从勾股定理到佘弦定理

田载今

三条边与三个角是构成三角形的基本元素，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，是三角形的三边具有的一般关系三个内角之和等于180°.是三角形的三个角具有的一般关系，三角形的边与角之间还有哪些一般关系呢？

我们先从直角三角形说起，直角三角形的特殊之处是有一个角是直角，正是此特殊性使得它的三边具有特殊的数量关系（勾股定理）：两条直角边的平方和等于斜边的平方，勾股定理早在三千年前就被人发现，并广泛传播.在数学的发展中，勾股定理作用巨大，影响深远.

数学命题是由条件和结论两部分构成的.勾股定理的条件是“已知三角形的一个内角是直角”，结论是“斜边的平方等于兩条直角边的平方和”，常写为c²=a²+b².这是直角三角形的一个性质定理，式子c²=a²+b²表示的是三边之间的数量关系，但其中隐含了∠C是直角这个不可或缺的题设，

对于锐角三角形或钝角三角形，它们的三边之间存在什么样的数量关系？我们从下面的具体问题开始讨论.

例1 如图1，锐角△ABC中，记∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠=45°，试求a，b，c之间的数量关系.

分析：在直角三角形中可用勾股定理表示三边之间的数量关系.这个△ABC虽非直角三角形，但可以在其内构造直角三角形，为借助勾股定理进行讨论创造条件.

例2 如图3，钝角△ABC中，记∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠C=120°.试求a，b，c之间的数量关系.

分析：虽然∠C是钝角，但也可以构造直角三角形，为借助勾股定理进行讨论创造条件，

小结：上面两例中，虽然△ABC都不是直角三角形，但适当添加辅助线后，都构造出了新的直角三角形，由此就可以利用勾股定理讨论相关线段之间的数量关系了，又由于题目中∠C的大小给定了，于是就能进一步“确切地”求出△ABC的三边a，b，c之间的数量关系.

回顾例1中的c2=a2+b2_2ab和例2中的c²=a²+b²+2ab，两式中的b都是自点A向CB边所在直线引垂线，点C与垂足D之间的线段长.线段CD称为线段CA在直线CB上的投影，也就是说b是边CA在边CB所在直线上的投影长，把这两式统一起来.可以写为c²=a²+b²±2ab.

③当∠C为锐角时2ab前取“一”号，当∠C为钝角时2ab前取“+”号，③式不仅把锐角三角形与钝角三角形的三边之间的数量关系统一了起来，而且也涵盖了直角三角形的情形.如图5.当∠C为直角时，边CA在边CB所在直线上的投影为一个点C（垂足D与点C重合），此时投影长度b=0.所以有c²=a²+b²+2ab =a²+b².这与勾股定理一致.

上面所说的b不是△ABC中的原始边长，而是边CA在直线CB上的投影长度，它的大小与两个因素相关：一个是选CA的长度b，另一个是∠C的大小.请看图6，（1）（2）（3）（4）中的CA =b 一样长.（1）（2）中∠C为锐角，边CA的投影CD落在边CB上，∠C越大投影长度b越短;（3）（4）中∠C为钝角，边CA的投影CD落在边CB的反向延长线上，∠C越大投影长度b越长.

如果规定射线CB为正方向，则射线BC为负方向.于是，又可以规定当∠C为锐角时，边CA的投影CD为正值6，即b=b;当∠C为钝角时，边CA的投影CD为负值6，即b=-b.当∠C的大小为某一定值时，这就是在高中数学中要学习的余弦定理，它对三角形的边角计算有重要作用，

由上可知，勾股定理是推导出余弦定理的基础，同时它又是余弦定理当∠C为直角时的特殊情况.由勾股定理到余弦定理，是从特殊三角形到一般三角形的推广。