基于互质阵列的外辐射源雷达低仰角估计

2020-11-05易建新饶云华万显荣熊良建

雷达科学与技术 2020年5期

徐阳，易建新，程丰，饶云华,2，万显荣，熊良建

(1.武汉大学电子信息学院, 湖北武汉 430072；2.武汉大学深圳研究院，广东深圳 518000；3.中国民航飞行学院洛阳分院，河南洛阳 471001)

0 引言

由于辐射源的低空照射限制，外辐射源雷达的目标探测主要限制在低空区域，因此如何提高外辐射源雷达的低空目标仰角估计性能一直是外辐射源雷达目标定位与跟踪的重要研究课题，近年来众多国内外学者对低仰角目标波达方向(Direction of Arrival，DOA)估计问题进行了大量研究[1-3]。在经典的镜像信号模型中，目标和其镜像被建模为两个空间临近的相干点源，实现对目标仰角的精确估计实际是对两个空间临近相干源的超分辨问题[4]。常用的超分辨技术如多重信号分类(Multiple Signal Classification，MUSIC)算法不能直接应用于相干源，若要运用MUSIC算法，需要先用空间平滑法将原阵列分为多个重叠的子阵，进行解相干预处理，这种降维处理方法是以牺牲阵列孔径为代价的[5]。

为了弥补传统低仰角估计问题中阵列孔径的损失，本文考虑引入互质阵列(Coprime Array，CA)处理低仰角信号，因为互质阵列能够在使用相同个数物理阵元的情况下，实现更大的阵列孔径，降低了硬件的系统开销[6]。根据质数的性质，互质阵能够推导出一组由阵元位置差集信息构成的包含更多虚拟阵元的均匀线性阵列，从而实现阵列孔径的扩展。相比于现有的不具有系统化阵列结构的最小冗余阵列和最小孔洞阵列等稀疏阵列[7]，互质阵只需给定一对互质整数M,N就可以实现阵列的架构，阵列布设方案较为简单直观[8]。相比于稀疏均匀阵列，互质阵通过特有的阵列排布抑制了阵列方向图中多个栅瓣的产生，避免了测向模糊现象，提高了角度估计的可靠性。此外，由于实现了阵列孔径的扩展，互质阵在提高角度估计精度，分辨率和自由度方面相比于均匀线阵也具有更加优越的性能，同时还因为稀疏的阵列结构降低了天线间的互耦效应。而在低空目标波达方向估计领域，阵列的超分辨性能是一个主要的关注点，所以本文讨论的是互质阵相比于相同阵元数的均匀线阵(Uniform Linear Array，ULA)在分辨率方面的优势。

在互质阵列信号处理过程中，虚拟阵列构造方法通常用于处理非相干信号，本文讨论了低仰角镜像相干信号在虚拟阵列构造过程中的影响。文章首先在低仰角镜像模型中，论述了利用阵元位置差集对应的协方差统计量构造虚拟阵列的原理，推导了基于相干信号的虚拟阵列接收信号形式，然后以扩展互质阵列为例详细介绍了虚拟均匀线阵的构造过程，并通过理论分析与仿真结果展示了相干信号带来的影响，进而阐明了虚拟阵列法在低仰角镜像模型中的近似可行性。

1 外辐射源雷达低仰角镜像模型

影响外辐射源雷达低仰角估计效果的主要因素是多径效应的存在，在经典的镜像模型里，一般暗含两个客观条件：1)目标与其镜像相对于雷达的距离差很小，二者在同一个距离单元内，所以当探测低仰角目标时可认为直达路径信号与反射路径信号同时到达目标处并进行相干叠加。2)目标仰角为正，多径仰角为负，二者大致相等，目标仰角小于二分之一的俯仰维波束宽度[9]。将多径反射信号等效成与目标信号完全相干的点源，得到图1所示的经典镜像模型[10]。由于外辐射源雷达不主动发射信号，因此多径建模中通常只考虑接收多径，不考虑发射多径。

图1 理想情况下的多径传播模型

设互质阵天线是由M个各项同性阵元组成的线阵，第m个阵元与阵列参考点之间的距离为dm，空中只存在一个低空目标，θd和θr分别为目标直达波与多径信号的俯仰角。则t时刻第m个阵元接收到的数据为

xm(t)=[e-j2πdmsin(θd)/λ+εe-j2πdmsin(θr)/λ]s(t)+

nm(t)

(1)

整个阵列在t时刻接收到的数据向量可表示为

x(t)=[x1(t),…，xm(t),…，xM(t)]T=

[a(θd),a(θr)][1,ε]Ts(t)+

n(t),t∈{t1,…,tL}

(2)

式中，L为快拍数，上标T表示矩阵的转置，a(θd)=[e-j2πd1sin(θd)/λ,…,e-j2πdmsin(θd)/λ,…,e-j2πdMsin(θd)/λ]T为目标直达波方向的阵列导向矢量，a(θr)为多径反射波方向的阵列导向矢量。

