经历概念形成过程 发展数学抽象思维

黄杰

摘  要：数学思维是数学学习过程中锻炼出来的一种思考问题和解决实际问题的能力，而数学这种能力的形成是要经历问题的提出、思考解决的办法，然后将过程进行合理整合，最后进行转化为抽象事物的过程。因此发展数学思维能力是一个循序渐进的过程。

关键词：概念形成;数学;抽象思维

学生能够对一个知识体系从未知到掌握的过程就是对这个知识体系的概念内化的过程，从概念到整体构建到知识拓展，一步步发展就是数学思维的形成，从实物到图形再到符号，既是一个问题被表达解决的过程，同时也是客观现实被解决的过程。

一、经历实物表征过程，发展感性认知

数学来源于生活，生活更是数学的大课堂，很多数学问题都是从日常可见的事物中被发现、被提出的，从结绳计数到后续数学的迅速发展及应用，都离不开生活。

生活中的实物有小到一堆苹果如何平均分配的问题，也有一个企业的预算价格，等等，有数学问题的出现，必然有其对应的解决之道。因此，教师在日常的教学过程中，教学重点是帮助学生发现生活中的问题并加以解决。为了实现教学目的，吸引学生的注意力，教师对情境的创设相当重要，因为情境来源于生活。这里以乘除法运算的内容为例。

师：（情境创设）现在我们有一道数学题需要小演员扮演不同的角色，有哪位同学愿意展现一下自己的能力呢？请举起你的小手，好吗？哪位同学扮演小红、哪位扮演小亮，还有哪些同学分别扮演12个又大又圆的红苹果？

生：我想当小红，我想当小亮……

師：分配完了小演员的角色，我们来看看题目是什么。小明有12个又大又圆的红苹果，妈妈告诉小明有了好东西要和大家共同分享，所以小明决定将这12个红苹果与自己的小伙伴小红、小亮和小军共同分享，使得每个人的苹果数量相等，小明思考了很久不知道如何分配，你能帮帮小明吗？

生：先给每个人都发一个苹果，发给了小红、小明、小亮和小军共4个人，所以第一次一共发了4个，还剩下12-4=8个苹果;因为还有剩余的苹果，所以接着发第二次，还是每个人都发一个苹果，第二次发完之后还剩下4个苹果，接着再发一次苹果，发现最后一个人发完后，苹果也就分完了，而且每个人的苹果的数量相等，都是3个，说明这道题的答案是每个人分3个苹果就好了。

师：谢谢第一位同学的答案，有了初步平均分配的意识，知道每次给4个人同时都只发一个苹果直到发完为止。还有别的同学回答吗？

生：既然有4个人需要平均分配，那么就以4个苹果为一堆，总共可以分出来3堆，所以每个人可以拿3个苹果：因为涉及4个人一组，12个苹果能分出3堆，每堆苹果有4个，所以4个人每个人都从其中一堆拿出一个苹果。

师：谢谢两位同学的答案。他们的答案都是正确的，我们再想想还有别的方法吗？比如乘除法呢？

生：因为3×4=12，4×3=12，故而应用到除法计算中，“12÷4”代表着计算12中有几个数字4。

师：这位同学已经很接近我想表达的内容了。

生：大家在三年级乘法表中已经学习到了乘法口诀，三四十二，也就是三个四相加的和是十二或者四个三相加的和是十二，所以12个苹果分给4个人就用12÷4=3，每个人分到3个苹果。

师：大家给这位同学掌声鼓励，回答得很完美。回到除法这个概念被提出的原因上来，除法运算的目的就是一个简化思维的过程，将一个一个分苹果的过程，每人一次分一个，分了几次的过程简化直接变成数字上的除法运算。运算出的数据就是实际上分配的次数。

借助上述的情境问题，引导学生积极思考问题，其中苹果就是一个实物的代表，学生经过实物作为表征的过程，逐渐培养数学认知和数学感觉。

二、经历图形表征过程，形成表象思维

图形表征在通常意义上是指在解决数学问题时并不一定要借助于事物的原有的固定形状，而是能够脱离于固定形状去运用另外的方式、图形等进行数学内容的表达。

从生活实物的理解到借助图形表达，逐步地脱离实际事物的束缚，从而内化为数学问题的解决（摘自参考文献2）。以百分数的学习内容为例，百分数对于低年级的学生的学习来讲，本身就是有一个很难理解的过程，所以在学生学习基础的内容理解百分数的意义时，就可以借助图形表达来进行学习。

