经历定义的选择过程提高表达和辨析能力——以《角的认识》一课为例

章剑

【教学内容】

浙教版四年级上册第51、52页《角的认识》。

【教材分析】

教材给出了两种角的定义，从角的静态（从一点引出两条射线所组成的图形叫做角）、动态（角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形）两个方向经历科学、规范、抽象的角的概念的探究过程，是浙教版教材独有的内容。

【教学过程】

一、回忆引入

学生自主作业：什么是角？

（用文字或画图等方法来说明什么是角）

表述一：

表述二：

表述三：

师：画图、文字、图文并茂有什么好的地方？有什么不足的地方？（学生回答略）

师：同学们的见解有什么相同的地方，又有什么不同的地方？

相同：都有一个点，两条线。

不同：角的边有的同学说是线段，有的说是射线。

师：用线段比较好？还是用射线比较好呢？我们可以举一些例子，看看射线和线段谁更合适用来定义角？

【设计意图：回忆什么是角，了解学生角的概念掌握情况。继而，让学生对各种典型的表达进行评价，评价他人的同时，也是对自己概念理解和表达的反思，聚焦认知冲突：角的边（线）到底用射线还是线段来表达，引导学生进行深层次的概念辨析。】

二、探索静态角的概念

1.比较两个滑梯的陡和平。

师：（出示滑梯图）哪个滑梯比较陡？哪个比较平？为什么？

生：右边的滑梯比较陡，因为这条线比较斜。

师：比较斜是什么意思？

生：像滑梯这样比较陡，就是下面这个角比较大；比较平，就是角比较小。

生：张开得大，角比较大，滑梯就比较陡；张开得小，角比较小，滑梯就平。

【设计意图：图中特意增加一条水平线（地平线），帮助学生直观理解所谓“比较斜”“比较陡”，亦可以用地平线和滑梯线组成角的大小来作参照和刻画。】

2.比较三个滑梯的陡和平。

师：这里有三个滑梯，比较一下哪个滑梯最陡？

生：一样陡。

生：第一个最陡。

生：第三个最陡。

师：有什么方法能清楚地知道哪个滑梯更陡？

生：可以通过重叠来比一比。

师：（演示课件重叠）哪个滑梯更陡？重叠以后你发现了什么？

生：滑梯的高矮不一样，长短不一样，但角的大小没有变，其实是一样陡的。

师：如果滑梯的两条边更长，那么角的大小？两条边再变长呢？

生：两条边线不管怎么延长，角的大小不变。所以，两条边以射线表达更好。

【设计意图：在学生熟悉的滑梯情境里，帮助学生直观感知边的长度增加不影响角的大小。呼应学生前测作品中的困惑，角的大小既然与边的长度无关，则两边可以往一个方向无限延长，用射线定义角更加合适。】

师：角的大小和两边张开大小有关，而和边的长短无关。所以我们定义角用——

生：用射线比较好。角的两边可以无限延长。

【设计意图：本课要学习的静态角的概念和三年级直观认识角的组成比较接近，将重点放在学生困惑的问题上：角的两边用线段还是射线来定义好？创设滑梯情境，引导学生借助直观经验，自主辨析明理，突破知识难点。同时，也有助于学生形成良好的学习信念：一切定义都有道理可循。】

三、探索动态角的概念

师：钱江新城的灯光秀上有两个探照灯扫射形成了角——你会怎样描述这个角的形成呢？

生：我觉得，这可以想象成一条射线绕着它的端点旋转，形成了很多个角。

生：灯的位置就是射线的端点，射出的灯光就是一条射线，射线绕着端点慢慢旋转，来到新的位置，和原来位置的射线形成了角。

师：真棒！我们除了可以从静态角度分析角的组成，也可以从动态角度观察。动态角是怎么形成的？请用手比划一下。

【设计意图：动态角的认识角度比较新颖，对于学生来说，比较陌生和抽象。设计探照灯扫射成角的场景，激活学生已有的生活经验，激发动态想象。学生通过观察探照灯扫射是如何形成角的，理解到一条射线绕着它的端点旋转，可以形成各种各样的角。最后，通过用手比划，将动态角的形成形象化。】

