圆心与入射位置的相对位置不变。对于这类物理问题，圆心的变化轨迹与入射点变化轨迹平行，轨迹圆也随入射位置的移动而平移。综前所述，入射位置的移动轨迹既是圆心的移动轨迹，也是轨迹圆的平移轨迹。在这种情况下，常规的分析方法是平移轨迹圆。但教学实践中笔者发现使用圆规往往操作不方便、耗费时间长、作图痕迹多。如果采用逆向图解的分析方法，先画出假定的临界轨迹，再逐步添加磁场边界，能有效避开常规方法中繁琐的图解过程，从而使物理问题得到简明而快速有效的解决。