铒激光照射牙釉质作用深度的数值模拟

姜荟荟,黄瑞哲

(西安交通大学口腔医院预防科,西安 710004;*通讯作者,E-mail:huangrzh@xjtu.edu.cn)

铒激光是一种新型水动力激光,其波长位于红外线区,接近羟基磷灰石和水的吸收曲线[1]。铒激光突出的特点是可有效切割牙体硬组织,且对周围组织和牙髓热损伤较小[2],这是传统的激光所不具备的。目前虽然有很多研究表明铒激光可以增加牙釉质的抗酸性[3-5],并可将热损害降到最小。然而仍然有不同的观点,Rodríguez-Vilchis等[6]的研究结果表明当使用不同能量密度的铒激光照射釉质时,虽然釉质表面的形态结构发生了改变,但是其抗酸性未得到明显提高。在增强釉质抗酸性的同时,还要考虑光热作用对牙髓的影响,有研究表明随着脉冲持续时间和个数的增加,牙髓腔温升增加[7],容易使牙髓细胞坏死。为了更好地了解经铒激光照射后其光热作用对釉质作用深度的影响,本研究着力于通过建立激光辐照牙齿的传热学物理模型,筛选可增加牙釉质抗酸性、但不产生热损害的适宜参数,并对相关机制进行研究,从而验证数理模型预测抗酸性的适用性和可靠性,为铒激光增强釉质抗酸性提供理论依据。

1 激光辐照牙齿的传热学物理模型

牙釉质层是人体中最坚硬的组织,在大约10-100 μm处有明显的吸收[8]。因此将釉质假设为一个大约只有100 μm厚的有限层面,在t=0+(s)的时刻,一束均匀的激光束作用在釉质表面。假设短脉冲激光作用后釉质表面没有热损伤,因为激光作用的光斑直径在毫米级别而短脉冲激光作用的深度约为几十个微米[9],因此将激光与釉质相互作用的模型近似为一维是合理的[10]。应用温度与釉质化学成分一一对应关系,间接得到釉质表面及沿深度方向上化学成分的梯度变化信息。激光辐射牙齿的光热作用理论模型示意图见图1。

激光辐射牙齿组织时,其强度会逐渐衰减,衰减过程服从Beer-Lambert定律[12]。

I(z,t)=I(0,t)·exp(-μeff·z)

(1)

其中,z表示激光入射到牙釉质中的深度,从激光辐照表面指向牙釉质内部;t表示时间;I(0,t)表示激光入射强度;I(z,t)表示入射深度为z时的激光强度。

μeff表示激光的有效衰减系数,定义为:

(2)

上式中,μa表示牙齿对激光的吸收系数;μs表示牙齿对激光的散射系数;g表示牙齿的各向异性系数。

激光辐射时,牙齿组织每单位面积的局部热积聚量Q(z,t)为:

Q(z,t)=μa·I(z,t)

(3)

上式中忽略激光辐射牙齿时的热辐射和热对流效应,则可以用经典的傅里叶传热模型来分析激光作用下牙齿中的热传导过程。

(4)

其中,T(z,t)为t时刻,牙齿中深度为z的区域的温度;κ表示牙齿的热传导率;ρ表示牙齿的密度;cp表示牙齿的比热容量。

激光辐照下将能量传递给牙齿,导致牙齿温度升高并产生热传导过程图1 激光辐射牙齿的光热作用理论模型示意图Figure 1 The schematic diagram of the theoretical model of the photothermal effect of laser radiation on the tooth

2 热传导数值模型

采用有限差分法(finite difference method)来解一维经典的傅立叶热传导方程[5]。将厚度为L的牙齿划分n个单元,选取如下的节点坐标形式(见图2)。

0=x1

(5)

对于1≤i≤n,单元Ei=[xi,xi+1],步长Δxi=xi+1-xi,本文中取恒定步长Δx。

热传导公式的显式表达式为:

(6)

热传导公式的隐式表达式为:

(7)

为了得到热传导方程数值计算的二阶时间精度,本文采用显式和隐式平均的方法(Crank-Nicholson differencing scheme):

(8)

这种差分格式对于任意的时间步长都是稳定的。

图2 激光辐照下牙齿的一维能量沉积与热传导模型Figure 2 One-dimensional energy deposition and heat conduction model of teeth under laser irradiation

采用设定虚拟节点的方法来解决边界条件(见图3)。设定虚拟节点x-1,假设T-1=T1,则:

(9)

将Crank-Nicholson差分格式写成矩阵形式为:

(10)

其中A、B为系数矩阵,向量T(t)和向量T(t+Δt)分别为t和t+Δt时刻的节点温度向量,向量Q(t)和向量Q(t+Δt)分别为t和t+Δt时刻的节点热积聚向量。

图3 激光辐照下牙齿的一维热传导模型边界条件的处理Figure 3 Treatment of boundary conditions of the one-dimensional heat conduction model of teeth under laser irradiation

3 计算结果

在激光照射下牙齿一维能量沉积与热传导数值计算模型中,将厚度为1 mm的牙釉质划分为500份,计算时间步长取10 μs,总的计算时间为1 s。激光照射下牙齿一维能量沉积与热传导数值计算模型中所采用的牙釉质和铒激光的参数(见表1)。

