水下低频球面声波近场与远场散射特性研究

张 健，周奇郑，王德石

(海军工程大学 兵器工程学院，湖北 武汉，430033)

0 引言

低频声波水下传播距离远，是远距离探测敌方目标的主被动声呐设备采用的重要能量形式。由于低频声波的波长不比目标特征尺寸小，致使目标表面声压和振速的比值不能近似为平面波的形式，采用传统的射线法或数值计算方法都存在较大偏差。因此，研究水下低频声波散射声压的统一渐近解，获得其散射机理，在水下声散射理论、水声测量等方面，具有重要理论和应用价值。

低频声波的散射机理是水声学研究中的基础性问题。声波在水下传播时遇到比其波长小的障碍物时会产生散射，即Rayleigh 散射。以往关于Rayleigh 散射的研究主要是针对平面入射声波[1-4]，然而采用平面声波假设计算低频散射声波与实际测量结果总有一定的偏差，因此，研究非平面声波的散射机理具有重要意义。声散射主要研究的是声波遇到目标即障碍物时的散射声场，只要目标表面和声传播介质的声学特性不同就会产生散射。严格的理论解法主要有积分方程法和分离变量法。对于散射问题，受声波激励作用的散射表面就像次级声源一样发出散射波，积分方程法是以Helmholtz 和Kirchhoff 对Huygens 原理的数学解释为基础，通过引入符合波动方程的Green 函数并根据Gauss 公式将包含哈密顿算子的体积分转化为曲面积分，从而通过被积曲面上的表面声压和法向振速求得目标的散射声场[5-6]。原则上积分方程法的解是精确的，可以应用于任意复杂形状的目标，但在具体运用时，积分方程需要用数值方法求解，又变成了一种近似方法，并且在实际计算中会出现解的唯一性和奇异积分等问题。

分离变量法本质上是将入射声场和散射声场按照某种坐标系下完备正交函数族的级数展开[7-8]，比如基本波函数的Rayleigh 简正级数，再根据边界条件以及函数的完备正交性求得散射声场的系数，最终得到散射声场的级数解。利用简正级数解可以得到目标的各种散射特性，如频率响应特性、方向特性等。对于球壳和圆柱壳等典型壳体，在入射平面声波激励下的散射问题已得到详细研究，文献[9]和[10]给出了平面波从球形和无限长圆柱形散射声压的无穷级数表达式。Rayleigh 在1872 年就给出了单频球面声波遇到球形障碍物散射问题的精确解，该解是由球Bessel 函数和Legendre 多项式相乘组成的无穷级数的叠加，不容易用于揭示散射的物理机理。近年来，Godin 等[11-12]采用级数展开的形式，研究了低频球面声波的散射问题，其研究工作距工程应用还有一定的差距。

由于可以采用分离变量法获得典型壳体声散射问题的简正级数解，且低频球面波是较简单的非平面波，因此，文中重点考虑低频球面声波遇到球形障碍物的散射问题，推导其近场和远场散射声压的统一渐近解，研究渐近解的适用性、球面波散射和平面波散射的差异以及低频球面声波的近场和远场散射特性。

1 低频球面声波散射问题无穷级数解

在水下，潜艇和鱼雷头部的椭圆结构都可近似视为球形障碍物。假定声波频率为ω、球形障碍物的半径为a、球形障碍物浸没在声速为c、密度为ρ的均匀流体介质中。以球形障碍物的中心为坐标原点，建立如图1 所示的球坐标系(r，θ，φ)。图中，O为障碍物的中心、b为声源位置、r(x，y，z)为空间任一接收点的位置，笛卡尔坐标系与球坐标系之间的转换关系为x=rsinθcosφ，y=rsinθsinφ，z=rcosθ。

图1 球面散射问题几何模型Fig.1 The geometry model of spherical scattering problem

假定入射球面波的表达式为

2 散射声压渐近解

由于低频声波波长较长，水下传播时介质对低频声能的吸收较少，能够传播的距离较远，因此，需重点研究低频声波的近场和远场特性。低频声波在水下传播时遇到尺寸比其波长小的障碍物时会发生Rayleigh 散射，因此，这里主要考虑Rayleigh 散射的情形，即假定

在该条件下，式(4)中的求和级数可以在一定精度要求下进行简化。

根据Rayleigh 公式，可以将球Bessel 函数和第1 类球Hankel 函数表示为幂级数的形式，即

由式(15)、式(16)和式(18)可以看出，当n≥2时，3 种障碍Rayleigh 散射波的级数中系数An是(ka)5高阶小量；系数An都与频率k相关，且随n的增大迅速减小，而n≤1 的情况却有所不同。对于软球、阻抗球、刚性球，n=0 时，系数A0分别与ka、(ka)2、(ka)3成正比；n=1 时，系数A1与(ka)3成正比。因此，当ka＜＜1 时，散射声波的无穷级数解可以取前3 项近似。