2 互质阵虚拟阵列构造

常规的互质阵列处理方法中，利用虚拟阵元位置与相关间隔一一对应的关系，将对应位置的协方差统计量作为虚拟阵列接收信号，构造虚拟均匀线阵。2.1节推导了在低仰角镜像模型中，基于相干信号协方差统计量得到的虚拟阵列接收信号形式，2.3节则以扩展互质阵列为例，讨论了相干信号在虚拟阵列构造过程中带来的影响，阐明了互质阵虚拟阵列法在低仰角镜像模型中的近似可行性。

2.1 基于低仰角镜像模型的虚拟阵列构造原理

L次采样快拍情况下，互质阵列接收信号的采样协方差矩阵估计如下[12]：

(3)

E[(e-j2πdisin(θd)/λ+εe-j2πdisin(θr)/λ)·

(ej2πdjsin(θd)/λ+ε*ej2πdjsin(θr)/λ)s2(t)]=

εε*e-j2π(di-dj)sin(θr)/λ+

ε*e-j2πdisin(θd)/λ+j2πdjsin(θr)/λ+

εe-j2πdisin(θr)/λ+j2πdjsin(θd)/λ)

(4)

根据低仰角信号模型中的暗含条件，目标仰角为正，多径仰角为负，二者大致相等，可知θd=-θr，代入复反射系数ε=ρexp(-j4πhrsinθd/λ)，上式括号中的后两项可化为

ε*e-j2π(di+dj)sin(θd)/λ+εej2π(di+dj)sin(θd)/λ=

ρej(2hr-(di+dj))2πsinθd/λ+ρe-j(2hr-(di+dj))2πsinθd/λ=

2ρcos((2hr-(di+dj))2πsinθd/λ)

(5)

所以式(5)最终可表示为

(6)

(7)

(8)

vec(·)表示矢量化操作，根据相关间隔与虚拟阵元位置的对应关系，将阵元位置差集作为虚拟均匀线阵的阵元位置坐标，从z中提取对应位置的函数值作为虚拟阵列的接收信号。2.3节将给出一个具体的构造例示，并进一步讨论相干信号带来的Δrij项的影响。

2.2 互质阵列结构

根据2.1节所述的虚拟阵列构造方法，进而可以推出空间域的阵列结构排布。

2.2.1 简单互质阵列

简单互质阵列的结构如图2所示，由两个稀疏均匀线阵构成。第一个稀疏均匀线阵包含M个阵元，阵元间距为Nd；第二个稀疏均匀线阵包含N个阵元，阵元间距为Md；M和N为互质整数，假设M小于N，d为入射到互质阵列的目标信号半波长[13]。将两个子阵以首阵元重叠的形式进行线性叠加组合，因为M和N互质，所以除了首阵元外，其余阵元在空间中的摆放位置不会出现重叠情况，由此得到了包含物理阵元数目为M+N-1的互质阵列，最后一个阵元的位置是(N-1)Md。

图2 简单互质阵列结构

将首阵元作为参考阵元，位置设为0，则两个子阵的阵元位置差集可以表示为

{(Mn-Nm)d,0≤n≤N-1,0≤m≤M-1}

(9)

根据上式，我们用M+N-1个阵元构造了一个位于[-N(M-1),M(N-1)]范围的差联合阵列，但它们在这个范围内因为存在孔洞，所以多数情况下是不连续的。例如M=3,N=4时，差联合虚拟阵列结构如图3所示，在-7d,7d的位置出现了孔洞。

图3M=3,N=4虚拟阵列位置示意图

MNd

2.2.2 扩展互质阵列

扩展互质阵列结构如图4所示，就是将图2中子阵1的阵元数目增加一倍，从M增加到2M个，子阵2不变，得到一个阵元数目为2M+N-1的扩展阵列。之所以这样设定阵元数目，是利用了质数的性质。

图4 扩展互质阵列结构

引理1[14]：假设M和N是互质整数且M

根据这个引理，m和n在上述范围内变化时，我们可以得到-MN≤k≤MN范围内的连续的所有整数。跟虚拟阵列的构造相结合，也就是用2M+N-1个物理阵列构造了阵元数目为2MN+1的虚拟均匀线阵，虚拟均匀线阵位置排布如下式所示：

Loc2M,N={-MNd,-(MN-1)d,…,

-d,0,d,…,(MN-1)d,MNd}

(10)

2.3 扩展互质阵列的虚拟均匀线阵构造

根据2.1节的结论，我们将二阶统计量作为互质阵列的等价虚拟域信号，根据相关间隔与虚拟阵元位置的对应关系，将阵元位置差集Loc2M,N作为虚拟均匀线阵的阵元位置坐标，从Rxx中提取对应位置的函数值构成列向量作为虚拟阵列的接收信号。以M=3,N=5的扩展互质阵列为例，构造一个位于[15d,15d]的虚拟均匀线阵。物理阵元的位置分布如表1所示，图5是以-15d位置处的虚拟阵元为例，物理阵元与虚拟阵元间的对应关系示意图，虚拟均匀线阵部分位置阵元的接收信号如表2所示。

