基于差价补偿策略的斯塔克尔伯格博弈协调优化

蒋 敏, 孟志青, 周 娜, 沈 瑞

(浙江工业大学 管理学院，浙江 杭州 310023)

0 引言

随着产品结构和消费者消费模式的改变，越来越多的智能产品趋于生命周期短、更新换代快、新产品附加值和利润较高、产品市场价格变动剧烈和频繁的特点。作为典型的智能产品，大部分智能手机的生命周期一般仅有6～12个月，新款手机一般具有高附加值和高额利润，间接导致了旧款手机淘汰速度加快[1]。典型的手机销售模式是代理销售，手机的售价由厂家统一制定，销售商按价出售。由于手机市场竞争激烈且替代性产品较多，为迎合市场需求，避免缺货情况发生，销售商一般会选择多订购；同时，市场需求存在不确定性，制造商为了提高利润，会选择在不同阶段制定不同销售价格来吸引消费者购买[3]。在这种情况下，销售商需承担随时降价的风险和相应的损失。为了避免上述情况导致的销售商消极订货，并激励销售商增大产品订购量来扩大自身利益，制造商会提供给销售商一定的回报机制，即供应链契约[3]。契约机制可通过一定的条款约束供需双方的行为以实现供应链协调，现有的契约机制包括回购、数量折扣、收益共享、价格补偿、批发价格等[4]。

差价补偿策略(契约)是一种价格保护策略，即供应商因产品降价而对零售商的剩余产品进行一定经济补偿的策略。差价补偿策略可以降低零售商承担的风险，促进零售商产品订购量，近年来广泛地应用与医药、房地产、零售业等行业。目前，国内外学者对差价补偿策略的研究中多以零售业为背景，研究内容主要集中在以下几个方面：消费者的价格敏感度、策略消费行为等对差价补偿效果的影响；差价补偿策略对零售价格、同业竞争的影响；差价补偿策略对销售商的定价、库存影响等。例如，Coughla和Shaffer等研究了产品种类和库存空间对零售商差价补偿策略和市场盈利情况的影响，研究结果表明前者对后者影响较大[6]。Lai和Debo等研究了差价补偿策略对零售商定价、库存决策和消费者购买行为的影响，并得出结论：差价补偿策略可以减少策略型消费者的等待动机[7]。Kukai和Grewal等的研究结果表明：消费者对差价补偿策略的信任度随着补偿承诺力度增大而减小，但消费者感知的策略价值越大[8]。Desmet和Le等的研究结果表明如果消费者感知商家的售价过高，那么加大补偿力度并不能增强消费者的购买意愿[9]。周正勇等以单一生产商、单一销售商和大量策略消费者及短视消费者组成的供应链的研究结果表明：生产商的清货补偿行为可以增加销售商的订货量，并提高销售商的收益[10]。彭志强和熊中楷等研究结果表明：因为顾客的策略等待行为存在，差价补偿策略可以提高商品的销售价格，并增加销售商的利润[11]。王晓玉研究了差价补偿策略在补偿幅度和价格比较两个方面的设置对消费者光顾购买意愿的影响，发现价格比较对光顾购买意愿有显著主效应，差价补偿幅度对光顾购买意愿的影响受消费者价格敏感度的调节[12]。 Chen和Narashimha指出供应商的差价补偿策略会提高零售商的价格，零售商通过保持较高的价格组成价格联盟以此获得超额利润，并减少了行业竞争[13]。

以上的研究都表明了差价补偿策略可以有效地提高销售商订购水平，刺激更多的消费者购买，销售获得更多的利润。现有研究表明，制造商对销售商于销售期结束后的降价商品或剩余商品进行补贴的研究主要集中在价格补贴机制、价格保障机制等方面[14～20]，少有以差价补偿系数和两阶段差价为核心参数的差价补偿策略的博弈模型。价格补贴、价格保障与差价补偿虽然有相似之处，都是制造商向销售商补贴以实现风险共担，但二者的机理有较大的差别：价格补贴主要侧重于订货之前确定补贴价格，是静态的；差价补偿则针对不同销售阶段售价的差价为基础的补贴机制，该补贴随着差价的变化而变化，是动态的。并且，现有的研究大多集中在销售商和顾客之间的差价补偿策略研究，对制造商和零售商之间有关销售差价补偿策略的研究少之又少，将纳什均衡博弈与Stackelberg博弈引入差价补偿策略进行比较分析的研究还未看到。综上，本文以销售周期短、降价速度快的智能产品为研究主体，研究了差价补偿策略的Nash均衡模型以及差价补偿策略的斯塔克尔伯格博弈模型，提出了求解差价补偿策略的斯塔克尔伯格模型的算法，并证明了算法的收敛性。数值分析结果表明了差价补偿策略可以有效地增加销售商的订购量，同时提高制造商和销售商的利润。

