基于Copula函数的导弹部件非线性退化研究*

2020-11-11贺志远吕卫民胡文林

弹箭与制导学报 2020年3期

贺志远，吕卫民，胡文林

(海军航空大学，山东烟台 264001)

0 引言

导弹部件的许多故障是由于内部材料的性能改变，比如：金属材料的腐蚀，橡胶材料的老化以及电子元器件的失效所导致。研究导弹部件的性能退化过程，合理制定维修决策，对于装备的保障工作具有重要价值。

随着工业制造水平的提高，现代产品的失效机理变得越来越复杂。产品具有复杂内部结构和许多功能，退化过程往往有两个或多个特征参量，并且它们可能是相关的。过去关于退化分析的大多数研究只涉及一个性能特征，当这个关键性能特征参数值降低到失效阈值时，产品失效[1-3]。因此，正确处理各性能退化量之间的相关性，建立多性能退化模型是十分必要的。

目前，在性能多退化模型中，最简单的情况是各特征量线性相关。文献[4]采用主成分分析法，提出了一个PCA-CMAC模型来研究设备的性能退化。对于性能特征之间的复杂相关关系，常用函数来描述性能退化之间的多重相关性。文献[5]采用逆时间尺度变换的逆高斯过程来构建边缘退化过程，通过Copula进行多性能退化建模。文献[6]认为性能退化特性受Winner过程和适应的Copula函数控制，以将特征的退化路径结合在一起。文献[7]建立了具有时间变换的Wiener过程模型评估休眠系统的可靠性，并通过多变量Copula函数描述退化特征的相关性。

某导弹部件具有典型的多性能退化特征，对其退化传统研究方法较为单一。主要存在两个方面的难题：1)该导弹部件属于典型的机电一体化设备，内部包含了电子部分和机械部分，各部分退化规律不同，导致整体退化轨迹呈现非线性。传统的线性退化模型已经无法有效的研究其退化过程。2)退化过程中，往往存在多个具有退化趋势的特征参量，只研究某一退化特征，很可能降低退化分析的准确性。针对以上问题，文中首先建立基于Wiener过程的非线性退化模型，再利用Copula函数进行多性能参数的相关性建模，最后通过实例分析，对导弹部件的退化过程进行研究。

1 基于Wiener过程的性能退化建模

1.1 线性退化

设t时刻产品性能参数的退化量为X(t)，且退化过程可用线性Wiener过程进行表达，则退化模型为：

X(t)=μt+σB(t)

(1)

式中：μ为漂移系数，σ为扩散系数，B(t)为标准布朗运动。

假设该产品的失效阈值为ω，其性能退化轨迹由式(1)的Wiener过程描述，则产品的寿命T可定义为：

T={t:X(t)≥ω|X(0)<ω}

(2)

设μ和σ为固定未知参数，由文献[8]可知，产品寿命T服从逆高斯分布，其概率密度函数为：

(3)

相对应的寿命分布函数为：

(4)

式中：Φ(·)为标准正态分布的分布函数。

1.2 非线性退化

导弹寿命周期任务剖面多变，内部设备的退化机理复杂，退化轨迹也并非全部与时间线性相关，根据这种退化特征，本节建立基于Wiener随机过程的非线性退化模型来描述导弹设备的退化。假设该设备退化过程只有一个关键性能参数，则非线性退化模型表示如下：

(5)

式中：X(0)为初始时刻的性能退化量(为方便研究，令X(0)=0)；μ(t;θ)为非线性函数；σB为扩散系数；B(t)为标准布朗运动，显然，当μ(t;θ)=μ时，式(5)转化为1.1所述的线性Wiener过程。

设σB为固定未知参数，μ(t;θ)是关于t的可导函数，则产品寿命T的概率密度函数为：

(6)

根据文献[9]，设

μ(t;θ)=λbtb-1

(7)

式中：λ为给定的漂移系数；b为固定参数。

将式(7)代入式(6)可得：

(8)

假设模型参数空间不具有随机效应，但不同项在退化中具有可变性，用漂移系数λ表示这种可变性，为了研究随机效应λ，引入以下定理[6]：

引理：若Z～N(μ,σ2)，且A，B，C，ω∈R，则

(9)

(10)

相应产品寿命T的概率分布函数为：

(11)

可靠度函数可表示为：

R(t)=1-FT(t)

(12)

2 基于Copula函数多性能退化建模

2.1 Copula函数的概念和性质

Copula函数的核心思想[10]可通过Sklar定理实现，若HX，Y(x,y)为联合分布函数，则存在一个Copula函数C(u,v)，对于x,y∈(-,)，满足

HX，Y(x,y)=C(FX(x),FY(y))

(13)

式中：FX(x),FY(y)分别为X和Y的边缘分布。

Copula具有多种构造形式，包括代数方法、几何方法以及Archimedean族[11]生成元构造法。文中主要对比研究Gumbel Copula、Frank Copula、Clayton Copula和Gaussian Copula。