表1 激光照射下牙齿一维能量沉积与热传导模型中牙釉质的参数值[11-13]

3.1 牙釉质表面温度随时间变化的模拟结果

在激光照射下牙齿一维能量沉积与热传导数值计算模型中,将厚度为1 mm的牙釉质划分为500份,计算时间步长取10 μs,总的计算时间为1 s。当采用1 Hz频率的铒激光照射牙釉质时,牙釉质表面的温度随着激光照射时间快速升高(见图4)。牙釉质表面温度的温升速率dTs/dt随着时间逐渐减小。可以看出当激光照射时间足够长时,dTs/dt将趋向于0,牙釉质内的温度分布将趋向于稳定。采用的激光能量密度越大,dTs/dt将越大(牙釉质表面的温度将升高的越快),牙釉质的表面温度也会越高。当激光照射停止后,随着热量向牙釉质内部扩散,牙釉质表面的温度会逐渐降低。牙釉质表面温度的温降速率dTs/dt随着时间逐渐减小,且激光能量密度越大,表面温度的温降速率dTs/dt随着时间减小得越快。

图4 不同能量密度、频率为1 Hz的铒激光照射牙釉质时,牙釉质表面温度随照射时间的变化Figure 4 The surface temperature of the enamel varies with the irradiation time when the enamel is irradiated by erbium laser with different energy density and frequency of 1 Hz

将仿真模型中的激光能量密度分别设置为2.5,5,10,15,20 J/cm2,频率为3 Hz的多脉冲激光作用后,仿真计算得到了釉质表面温度随时间的变化关系(见图5)。由于多脉冲激光作用使得釉质表面温度瞬时达到最高,随后在短时间内逐渐下降并趋于平缓,由于上一个脉冲的温度残余,使下一个脉冲作用时的初始温度提高,当第二个脉冲作用时温度再一次上升,如此反复(见图5)。随着脉冲激光照射次数的增加,釉质表面的温度是逐渐升高的。

激光的能量密度是影响釉质表面温度的关键因素,将时间范围固定在0.65-0.70 s范围内,可以更清楚地看到激光照射过程中釉质表面温度随温度的变化关系(见图5)。随着激光能量密度的增大,釉质表面温升速率越大,会加热到更高的温度。釉质表面的最高温度与激光能量密度成正比。可以看出当激光能量密度为2.5 J/cm2和5 J/cm2时激光对釉质表面产生的温度低于650 ℃,而10 J/cm2,3 Hz激光作用的温度在650-1 100 ℃之间。激光参数为15 J/cm23 Hz和20 J/cm23 Hz的激光对釉质表面产生的温度大于1 600 ℃。

图5 不同能量密度、频率为3 Hz的铒激光照射牙釉质时,牙釉质表面温度随照射时间的变化Figure 5 The surface temperature of the enamel varies with the irradiation time when the enamel is irradiated by erbium laser with different energy density and frequency of 3 Hz

3.2 温度-深度梯度变化的数值仿真结果

在仿真模型中将激光能量密度分别设置为2.5,5,10,15,20 J/cm2,频率为1 Hz的单脉冲激光作用后,仿真计算得到了釉质内部温度随深度变化的梯度(见图6)。从辐照表面向牙齿内方向延伸,釉质的温度逐渐下降,温度升高的区域主要集中在表层范围。随着激光能量密度的升高,釉质表面的温度越高,激光的作用深度越深。以温度为650 ℃作为基准,参数为10 J/cm2,1 Hz的激光对釉质的作用深度大约是18 μm(见图6A)。有激光照射时,釉质吸收激光的能量,釉质表面的温度迅速上升。釉质表面和釉质里层会产生温度差,形成温度梯度场。在温度梯度场的作用,热量向釉质内部传导,使得釉质内部的温度逐渐升高。激光照射停止后,由于存在温度梯度场,热量继续向釉质内部传导,导致釉质表面的热量逐渐减少,温度持续下降,釉质内部的热量逐渐增加,温度继续升高。当温度梯度场消失后,激光转移给釉质的能量全部耗散掉,釉质的温度将趋于室温(见图6B)。

A.不同能量密度铒激光照射下牙釉质温度随深度的变化 B.能量密度10 J/cm2的铒激光下牙釉质温度-深度分布随时间的变化图6 频率为1 Hz的铒激光照射下牙釉质的温度随深度变化图Figure 6 The changes of enamel temperature with depth under the irradiation of erbium laser with a frequency of 1 Hz

在仿真模型中将激光能量密度分别设置为2.5,5,10,15,20 J/cm2,频率为3 Hz的多脉冲激光作用后,仿真计算得到了釉质内部温度随深度变化的梯度(见图7)。频率高的激光转移给釉质的能量更多,相同能量密度时,频率越高的激光会使得釉质表面达到更高的温度。釉质表面的温度越高,釉质表面和内部的温度差越大,温度梯度场越高。因此,高频率激光照射下将使得热传导更快,釉质内部的温度也越高,激光的作用深度将随着激光频率的升高而增大。能量的积累使釉质内的化学成分发生变化,以温度为650 ℃作为基准,参数为10 J/cm2,3 Hz的激光对釉质的作用深度大约是20 μm(见图7A)。温度梯度场作用下,釉质表面吸收的激光能量将逐渐传导至釉质内部。由计算结果可以看出随着激光照射时间的延长,对釉质的作用深度也逐渐增强(见图7B)。