四、探索读角写角的方法

师：你能比较这两个动态角的大小吗？有什么好办法让别人一听就明白你在说哪一个角呢？

生：可以把一个角叫角1，一个角叫角2。

生：可以把一个角叫角A，一个角叫角B。

依言标上数字和字母——

师：如果共用一个顶点的角有好几个，怎样区分呢？

引导讨论：仅用顶点字母无法区分，只能添加边上的字母——顶点字母放在中间。

师：你知道怎么画角吗？画一个角，给画好的角取一个名字。

生：画两条射线，这两条射线要从一个点出发。

生：先画一个顶点，再从一个顶点出发画两条射线。

生：可以用数字或者字母来标记角，顶点字母放中间。

【设计意图：数学常识的教学也要给学生自主创造和辨析的机会。创设几个角共用顶点的情境，引导探讨如何表示这些角，自然地想到要用其他相关字母。再从角的字母表示思考，从所示符号中，能看出角的顶点吗？能看出角的边吗？进一步体会书写规则的合理性。】

五、探索判断角、比较角的方法

1.找直角。

师：用一个圆片，不借助其他工具，你能创造出一个直角吗？

生：像这样将一个圆对折又对折得到的角就是直角。

师：你在哪里见过直角？

生：三角板上有直角。

生：我们刚才做的活动角也可以变成一个直角。

生：数学书上有直角。

2.判断活动角。

师：怎么判断在活动角上找到的角是直角呢？

生：用三角尺上的直角，或用圆折出的直角比，如果角的两条边都和标准的直角重叠了，就是直角。

师：怎么判断锐角和钝角呢？

生：顶点重合，一条边（始边）重叠，另一条边（终边）在直角边里面就是锐角；另一条边（终边）在直角边外面就是钝角。

动态演示：观察射线旋转到什么位置形成直角、锐角和钝角？

3.巩固练习。

（1）直接目测比较：钝角＞直角＞锐角。

（2）同样是锐角或者钝角，怎样比较大小呢？

重叠法比较：借助活动角比较∠2和∠7或∠5和∠6的大小。

（3）如果没有活动角，我们还能怎么比较角的大小？（量角器）

【设计意图：从特殊的直角开始形成重叠（重合）比较的经验，进一步推广到一般角的比较。利用活动角来判断角，在应用中再认识动态角，突破教学难点。在此基础上，初步渗透量角器的测量原理，量角的过程就是与量角器上对应角重合的过程。】

六、小结

师：今天这节课学了什么？什么叫角呢？

师：这是个静态角，你能把它看成动态角吗？

生：角AOB可以看作是动态角，就是射线OA绕着它的顶点O旋转到OB的位置所形成的角。

【设计意图：小结中体现了学生理解和表达的四个水平层次，水平1：能用自己的语言来描述角；水平2：能用静态角或动态角的定义来描述角；水平3：能用静态角和动态角的定义从不同角度来描述角；水平4：能将静态角转化成动态角。】

【课例综述】

概念教学常常比较枯燥，如何让学生有兴趣学，而且还能发展高阶思维，提升数学素养，本课尝试从以下两方面来实现。

一、重视学生数学表达能力的培养

语言是思维的外壳。数学语言能力与数学思维互为表里，息息相关。关注学生的表达：通过倾听学生的表达，了解他们的思维水平；通过改进学生的表达，提升他们的认知深度。具体来说：1.引入环节。回忆什么是角，用文字、画图等方法来说明什么是角？侧重于书面的、形象的表征。2.判断角，比较角，让学生利用三角尺中的直角、圆上的直角、活动角等来说明判断的依据。3.小结环节。课的最后，学生对“什么是角”的表述体现了他们理解和表达能力的四个水平层次。

二、重视学生数学辨析能力的培养

数学概念往往基于具体、形象而又要超越直观，作出理性的抽象，为进一步推理、生发新概念、新命题做准备。教学中，积极创设学生熟悉的生活情境，在此基础上引导学生反思、想象，辨析数学概念。具体来说：1.聚焦认知冲突，通过滑梯陡峭程度的讨论，理解为什么用“射线”定义角。2.创设灯光秀情境，感知角的动态形成，突破角的动态定义。3.创设共用顶点角的情境，深化讨论角的表示方法，感悟数学规定的合理、简洁。4.从判断直角到测量角的度数，聚焦边的重合情况，体会角的大小的本质。