1 问题描述与假设

差价补偿策略适用于以下情形：销售商需在销售开始前一次性订货，销售分为两个阶段，第一阶段为全价销售阶段，新产品推出期，产品销售价格较高；第二阶段为降价销售阶段，由于智能产品生命周期短，加上市场竞争激烈、同类产品的可能替代等各种因素，导致产品对顾客的吸引力降低，竞争力逐渐减小，销售商被迫采取降价销售。如果产品降价，制造商将对销售商剩余的产品给予一定的差价补偿，差价根据订货时制造商制定的差价补偿系数和产品销售两阶段差价的乘积决定。

本文以一个制造商和一个销售商组成的二级供应链为研究对象，并对研究问题做出如下假设：

第一，基于智能产品降价速度快、销售周期短、价格波动频繁等特点，模型不存在二次订货，销售商只有一次订货机会，在销售期间不能订货。

第二，销售分为两个阶段：全价销售阶段和降价销售阶段，销售商初始库存为零。

第三，每个阶段的市场需求x为一随机变量，且两个阶段的市场需求相互独立。

第四，制造商决定批发价格和差价补偿系数，销售商决定订货量，两阶段的销售价格均由市场决定。

模型中所用的参数如下：

pi：第i阶段销售价格，i=1,2。

β：差价补偿系数，是补充降价的比列，即制造商按β(p1-p2)给予销售商单位产品降价造成的损失补偿，β取值范围是0到1,0是没有补偿，当β=1时制造商完全补偿销售商降价的损失。

cM：制造商的单位产品运营成本。

cR:销售商的单位产品运营成本。

w：制造商给销售商的单位产品批发价格。

q：销售商订购量。

xi：第i阶段的产品市场需求，i=1,2。

v:第二销售阶段结束后的剩余商品单位残值。

fi(xi),Fi(xi)：分别是第i阶段需求xi的概率密度函数和累积分布函数，i=1,2。

πM：制造商期望利润。

πMR：斯塔克尔伯格博弈协调优化的制造商利润值。

πRi：销售商第i阶段期望利润，i=1,2。

πR：销售商两阶段总的期望利润。

一般的，假设上述变量与参数满足下面条件：

(1)p2

(2)v

(3)w+cR

(4)β(p1-p2)

(5)0≤β≤1，制造商对销售商的差价补偿不会超过两阶段销售价格的差比例，即制造商按β(p1-p2)给予销售商单位产品降价造成的损失补偿，取β=0说明无补偿，β=1表明降价部分全部补偿给销售商。

2 斯塔克尔伯格博弈协调优化与算法

制造商和销售商缔结差价补偿策略契约时，供应链系统各成员之间的行为过程是：首先由制造商确定批发价格w和差价补偿系数β，然后销售商根据市场需求信息、批发价格w和差价补偿系数β来确定其订购量q。在第一销售阶段，商品按价格p1出售，如果第一销售阶段结束后，商品还有剩余，未售出商品将进入第二销售阶段(降价销售)，销售价格为p2，且销售商将获得来自制造商的差价补偿β(p1-p2)，如果第二销售阶段结束后还有剩余，销售商将获得商品残值v。具体流程见图1：

图1 产品销售周期和差价补偿策略示意图

制造商在两阶段的总期望利润为：

πM(w,β)=E{(w-cM)q-β(p1-p2)(q-x1)+}

(1)

式(1)中的第一项为制造商所获利润，第二项为制造商在第二阶段对销售商进行差价补偿的损失。

对于销售商，第二销售阶段的期望利润为：

πR2(q)=E{(p2-cR)min[(x2,(q-x1)+]+v(q-x1-x2)+}

(2)

式(2)中的第一项为降价后销售商获得的利润，第二项为销售商降价产生的损失。

销售商在第一销售阶段的期望利润为：

πR1(q)=E{(p1-cR)min(x1,q)+-wq}+β(p1-p2)(q-x1)+

(3)

式(3)中的第一项为第一阶段销售商获得的利润，第二项为第一阶段剩余产品产生的损失。综合式(2)和式(3)，销售商的期望总利润为:

πR(q)=πR1(q)+πR2(q)

=(p1-cR-w)q-

(4)

式(4)中的第二部分为第一销售阶段剩余产品降价造成的损失，第三部分为第二销售阶段剩余产品的损失。

下面讨论由(1)和(4)构成的制造商与销售商的博弈模型，研究差价补偿系数下的最优批发价和订购量，简称其为补偿策略。

2.1 制造商与销售商的纳什均衡

在纳什均衡博弈的情况下，制造商和销售商按照各自的决策方式进行决策。此时，制造商和销售商会在满足自身约束的条件下，选择使得自身利益最大化的决策方案。

由式(1)，制造商的定价模型为:

maxπM(w,β)=(w-cM)q-

s.t.cM≤w≤p2-cR

β(p1-p2)≤w

0≤β≤1

(5)