表1 扩展互质阵阵元位置

图5 物理阵元与虚拟阵元对应关系示意图(以-15d位置处的虚拟阵元为例)

表2 虚拟均匀线阵部分阵元位置的接收信号

(11)

图6 相关系数随仰角变化

3 基于虚拟均匀线阵的空间平滑算法

将虚拟阵列划分成MN+1个子阵，每个子阵的阵元数目为MN+1个，第i个子阵的阵元位置为{(-i+1+n)d,n=0,1,2,…,MN}，空间平滑法示意图如图7所示。

对MN+1个子阵对应的协方差矩阵求平均得到Rss，我们叫它空间平滑矩阵，数学上可表示为

(12)

式中，Ri表示第i个子阵列的协方差矩阵。根据文献[16]给出的定理，描述了四阶统计量和二阶虚拟阵列协方差矩阵之间的关系，令Λ为对角矩阵，对角线上是入射信号功率，I是(MN+1)×(MN+1)维的单位矩阵，空间平滑矩阵可以表示成如下形式：

(13)

4 仿真结果

为了展示MUSIC算法的分辨率性能，定义角度实现分辨并成功估计的条件如下：

(14)

式中，θk,k=1,2为两个信号的到达角度，θm=(θ1+θ2)/2。

2)定义当估计值与仰角真实值差的绝对值小于1°时，角度估计成功[18]。

当以上两个条件同时成立时，我们认为角度分辨成功，定义分辨成功的概率计算如下：

(15)

仿真条件：垂直放置的互质阵和均匀线阵，阵元数相同，数目为10个。互质阵是扩展互质阵列，子阵1，阵元间距为5d，阵元数目为6个；子阵2，阵元间距为3d，阵元数目为5个。均匀线阵阵元间距d，d为半波长。天线架高hr=10 m，若地势较为平坦，低仰角情形下的镜面反射系数ρ可假设为-1，则多径衰减系数ε=-exp(-j40πsinθd/λ)。

基于正交匹配追踪[19](Orthogonal Matching Pursuit，OMP)的DOA估计算法由于对信号的相干性没有要求，常被用于相干信号DOA估计，所以仿真中用正交匹配追踪算法跟本文阐述的虚拟阵列法(Virtual Array，VA)同时处理互质阵，并跟空间平滑法(Spatial Smoothing，SS)处理均匀线阵的结果作比较。用控制变量法比较3种方式在3个环境变量仰角、信噪比和快拍数影响下的角度分辨性能。其中OMP算法只需对正角度θd进行搜索，把仰角的搜索范围划分成网格θ=[θmin,θmin+Δθ,…,θmax]，然后将其代入镜像模型中的合成导向矢量asum(θd)=a(θd)+εa(-θd)构造观测矩阵ACS=[asum(θmin),asum(θmin+Δθ),…,asum(θmax)]，根据OMP算法对信号矢量进行重构得到DOA估计结果。

实验一：在给定信噪比和快拍数的环境下，比较3种方法的角度分辨成功概率随低仰角变化，仿真结果如图8所示。

(a)仰角范围以0.5°为间隔划分

实验参数：信噪比10 dB，快拍数100次，蒙特卡罗仿真次数500次，图8(a)目标低仰角为1°：0.5°：8°，图8(b)目标低仰角为1°：0.1°：8°，正交匹配追踪算法的网格划分为0.5°：0.5°：20°。

图8(a)中均匀线阵前面的起伏变化是因为：仰角变化带来衰减系数相位变化，影响空间平滑解相干效果。随着仰角变大，直达波和多径的间隔变大，解相干效果受衰减系数相位的影响逐渐变小，分辨概率整体呈上升趋势，在达到1时，可以实现稳定的角度分辨。由图8(a)可以看到，用虚拟阵列方法处理的互质阵可稳定分辨的低仰角为2°，均匀线阵的可稳定分辨低仰角为4.5°，用正交匹配追踪法处理的互质阵可稳定分辨低仰角为1°。但由于正交匹配追踪法的测角性能受网格划分影响，当信号到达角与划分网格不匹配时，角度估计性能会下降，如图8(b)所示，如果直接对网格进行过于精细的划分，会导致系统的运算量过大。因此可以得到结论，在给定信噪比为10 dB的环境里互质阵虚拟阵列法的角度分辨率优于均匀线阵，而正交匹配追踪法处理的互质阵列虽然角度分辨率略优于虚拟阵列法，但估计性能受网格限制，不如互质阵虚拟阵列法稳健。

实验二：在给定低仰角和快拍数的环境下，比较3种方法的角度分辨成功概率随信噪比变化，仿真结果如图9所示。