一道课本习题的变式研究

周军高

数学学习的目的不仅仅是解决问题，同样重要的是解题之后的归纳、总结和思考，这包括对问题的题设和结论进行适当的变化，开展深层次、多方位的探索和研究.如此既能使数学学习有趣，又能促进数学思维的发展和创新能力的提升.本文以一道课本习题为切人点，进行变式研究，希望对同学们有所启发.

例 （人教版《数学》八年级下册习题17.1第14题）如图1.△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上.求证：AE²+AD²=2AC².

證明：连接BD，如图2.

由“边角边”易知△ACE≌△BCD.

首先，注意到要证明的结论只与AE，AD，AC有关，而这三条线段都是在△CDE中的，于是可以将原来的问题简化为下面的命题：2AC².

于是，变式1中的命题正确.

再观察图2，不难发现∠ADC=∠BDC=45°，即DC平分∠ADB.于是我们思考：

变式2 对于四边形ACBD， 若满足AC =BC.∠ACB= ∠ADB=90°，如图4，那么DC平分∠ADB吗？

分析：过C作CE上直线BD，作CF⊥AD，垂足分别是E，F，则∠CED=∠CFD=90°.由四边形内角和性质得∠ECF=90°.易证△BCE≌△ACF（角角边）.

∴CE=CF，DC平分∠ADB.

再观察图4，进一步思考：

变式3 CD，AD，BD之间有怎样的数量关系？

分析：由上面的结论△BCE≌△ACF，得BE=AF由DC平分∠ADB，得到∠BDC=∠ADC=45°，所以△CED和△CFD都是以CD为斜边的等腰直角三角形，故DE=DF.于是AD +BD =（DF+AF） +（DE-BE） =DF+A F+DF-A F=2DF在等腰Rt△CFD中，CD=√2-DF，故CD=√2/2（AD+BD）.

综合上面分析，可以得到下面很有意思的结论，

变式4如图4，四边形A CBD中，如果A C=BC，∠ACB= ∠ADB=90°，那么DC平分∠ADB，并且CD=√2/2（AD+BD）.

再看变式4，将图4中的△ABD沿直线AB翻转180°，其他条件不变，如图5.想一想，此时射线DC具有什么特征呢？CD，AD，BD之间又有怎样的数量关系？

分析：如图6.过C作CE上直线肋，作CF⊥AD，垂足分别是E，F，则∠CED=∠CFD=90°.

因∠ADB=90°，由四边形内角和性质得∠ECF =90°.又∠ACB =90°.故∠BCE=∠ACF，可得△BCE≌△ACF（角角边）.

∴CE=CF，DC平分∠ADE.于是得到此时射线DC平分△ABD的外角.

由△BCE≌△ACF得BE=AF.△CED和△CFD都是以CD为斜边的等腰直角三角形，故CF=DF=DE=CE.于是AD-BD=（AF+ DF） -（BE-DE）=A F+DF-A F+DF=2DF.在等腰Rt△CFD中，CD：√2DF，则CD=√2/2.

（AD-BD）.

于是，我们得到一个类似的结论：

变式5如图5，四边形A CDB中，如果AC=BC，∠ACB= ∠A DB=90°，那么DC平分△ABD的外角，并且CD=√2/2（AD一BD）.

综合变式4、变式5.可以得到下面更一般的结论：

变式6 已知Rt△ABC与Rt△ABD有公共的斜边AB，且AC=BC，∠A CB= ∠A DB=90°.则C，D两点的距离为CD=√2/2（AD+BD）或CD=√2/2|AD-BD|.