欧拉(Euler)常数的应用探讨

刘明煜　杨冉　谭建斌　王琛琦

摘 要 通过拉格朗日中值定理、几何直观运算的证明方法理解欧拉常数。运用欧拉常数在具体应用中进行运算，包括级数求和、求极限等，体现欧拉常数在这些方面的重要作用。

关键词 欧拉（Euler）常数 极限 拉格朗日（Lagrange）中值定理 级数求和

中图分类号：O173                                 文献标识码：A  DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2020.09.026

Application of Euler Constant

LIU Mingyu， YANG Ran， TAN Jianbin， WANG Chenqi

（School of Science， China University of Mining and Technology， Beijing 100083）

Abstract The Euler constant is understood through Lagrange's mean value theorem and geometric intuitive operation. The Euler constant is used to calculate in specific applications， including the summation of series and the calculation of limit， which reflects the important role of Euler constant in these aspects.

Keywords Euler constant; limit; Lagrange mean value theorem; summation of series

0 引言

Euler常數的存在性，是通过证明一个具有特殊形式的数列具有单调有界的性质，从而论证该数列的极限存在性问题。我们借助于这个结论在应用问题时将繁杂的数项级数或函数化为该数列的形式，从而使得解题过程变得简单易懂。本文通过对欧拉常数的存在性证明展开，且运用图像对证明进行直观表述，并给出了一些在求解数列极限、数项级数的敛散性和函数积分问题的具体应用。

1欧拉（Euler）常数存在性证明

极限存在， 此极限称为欧拉（Euler）常数， 记为。

证明：记，现证，且。

由拉格朗日公式有。当时，;当时，，则，即。

同理，令，有，且。则。

令。由于

故严格递减。又由

可知其单调递减有下界，故极限存在。[1]

2欧拉常数的几何直观描述

如图1所示，设虚线下第1到共个小矩形的面积和为， 则。设函数与轴与轴所包围的面积为，则。设图中个实线下的矩形面积和为，则。

根据几何直观可知，，从而有，即数列是有界的，故单调递减有下界，其极限当时存在。

图1y=1/x函数图像

3欧拉常数的几个应用

我们知道欧拉常数本身作为一个求和的极限值，并且欧拉常数的主要部分为，这便使得我们在求某些由构成的级数中有了一种新的思路：我们可以通过将所需要求的级数中所含的提取出来，并且用欧拉常数的形式来表示，如此一来我们便实现了将一个较为复杂的级数形式转变为一个含有欧拉常数的形式较为简单的级数。

对于转换后的级数，我们便可以更加方便地去讨论它的收敛性和极限。

3.1 在数项级数求和的应用[2]

例1：求。

解：这是一个交错级数，因为，并且，所以由Leibniz判别法知级数收敛。记其和为，部分和为，则

由于，根据极限的性质（为一个极限为0的数列），将其代入上式得

。故。

3.2 在求函数项级数收敛域的应用

例2：求级数的收敛域。[3]

解：令。

。

所以。

（1）当时，级数，由，

，及Leibniz判别法知该级数收敛。

（2）当时，级数，由发散及

利用正项级数判别法知该级数发散。从而该幂级数的收敛域为[-1，1）。

3.3 求无穷乘积的运算[2]

例3：对任意实数，求。

分析：指数连乘可以转换为幂的连加，由得，再运用欧拉常数即可得出结果。由于，根据极限的性质，（为一个极限为0的数列）。

解：由于，前项部分乘积为

故。

3.4 在积分运算中的应用

例4：计算积分，其中表示的小数部分。[4]

分析：题目求某函数小数部分的积分，首先替换其形式为熟知的整数形式，其次将（0，1]内的积分转换为关于的积分形式，便于求解积分。由于，根据极限的性质，（为一个极限为0的数列）。

解：因为被积函数有界，间断点只有有限个，且这些间断点只有唯一极限点0，所以积分有意义。

通过以上例题探讨，我们得知在数项极限求和、函数项级数求收敛域、无穷乘积中的运算以及在积分运算中，欧拉常数的运用可以巧妙地简化其计算和证明。本文只是对于欧拉常数浅显的应用加以分析，欧拉常数在解决更为深层次的问题方面也有着显著的决定性作用，本文不再加以阐述。

基金项目：中国矿业大学（北京）大学生创新训练项目“数学分析中的典型问题与方法”（C201907655） （指导教师：林燕）

参考文献

[1] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2003：25-70.

[2] 杨晓棣.Euler常数在解题中的应用[J].数学通报，1996.7：45-47.

[3] 朱永生，龚晓岚.欧拉常数 的性质及在解题中的应用[J].高师理科学刊，2005.25（3）：15-17.

[4] 张丹丹.有关Euler常数的推广及应用[J].兰州文理学院学报，2016.30（3）：26-29.