破解平抛运动的五种方法

2020-11-13甘肃张金龙田生杰

教学考试(高考物理) 2020年1期

甘肃张金龙田生杰

平抛运动是高中物理非常常见的一种匀变速曲线运动，也是高中物理教学的重点内容之一。该内容与生活实际联系紧密，命题取材丰富广泛，命题角度新颖多变，常以生产、生活、科技为背景命题，解题方法灵活。本文通过实例分析破解平抛运动的五种方法，旨在帮助学生提高分析问题、解决问题的能力。

破解方法1 以分解速度为突破口求解平抛运动问题

【典例1】(2016年上海卷第23题)如图1所示，圆弧形凹槽固定在水平地面上，其中ABC是位于竖直平面内以O为圆心的一段圆弧，OA与竖直方向的夹角为α。一小球以速度v0从桌面边缘P水平抛出，恰好从A点沿圆弧的切线方向进入凹槽。小球从P到A的运动时间为________，直线PA与竖直方向的夹角β为________。

图1

【点评】分析题意可知小球做平抛运动，一定要注意恰好沿切线方向进入凹槽，这是本题的突破口，从而得知速度的方向，进而对速度进行分解并利用平抛运动的规律求解。

【拓展1】如图2所示，足够长的倾角为θ=30°的固定斜面与足够长的倾斜墙壁平行放置，间距为d，从斜面顶端O点以初速度v0平抛一个可视为质点的小球，小球最后落在斜面上的C点，从小球运动轨迹上离斜面最远处的A点作斜面的垂线，与斜面的交点为B，OB=x1，BC=x2，不计空气阻力，重力加速度为g，则

( )

图2

A.一定有x1=x2

B.一定有x1

图3

破解方法2 以分解位移为突破口求解平抛运动问题

【典例2】如图4所示，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经过3.0 s落到斜坡上的A点。已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ=37°，运动员的质量m=50 kg。不计空气阻力。(取sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10 m/s2)求：

图4

(1)A点与O点的距离L；

(2)运动员离开O点时速度的大小。

【点评】本题是一道非常典型的“斜面+平抛模型”问题，解答这种题型时除了要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面的倾角，找出斜面倾角同位移与水平方向之间的关系，从而使得问题顺利解决。

【拓展2】一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图5所示，水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的取值范围是

( )

图5

破解方法3 利用假设法求解平抛运动问题

对于平抛运动的物体，空中飞行时间由高度决定，水平方向位移由高度和初速度共同决定。所以，高度相同时，水平位移与初速度大小成正比，但有时高度不同，很难比较水平位移，这时可以采用假设法。例如，通过移动水平地面使平抛物体下落相同高度，从而进行求解。

【典例3】(2015年上海卷第16题)如图6所示，战机在斜坡上方进行投弹演练。战机水平匀速飞行，每隔相等时间释放一颗炸弹，第一颗落在a点，第二颗落在b点。斜坡上c、d两点与a、b共线，且ab=bc=cd，不计空气阻力。第三颗炸弹将落在

( )

A.bc之间 B.c点 C.cd之间 D.d点

图6

图7

【解析】如图7所示，假设第二颗炸弹经过Ab，第三颗经过PQ(Q点是轨迹与斜面的交点)；则a，A，B，P，C在同一水平线上，由题意可知，设aA=AP=x0，ab=bc=L，斜面倾角为θ，三颗炸弹到达a所在水平面的竖直速度为vy，水平速度为v0，设第二颗炸弹经过水平面a后，水平方向位移

x1=Lcosθ-x0=v0t

设第三颗炸弹经过水平面a后，水平方向位移

x2=2Lcosθ-2x0=v0t2

解得t2=2t1，y2>2y1所以Q点在c点的下方，即第三颗炸弹将落在bc之间，故选项A正确。

【点评】本题采用了假设法，即斜面不存在时落点Q在c点的下方，斜面存在时，落点一定在b、c之间，解决本题也要抓住几何关系并充分利用平抛运动的规律。

【拓展3】如图8所示，AB为斜面，BC为水平面，从A点以水平速度v0抛出一小球，此时落点到A的水平距离为s1，从A点以水平速度3v0抛出小球，这次落点到A点的水平距离为s2，不计空气阻力，则s1∶s2可能等于