师：同学们，假如老师有一个很大的烧饼，够一家三口吃，这个烧饼需要平均分给爸爸、妈妈和琪琪三个人，琪琪应该怎么分呢？

生：如果平均分配的话，那么就是一个烧饼平均分成三份，所以按照分数的表达方式和意义就是■，也就是每个人能吃到烧饼的■，妈妈和琪琪两个人一共能吃到■的烧饼。

师：这位同学说得很对，但是烧饼能不能用图形来代替呢？

生：可以用圆来代表烧饼。

师：这个想法很棒，谁能动动脑筋想一下如何用圆来计算？

生：圆周的角度是360度，所以将360度平均分成三份，每个人吃的烧饼的■用圆的比例来表示就是120度，■用圆来表示就是240度。

师：同学的回答很正确，如果以上面烧饼的分配问题进行变形，有人愿意挑战吗？

生：愿意。

师：题目是爸爸一个人能吃一个烧饼的一半，妈妈比爸爸吃得少，妈妈只吃了爸爸的一半，琪琪吃了妈妈的一半，请问每个人分别吃了多少烧饼？

生：这是涉及分数的计算，爸爸吃的烧饼占了整个烧饼的■，也就是圆的■，用180度的圆表示;妈妈吃了爸爸的一半就是半圆的一半，用90度的圆表示;同理，琪琪吃的烧饼是妈妈的一半，也就是90度的圆的一半，用45度的圆表示。

师：同学们的表现很优秀，能用图形来解决问题了，但是谁能告诉我琪琪一家人中，每个人都吃了多少烧饼？尝试用分数计算。

生：一个烧饼用数学表达为单位1，爸爸吃了一半也就是■;妈妈吃的烧饼是爸爸的一半，即为■×■=■，■在圆中对应的角度是90度;琪琪吃的烧饼是妈妈的一半，等价于■×■=■，烧饼的■也就是与圆的45度角相对应。

师：同学们的解答过程虽然不尽相同，但是想法都是正确的。

图形表征的过程其实也是一个类比转化、知识迁移的过程，教师在教授学生运用图形表征解决问题的同时也是在有意识引导学生进行观察比较的过程，培养学生的表象思维能力。

三、经历符号表征过程，发展抽象思维

符号表征是建立在实际的实物基础之上的，在解决数学问题时总是借助大量的文字来解释或者借用图形来描述会使得数学的过程显得烦琐。在计算过程中常常会用到某些定律，而定律的使用就可以借用符号表达。例如，数学中的数学符号1、2、3、4、5、6等，这些数字也算是符号的一种;还有字母常量a、b、c等，这些字母符号会应用到数学问题的解决之中。我们以梯形面积的计算为例。

师：今天有一道题目，老师想与同学们分享一下，一条新挖的渠道，其横截面是一个梯形的形状，渠口宽2.8米，渠底宽1.4米，渠深1.2米，问这个渠道的横截面积是多少平方米？

生：这道题目看起来比较难以读懂，既有什么渠道的渠口又有渠底，还有渠深，这些名词听起来比较陌生和难以理解。

师：看来有同学阅读题目遇到了一点小困难，有同学能够精简一下题目吗？

生：这道题进行简化之后就是求一个梯形的面积，梯形的上底a=2.8米，梯形的下底b=1.4米，梯形的高度也就是渠道的深度h=1.2米。

师：感谢这位同学的回答，想要解答这道题，我们首先来回顾一下梯形面积的计算公式。

生：梯形面积的计算公式为“（上底+下底）×高÷2”，所以渠道的横截面积为（2.8+1.4）×1.2÷2=2.52（平方米），因为题目中给的长度单位都是“米”，故而计算所得的面积单位是“平方米”，与题目中要求的单位一致，所以最终答案是2.52平方米。

抽象思维是以客观存在的事物为事实依据，舍弃了部分可以忽略的特征，对概念进行把握，本质进行发掘，从而在解决问题的过程中，先是理性看待和分析问题，然后选择合理模式进行概括。

综上，从经历实物表征发展感性认知能力、经历图形表征形成表象思维到最后的符号表征发展抽象思维的能力，是一个循序渐进、环环相扣的过程。教学的内容有了层次性、阶段性和过程性的特点，学生的数感和思维能力才能得到更好的发展。