A.不同能量密度铒激光照射下牙釉质温度随深度的变化 B.能量密度10 J/cm2的铒激光下牙釉质温度-深度分布随时间的变化图7 频率为3 Hz的铒激光照射下牙釉质的温度随深度变化Figure 7 The changes of enamel temperature with depth under the irradiation of erbium laser with a frequency of 3 Hz

4 讨论

龋齿的好发部位往往是那些需要有效清洁的部位,如牙合面的沟窝点隙处。目前对龋病的预防大都采用综合防治的策略。在细菌方面,以探索免疫疫苗为主,其疗效在短期内有效,但是还缺乏相关的的血清学和毒理学的研究,还不能将此方法进行临床推广。氟化物预防龋齿已得到了大多数口腔医学工作者的认可,但是随着氟化物的长期使用,致龋菌会产生耐药性。我国是一个地方性氟中毒高发的国家,在高氟地区氟化物防龋的应用受到限制,由于氟化物的广泛应用也导致了氟斑牙的流行。而利用激光作为预防龋齿的手段之一可能是因为它可以高效杀灭致龋菌[14],改变釉质的化学成分以及形态学结构[3]。关于激光增强釉质抗酸性的机制中最容易被接受的假说是:当激光照射牙齿表面产生的热量达到400-1 000 ℃时会减少碳酸盐的含量,导致釉质的抗酸性增强[15]。

Fowler等[15]认为,激光作用于釉质产生的热量对釉质的作用分为3个阶段:在第一阶段温度低于650 ℃,虽然生成的焦磷酸盐降低了釉质溶解性,但此阶段的生成量相对较少,而且碳酸盐的含量未大幅度减少,此温度内釉质的抗酸性未得到明显增强;第二阶段温度在650-1 100 ℃时,釉质内发生再结晶形成β-Ca3(PO4)2,剩余的水和碳酸盐含量进一步减少,在这一范围内既可以使釉质的抗酸性增强,又不会引起釉质的熔融。第三阶段温度超过1 100 ℃生成两种产物,α-Ca3(PO4)2和Ca4(PO4)2O,这两种物质易溶于酸性溶液中。在激光照过的牙釉质中还鉴定出有熔融物质,那些含有相当多数量的化合物所在的区域显著增加了釉质的溶解性。

我们的研究显示(见图4):当激光能量密度为2.5 J/cm23 Hz和5 J/cm23 Hz时激光对釉质表面产生的温度低于650 ℃,此时釉质的抗酸性未达到最强;而10 J/cm2,3 Hz激光作用的温度在650-1 100 ℃时,釉质的抗酸性进一步增强。激光参数为15 J/cm2,3 Hz和20 J/cm2,3 Hz的激光对釉质表面产生的温度大于1 600 ℃,与实际物理过程不符,这是因为建模过程不考虑高温导致釉质的熔化过程。而实际物理过程中当温度超过1 200 ℃时釉质表面发生融化,对釉质造成严重损伤,此阶段的产物易溶于酸,降低了釉质的抗酸性。

激光与釉质相互作用的热效应会引起釉质内部沿深度方向形成温度梯度。激光照射牙齿后产生的温升过高易引起深部牙髓的热损伤,导致牙髓细胞的坏死。本仿真研究对所用参数进行了温度-深度的数值模拟,研究激光照射后在增强釉质抗酸性的同时,对釉质作用深度的影响,探索铒激光对釉质的光热作用。当温度处于650-1 100 ℃时,10 J/cm2,3 Hz铒激光的有效作用深度是20 μm,远小于正常釉质的厚度(2-2.5 mm),因此适宜的激光参数不会对深部的牙体组织造成热损伤。

激光照射过的牙釉质会产生沿着牙本质深度方向降低的温度梯度。激光能量在釉质内部聚集,以热传导的形式向内部扩散,因此要对入射的激光参数进行控制。由以上结果可知,要增强釉质的抗酸性即可将其产生的温度控制在650-1 100 ℃。在固定的温度范围内,高能量密度的激光可以适当地减少入射频率和照射时间,低能量的激光可以增加入射的频率和照射时间,这样可以减少多余的能量扩散到牙体组织内部。

5 结论

通过用数学建模的手段对不同激光参数照射下牙齿内部的温度场进行数值模拟,得到了在增强釉质抗酸性的适宜温度范围内,激光对釉质的有效作用深度,并对不同激光参数照射下牙齿内部的温度-深度梯度进行数值模拟,证明了适宜的激光参数照射釉质后,不但可以增强釉质的抗酸性而且不会对深部的牙体组织造成热损伤,验证了数理模型预测抗酸性的适用性和可靠性,为铒激光增强釉质抗酸性提供了理论依据。