( )

A.1∶3 B.1∶6 C.1∶9 D.1∶12

图8

图9

【思路点拨】本题中从A点以不同速度抛出小球，竖直方向上下落的高度可能不同，很难比较水平位移，可以假设两次小球的轨迹是固定的，如图9所示，设想水平面BC高度可以调节，当BC较高时比如在1位置上方，两次小球均会落到水平面BC上，计算可得s1∶s2=1∶3。不妨设此时第一个小球刚好落到B点，而当BC高度由此逐渐降低如图中2位置，两次将分别落到斜面和水平面上，在一定范围内，随着BC往下调，s1不变，s2不断增大，比值逐渐减小；当BC降低到一定高度如图中3位置下方时，两次小球均会落到斜面AB上，计算可得s1∶s2=1∶9，且这一比值不再随BC高度的降低而变化。所以位移比应介于1∶3与1∶9之间，故选项ABC正确。

破解方法4 利用平抛运动重要推论求解平抛运动问题

求解物理问题，有时利用重要推论求解题目可以达到事半功倍的效果。平抛运动的重要推论如下：

推论1：做平抛运动的物体在任意相等时间内速度的改变量Δv=gΔt相同，方向恒为竖直方向；

推论2：做平抛运动的物体在任意时刻的两个分速度与合速度构成一个矢量直角三角形，在任意时刻的两个分位移与合位移也构成一个矢量直角三角形；

推论3：做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点；

推论4：做平抛运动的物体在任意时刻，其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为α，则tanθ=2tanα；

【典例4】如图10所示，从倾角为α的斜面上的某一点先后将同一个小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上。当小球的初速度为v1时，小球到达斜面时速度与斜面的夹角为θ1，当小球的初速度为v2时，小球到达斜面时速度与斜面的夹角为θ2，下列说法正确的是

( )

图10

A.当v1>v2时，θ1>θ2

B.当v1>v2时，θ1<θ2

C.无论v1、v2大小关系如何，均有θ1=θ2

D.θ1、θ2的大小与斜面的倾角α无关

【解析】分析本题直接利用上文中的推论5可知，从斜面上平抛出的物体落到斜面时速度方向与斜面的夹角是一个定值与初速度大小无关，只与斜面倾角有关，快速得出选项 C正确。

【点评】本题是一道非常典型的“斜面+平抛模型”问题，核心的解题思想是平抛运动的基本规律及相关的推论，熟练运用物理中的二级结论有时可达到事半功倍的效果。

图11

【拓展4】微信小程序中“跳一跳”游戏曾经有一段时间非常受人欢迎，玩游戏时需要操作者控制棋子离开平台时的速度，使其能跳到旁边平台上。如图11所示的抛物线为棋子在某次跳跃过程中的运动轨迹，其最高点离平台的高度为h，在运动过程中可视为质点，只受重力作用，在下图中能正确表示棋子速度矢量变化过程的是

( )

【思路点拨】本题是一个图象问题，分析速度这一矢量变化的过程，棋子离开平台后做斜上抛运动，水平方向为匀速直线运动，竖直方向先为竖直上抛运动后为自由落体运动，速度的变化量全部在竖直方向上，根据推论1可得出选项 B正确。

破解方法5 利用等效法求解类平抛运动问题

当物体受到与初速度方向垂直的恒定合外力作用时，其运动轨迹与平抛运动相类似，这类运动称为类平抛运动。这类运动的特点是初速度v0≠0，物体所受合外力为恒力而且与初速度方向垂直，通过将运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即合力方向)的匀加速直线运动。

( )

图12

【点评】这类问题首先要判断是否属于类平抛运动问题，接下来求出物体运动的加速度，将运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。

【拓展5】如图13所示，已知甲空间中没有电场磁场；乙空间中有竖直向上的匀强电场；丙空间中有竖直向下的匀强电场；丁空间中有垂直纸面向里的匀强磁场。四个图中的斜面相同且绝缘，相同的带负电小球从斜面上的同一点O以相同初速度v0同时沿水平方向抛出，分别落在甲、乙、丙、丁图中斜面上A、B、C、D点(图中未画出)。小球受到的电场力、洛伦兹力都始终小于重力，不计空气阻力。则

( )