Gumbel:

C(u,v)=exp{-[(-lnu)θ+(-lnv)θ]1/θ}

(14)

式中：θ∈[1,)。当θ→时，u,v→完全相关。

Frank:

(15)

式中：θ∈(-,0)∪(0,+)。当θ>0时，u,v→正相关；当θ<0时，u,v→负相关。

Clayton:

C(u,v)=max[(u-θ+v-θ-1)-1/θ,0]

(16)

式中：θ∈(0,)。当θ→时，u,v→完全相关。

Gaussian:

(17)

式中：θ∈(-1,1)。当θ=±1时，u,v完全相关。

2.2 相关性建模

产品有m个性能退化参数，分别为(X1,X2,…,Xm)，分别反映了产品退化过程中的不同特征。本节利用Copula函数对退化过程的不同特征进行相关性建模，为了方便研究，选取具有代表性的二元性能退化参数进行建模分析，并假设它们的退化轨迹符合第1.2节所描述的Wiener随机过程。

设产品退化量X1和X2不互相独立，对应的CDF分别为FT(x1)和FT(x2)，联合分布函数为F(x1,x2)。根据Sklar定理，可得:

F(x1,x2)=C(FT(x1),FT(x2))

(18)

根据Copula函数的性质，联合分布函数的概率密度函数为：

f(x1,x2)=c(FT(x1),FT(x2);α)·fT(x1)·fT(x2)

(19)

式中：c(fT(x1),fT(x2);α)为C(FT(x1),FT(x2))的概率密度函数；α为反映Copula函数中相关性的系数。

为求得相关系数α，由式(19)可得，模型的对数似然函数为：

(20)

式中：γ包含模型中所有未知参数。

3 参数估计

3.1 TSML法

对于1.1节线性退化模型，将式(4)代入式(20)，可得：

(21)

式中：γ=(α,μ1,σ1,μ2,σ2)

对于式(21)，可以直接进行极大化处理，求得未知参数，但由于γ维数较高，求解过程复杂。因此，采用两步极大似然估计法(TSML法)对线性退化模型进行参数估计。主要思路是，先极大化式(20)中不含未知参数α的部分：

(22)

式中：γ1=(μ1,σ1)；γ2=(μ2,σ2)。

根据式(4)，分别对fT(x1)和fT(x2)进行极大似然估计，通过二维搜索法求得相应参数(μ1,σ1)和(μ2,σ2)。再进行第二步似然估计，将相应参数值代回式(20)中求得α的估计值。

3.2 MCMC算法

非线性退化模型复杂，未知参数较多，进行相关性建模后将更加复杂，参数估计时，传统的似然估计法已不再适用。本节采用一种基于贝叶斯理论的Gibbs算法[12]进行参数估计。

设样本γ为一个n维变量，γ=(γ1,γ2,…,γn)，其先验分布为p(γ1,γ2,…,γn)。

Gibbs采样的步骤[13]如下：

当m足够大时，γ(m)可以看作γ的真值，从而求得样本γ的后验分布q(γ1,γ2,…,γn)，进而估计未知参数值。

4 实例分析

以2个月为周期对某导弹进行弹上部件测试，获取多个部件的测试参数，选取光纤陀螺仪作为研究对象。对于光纤陀螺仪主要采集了两个退化特征参量，分别为零偏退化数据和标度因数退化数据，退化数据如图1所示。将零偏退化数据与标度因数退化数据分别记为X1(t)和X2(t)，根据经验及工程实际，将失效阈值设定为ω1=0.5、ω2=1.5。

图1 光纤陀螺仪退化数据

首先对数据进行退化建模，分别建立基于Wiener过程的线性退化模型和非线性退化模型；其次，基于Copula函数的线性模型和非线性模型进行相关性建模；最后，对不同模型分别进行参数估计。

由于Copula函数表达形式多样，不同的Copula函数会产生不同的退化概率分布，如果不能选择合适的Copula函数，可能导致结果不正确。因此，对4种不同形式的Copula函数(Gumbel Copula，Frank Copula，Clayton Copula和Gaussian Copula)分别进行建模以及参数估计，通过AIC准则进行检验，为相关性模型选择合适的Copula函数，AIC值越小说明函数拟合效果越好。线性相关模型和非线性相关模型的AIC检验结果如表1所示。

通过AIC检验结果，线性相关模型采用Gumbel Copula函数拟合效果最好，而非线性相关模型采用Gaussian Copula函数拟合效果最好。采用相应的函数，对产品的可靠度进行分析，如图2所示。曲线R1和R4为文中建立的非线性和线性相关模型评估的可靠度；曲线R2为传统的单一性能模型评估的可靠度，选取零偏退化数据作为退化参量；曲线R3为根据光纤陀螺仪真实故障数据评估的可靠度。