为了便于分析，忽略(ka)5的高阶小量，可以将3 种散射情形下，n≥2 时的系数An可以统一用A1近似表示为

式中，γ=0 和1 分别对应于软球和刚性球。

2.1 近场散射声压渐近解

考虑近场条件下声波的散射问题，即接收点和声源点都距散射体较近，有

该条件意味着： Hankel 函数可以用式(12)和式(13)表示。那么，系数An用式(19)表示，则散射声压可表示为

由式(21)可知，3 类边界条件下散射声压的不同主要体现在包含系数A0和A1的项上，而n≥1的级数可以采用统一的形式表示。A0和A1仅与入射声波的频率、散射体的半径a、以及散射体的特征阻抗参数γ有关。定义S（α，β，γ）为

式中：β=cosθ；α=a2/br；故 -1 ≤β≤1，近场条件下，0＜α＜ 1。函数S（α，β，γ）与入射声波的频率无关，且式(22)中没有大的或小的参数，不能采用近似计算方法，需要给出精确的计算结果。

对于软球体，有γ=0，根据Legendre 函数的性质[13]有

略去高阶小量，将S（α，β，γ）的表达式代入散射声压式(21)，可得低频近场散射声压的近似表达式

近场散射声压可以表示为位于散射体中心的单极子声源、散射体中心与(0，0，a2/b)之间分布的偶极子源的叠加。

2.2 远场散射声压渐近解

考虑远场条件下声波的散射问题，即接收点或声源点距散射体中心的距离较远，有

这时不要求式(20)成立。在式(8)和式(29)成立的条件下，由于式(15)、(16)和(18)中的系数An随n的增大迅速降低，不需要采用声压的衰减进行补偿，声压表达式(4)中的级数收敛很快，因此，在一定精度范围内可以采用前2 阶近似表示散射声压，球Hankel 函数采用式(13)的形式，那么远场散射声压可近似表示为

2.3 散射声压统一渐近解

通过上述分析发现，在Rayleigh 散射区，散射声压都可以表示为点声源和偶极子声源的叠加，只是要求的条件有所不同，如果能够在重叠区找到一个统一的公式表示散射声压将很有意义。

那么，散射体外的总声压可近似表达为

将A0代入式(33)可知，障碍物的存在一定程度上降低了散射声压的幅值。

3 散射特性分析

采用推导的散射声压统一渐近解研究低频声波的近场和远场散射特性。

3.1 球面波散射声压的级数解与渐近解

研究球面波散射问题的精确级数解式(4)和统一渐近解式(31)之间的关系。图2 为ka=0.1，kb=0.8，kr=0.6 时，0≤θ≤2π 范围内，3 种边界条件下散射声压的实部与虚部。

图2 0≤θ≤2π 范围内3 种边界条件下散射声压Fig.2 The scattering acoustic pressure under three boundary conditions in the range of 0≤θ≤2π

由图2 可知，3 种边界条件下，在0≤θ≤2π范围内推导的统一渐近解和球面波散射的级数解一致性较好；软球体情形下散射声压的实部和虚部在θ=0 和2π 时最小，在θ=π 时最大，且关于θ=π对称，声压虚部的幅值比实部的幅值大；而刚性球体和阻抗球情形与软球体的情形相反，散射声压的实部和虚部在θ=π 时最小，也关于θ=π 对称，且声压实部与虚部幅值的数量级相同，这与式(16)和式(18)揭示的物理意义相符，即有限阻抗小球的散射声压与刚性球的散射声压仅有微小差别，可以通过相同半径刚性球的散射声场得到有限阻抗球的低频散射场。

图3 为ka=0.2，kb=0.6，θ=π/3 时，3 种边界条件下散射声压rRe（psc）和rIm（psc）与kr的关系。由图3 可知，在给定的参数条件下，0.2＜kr＜20 范围内，统一渐近解与球面波的级数解一致性较好。图3 也表明，测量低频声波的散射特性时，应选取合适的测量点，以免测量结果处于散射声压的最小值点，致使测量误差较大。

图3 kr 变化时3 种边界条件下散射声压Fig.3 The scattering acoustic pressure versus kr under three boundary conditions

图4 为a=1，b=2，r=3，θ=π/4 时，3 种边界条件下散射声压的实部与虚部随ka的变化情况。由图可知，当ka＜0.2 时，声压渐近解的实部与虚部都与级数解的结果保持一致；而当ka较大时，刚性球和阻抗球散射的声压与级数解的结果有差异，但变化趋势一致，且最大误差仅为0.002，这主要与采用的假设条件和A0、A1的截取项有关。

图4 ka 变化时3 种边界条件下散射声压Fig.4 The scattering acoustic pressure versus ka under three boundary conditions

上述分析表明，当ka较小时，采用推导的散射声压的统一渐近解能够较好地代替无穷级数解，且可以较清晰地揭示散射问题的物理意义。

3.2 近场与远场散射特性分析

研究球面波和平面波入射情形下水下球形障碍物散射问题的近场与远场特性。文献[10]给出了平面波散射问题的求解方法，假定平面入射声波沿-z方向传播，将入射平面波按球面波分解为