制造商利润函数对β求偏导得：

令πM(w,β)求得最大值时的w、β分别为w*、β*，则w*=p2-cR，β*=0，且πM(w*,β*)=(p2-cR-cM)q*。

由式(4)，销售商的订购模型为：

maxπR(q)=(p1-cR-w)q-(1-β)

s.t.q≥0

(6)

我们将(5)和(6)合称为博弈模型(P1)。

销售商的利润函数对q>0求导得：

w=p1-cR-(1-β)(p1-p2)F1(q)-

(7)

在纳什均衡博弈的情况下，制造商和销售商各自追求自身利润最大，由式(1)～(5)可以得出销售商的最优订购量受制造商给出的批发价格和差价补偿系数的影响，即销售商的订购量是制造商的批发价格w和差价补偿系数β的函数。当批发价格w*=p2-c1，差价补偿系数β*=0，由式(7)得最优订购量q*满足下式:

(p1-p2)(1-F1(q*))

(8)

此时，销售商对应的收益为:

(9)

由此，我们可以得出以下结论。

定理1在纳什均衡博弈情形下，博弈模型(P1)中制造商的最优批发价格为w*=p2-cR，差价补偿系数β*=0；销售商的订购量q*满足式(8)。该策略下，制造商的利润为πM(w*,β*)=(p2-cR-cM)q*，销售商的利润满足式(9)。

在纳什均衡博弈中，制造商不给销售商任何补贴，销售商的实际策略应该是不订购，因为第2阶段的销售，销售商是亏本的。

2.2 制造商为主导的销售商博弈

下面考虑制造商为主导，决定批发价和差价补偿系数，销售商为从属决策者，在批发价和补偿系数确定的基础上，确定最优的订购量。其模型具体如下：

s.t. max{cM,β(p1-p2)}≤w≤p2-cR

0≤β≤1

q是下面子问题的最优解:

maxπR(q)=(p1-cR-w)q-

根据模型(P1)的推导过程，模型(P2)的最优解通过求解下面模型得到：

(P3) maxπMR(w,β,q)

s.t.w=p1-cR-(1-β)(p1-p2)F1(q)-

max{cM,β(p1-p2)}≤w≤p2-cR

直接求解模型(P3)比较困难，我们提出一个求解(P3)的近似算法。

算法1

第2步划分区间β∈[0,1]为Nk等分，取分割点

对于ik=1,2,…,Nk;jk=1,2,…,Mk，遍历计算：

w(βik,qjk)=p1-cR+(1-βik)(p1-p2)F1(qjk)-

求指标集合:Ik={(ik,jk)|max{cM,βik(p1-p2)}≤w(βik,qjk)≤p1-cR,ik=1,2,…,Nk;jk=1,2,…,Mk}，显然，(ik,jk)∈Ik，对应的(w(βik,qjk)，βik,qjk)是模型(P3)的可行解。

通过上面的算法1可以求得模型(P3)的近似最优解。

πMR(w(βik,qjk),βik,qjk)→πMR(w*,β*,q*)

得到对于某个充分小的δ>0有

πMR(w(βik,qjk),βik,qjk)>πMR(w*,β*,q*)-δ

定理2说明算法1可以求得模型(P3)的近似最优解。制造商批发价和补偿系数变化对最优订购的影响由式(3～7)可以得到:

定理3如果β<1且(w,β,q)是模型(P3)的最优解，那么，销售商的最优订购量随着w增大而减小，随着β增大而增大。

2.3 制造商和销售商的博弈协调优化

制造商和销售商之间的合作主要取决于批发价格以及差价补偿系数，供应商制定的批发价满足cM

s.t. max{cM,β(p1-p2)}≤w≤α(p2-cR)

q是下面子问题的最优解:

根据模型(P1)的推导过程，模型(P2)的最优解通过求解下面模型得到:

同样，直接求解模型(P5)比较困难，我们提出一个求解(P5)的近似算法。

算法2

w(βi,qjk)=p1-cR-(1-βt)(p1-p2)F1(qjk)+

求指标集合：Jk={jk|max{cM,βi(p1-p2)}≤w(βt,qjk)≤p1-cR;jk=1,2,…,Mk}，显然，jk∈Jk对应(w(βt,qjk),βt,qjk)的是对应(P5)的可行解。

