带Calderón-Zygmund核的Toeplitz型算子的有界性

赵巧珍 ,黄得建

(1.嘉兴南洋职业技术学院 基础部,浙江 嘉兴 314003;2.海南热带海洋学院 理学院,海南 三亚 572022)

0 引言

随着奇异积分算子的发展[1-2],它们的交换子已经得到了很好的研究.文献[3-5]证明了1

本研究讨论了带Calderón-Zygmund核的奇异积分算子和Lipschitz函数生成的Toeplitz型算子的有界性.为了讨论方便，引入下面定义.

定义[9]222设K(x,y)=Ω(x,y)/|y|n:n×(n/{0})→.K称为可变Calderón-Zygmund核,且满足以下两个条件:

(1)K(x,·)是一个Calderón-Zygmund核,x∈n；

设b是n上的局部可积函数,T是带有可变Calderón-Zygmund核的奇异积分算子,其数学表达式为

Toeplitz型算子定义为

其中:算子Tk,1是可变Calderón-Zygmund核的奇异积分算子T或±T(单位算子);算子Tk,2和Tk,4是线性算子,Tk,3=±I(k=1,2,…,m),Mb(f)=bf和Iα是分数积分算子(0<α

1 引理

为了证明主要结论,本研究引入以下几个引理.

引理1[9]233设T是定义中的奇异积分算子,则T在Lp(n)(1

引理2[8]4对于0<β<1,1

引理3[11]635对于(1

引理4[11]636对于0<α

‖Iα(f)‖Lq≤C‖f‖Lp,

‖Mα,s(f)‖Lq≤C‖f‖Lp.

2 定理及其证明

定理1设T是定义中的奇异积分算子,0<β<1,10,使得对任意的n)及n,有

其中:

于是有

对于I1,利用Hölder不等式及引理1,有

因此有

对于I2,由文献[9]的公式4.1[9]230和文献[10]的定理2[10]463可知

Cun/2|x-x0|/|x0-y|n+1.

对于|x-y|>2|x0-x|>0,x∈Q,可得

因此

类似地,由引理4,对于1/r=1/s-a/n,有

定理2设T是定义中的奇异积分算子,0<β<1,10,使得对任意的n)及∈n,有

类似定理1的证明方法,对于1/r=1/s-α/n,有

定理3设T是定义中的奇异积分算子,0<β<1,1

证明在定理1中取1