平面波从球形障碍物的散射声压为

其中，bn为待定散射系数，由球形障碍物的边界条件确定，与球面波入射情形下散射声压的系数一致。

定义回声强度为[10]

采用球面波入射情形下的统一渐近解式(32)、平面波入射情形下的无穷级数解式(35)和回声强度式(36)研究低频声波的散射特性。

声源点b距障碍物较近(kb=0.4)的情形： 图5为ka=0.15，kr=0.6 时，3 种边界条件下的回声强度；图6 为ka=0.15，kr=70 时，3 种边界条件下的回声强度。

图5 ka =0.15,kb =0.4,kr =0.6 时3 种边界条件下回声强度(单位： dB)Fig.5 The echo strengths under three boundary conditions when ka =0.15,kb =0.4,kr =0.6 (Unit： dB)

图6 ka =0.15,kb =0.4,kr =70 时3 种边界条件下回声强度(单位： dB)Fig.6 The echo strengths under three boundary conditions when ka=0.15,kb =0.4,kr =70(Unit： dB)

由图5 和图6 可知，3 种边界下的近场和远场回声强度有明显差异： 球面波入射情形下软球体的近场回声强度如图5(a)所示呈蝶形，而远场回声强度如图6(a)所示近似为圆形，也即无指向性；而平面波入射情形下的近场与远场回声强度均为圆形，且幅值较小。球面波入射情形下，刚性球体和阻抗球的近场回声强度在θ=π/2、θ=3π/2 附近最大，θ=π 时次大，而远场回声强度均为葫芦形，只是头尾有区别，如图6(b)和(c)所示；而平面波入射的情形有明显差别，刚性球体和阻抗球的近场回声强度为椭球形，只是在θ=π/2、θ=3π/2 附近有 2 个极大值；刚性球的远场回声强度在θ=π/3、θ=5π/3 附近最大，θ=π 时最小，而阻抗球的远场回声强度在θ=2π/3、θ=4π/3 时最大，θ=0时最小。

声源点b距障碍物较远(kb=60)的情形： 图7为ka=0.15，kr=3 时，3 种边界条件下的回声强度；图8 为ka=0.15，kr=63 时，3 种边界条件下的回声强度。

图7 ka =0.15,kb =60,kr =3 时3 种边界条件下回声强度(单位： dB)Fig.7 The echo strengths under three boundary conditions when ka =0.15,kb =60,kr =3(Unit： dB)

图8 ka =0.15,kb =60,kr =63 时3 种边界条件下回声强度(单位： dB)Fig.8 The echo strengths under three boundary conditions when ka=0.15,kb=60,kr =63(Unit： dB)

由图7 可知，球面入射波和平面入射波情形下，障碍物在3 种边界的近场回声强度基本能够保持一致，这是主要是由于声源距目标较远(10倍波长左右)，声源入射到障碍物上的球面波波阵面趋于平面，球面波入射与平面波入射基本没有差别。由图8 可知，球面入射波和平面入射波情形下，障碍物在3 种边界的远场回声强度有明显不同： 球面波入射情形下软球体的回声强度为“剪刀”形，而平面波入射情形下软球体的回声强度为椭圆形，且幅值较小；球面波入射情形下，刚性球体的远场回声强度在θ=π/3、θ=5π/3 附近最大，θ=π 时次大，阻抗球的远场回声强度在θ=π时最大，θ=2π/3、θ=4π/3 附近次大；平面波入射情形下，刚性球和阻抗球的回声强度少了θ=π 处的极值点。这主要是由于接收点的散射声压虽然可以用平面波近似，但是接收点距声源较近，入射声压不可用平面波近似。但是由于平面波散射问题的研究已较成熟，因此，下一步需要研究两者之间的关系，以对平面波散射解进行修正，满足球面波散射问题计算的需求。

4 结论

研究低频声波的散射特性对水下目标探测、低频噪声的抑制具有重要意义。文中针对水下低频球面声波的散射问题，根据3 种典型边界条件下散射声压的级数解，在低频、近场和远场的假设条件下，采用近似形式表示 Bessel 函数和Hankel 函数，推导出了散射声压的统一渐近解，在此基础上研究了低频声波的近场和远场特性，研究表明：

1) 低频球面声波的散射声压可以表示为单极子声源和偶极子源的叠加，给出的统一渐近解可以用于研究ka＜0.5 时低频球面声波的散射特性；

2) 声源距障碍物较近时，不可采用平面波入射时的回声强度代替球面波入射的回声强度；接收点距声源或障碍物较远的情形下，软球体的回声强度为圆形，而刚性球体和阻抗球的回声强度为葫芦形；

3) 声源距障碍物较远时，在接收点距障碍物较近的情形下，可以采用平面波入射时的回声强度代替球面波入射的回声强度；在接收点距声源较近的情形下，入射波的回声强度与其形状有关。

研究结果可用于水下低频声波的被动控制，可指导目标低频探测。但文中未从理论层面给出平面波与球面波解的关系和球面波场解的精度，下一步会在理论上逐步完善，并加入低频柱面波的研究。