通过上面的算法2可以求得模型(P5)的近似最优解。

证明过程与定理3的证明过程类似，这里省略。

在差价补偿策略下，销售商的订购量不低于无契约时集中供应链形式下的订购量，从而实现了供应链整体利润的最大化。

3 数据仿真实验

通过理论推导，可知制造商为追求供应链整体利润最大，促进销售商多订购，会选择使用差价补偿策略契约，即将批发价格和差价补偿系数调整到能使整体供应链利润达到最大。

下面，对模型进行数据仿真，主要验证合作博弈数值模型的可行性和相关结论的有效性。假设某手机制造商和手机销售商缔结了差价补偿契约(下面数据是根据一个手机销售商提供的实际销售运营数据，经过加工整理得到的)，正常价格销售数据量平均为200台，均方差为30，第一阶段需求服从正态分布N(200,302)；第二销售阶段的销售数量平均为100台，均方差为30，第二阶段需求服从正态分布N(100,302)，模型中各其他参数如下：p1=3999,p2=3199,cM=1200,cR=150,V=800。我们应用算法2，使用MATLAB分别计算批发价下调系数在α=1、0.9、0.8时对应不同补偿系数的近似最优批发价与订购量，对应得到了表1、表2和表3。

表1 不同补偿系数下的近似最优批发价与订购量的对比(下调系数α=1)

通过表1的数据可以看到，制造商的批发价不一定随着补偿价格增大而增大，销售商的订购量和利润随着补偿系数增大而增大，当补偿系数取0.8时，制造商利润达最大。因此，制造商应该取补偿系数0.8和批发价为2398.84，销售商会采取订购量266。与没有补偿系数相比，销售商的订购量和利润分别增加了16%和18.63，而制造商的利润提高了8.3%。补偿系数有助于提高订购量，以及制造商和销售商的利润。

表2是α=0.9在不同补偿系数下的近似最优批发价与订购量的对比。通过表2的数据可以看到，随着补偿系数增大，供应商的批发价增大到2157.39后开始减小，销售商的订购量和利润一直增大，在补偿系数为0.6时，制造商的利润达到最大。与表1相比，减少批发价下调系数，销售商的订购量和利润都分别增加，但订购量仅增加了3.76%，制造商利润减小了16.5%，销售商的利润增加了50%。因此，批发价下调可以提高销售商的订购量，显著地提高销售商的利润。

表2 不同补偿系数下的近似最优批发价与订购量的对比(下调系数α=0.9)

表3是α=0.8在不同补偿系数下的近似最优批发价与订购量的对比，通过表3的数据可以看到，随着补偿系数的增大，销售商的订购量和利润一直增大，在补偿系数为0.1时，制造商的利润达到最大。与表2相比，减少批发价下调系数，对应的订购量并没有增加，制造商利润减小了20%，因此，批发价下调系数降低时，制造商最大利润的近似最优订购量不一定会增加。以本算例中的数据来看，制造商的批发价下调系数控制在0.8以上比较合适。在表3中补偿系数为1时，算法没有得到近似最优策略，制造商与销售商之间不存在交易策略。

表3 不同补偿系数下的近似最优批发价与订购量的对比(下调系数α=0.8)

综上，通过算例我们可以得到以下结论，

(1)算法2可以算出在给定批发价系数下不同补偿系数下的近似最优批发价和订购量，可以选择制造商利润最大对应的补偿系数对应的批发价和订购量。

(2)差价补偿系数越大，销售商对应的订购量和利润越大，差价补偿系数有利于改善制造商与销售商的供应关系。

(3)批发价下调系数越小，销售商对应的订购量和利润越大，但制造商的利润越小，制造商可以选择适当的批发价下调系数，使得销售商订购更多的产品。

(4)差价补偿系数在第2个阶段使得制造商和销售商同时提高利润，有利于销售更多的产品。

4 结论

本文研究了针对智能产品类的短生命周期产品的差价补偿策略，建立了具有差价补偿系数和批发价下降系数的斯坦克伯格博弈协调订购模型，提出了求解不同差价补偿系数下的近似求解最优批发价和订购量的算法，证明了算法的收敛性。数据仿真实验的结果表明，发现在第二阶段降价销售的情况下，合理的供应链契约能够提高供应链的整体利润，在差价补偿策略下，制造商和销售商进行斯坦克伯格协调博弈，博弈结果是差价补偿系数使得制造商获得近似最优批发价格，提高销售商的订购数量，双方同时获得更多利润。

本文的研究结果可以给制造商和销售商之间关于采取差价补偿策略进行合作时提供一定的参考，双方可以根据自身在市场中的优势地位协调差价补偿策略涉及的参数，如批发价格、订购量、差价补偿系数以及利润协调方式等。差价补偿策略的研究对促进供应链成员间的协同发展，具有重要的实际参考价值，也有助于完善供应链契约的制定及供应链契约体系，丰富供应链契约理论，具有重要的学术价值。