2019年清华大学自主招生第11题的多解及推广*

华南师范大学数学科学学院 (510631) 蒋红珠 内江师范学院数学与信息科学学院 (641100) 刘成龙 张 玉

1.问题及简评

简评：本题内涵丰富、数学味浓、解法多样、可一般化．研究该题有助于学生加深知识理解、发展数学思维、完善认知结构、体验数学研究历程．因此，该试题是一个值得研究的好问题．

2.问题解决

问题解决常常被看作是能动的、不断发展的过程，是数学思维不断数学化的过程，是一个探索、发现、创新的过程．[1]从不同角度解决问题，有助于学生多角度理解问题，培养思维的深刻性和灵活性．

2.1最大值求解

分析2:由“x2+(y-2)2≤1”的结构特征，想到三角代换．

图1

图2

图3

评注：从分析1、2、3、4中可以看出，本题对学生逻辑推理、数学运算、数学抽象、直观想象和数学建模素养的考查十分深刻．在推理和运算中，促进了学生数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神．在数学抽象、直观想象和数学建模等核心素养的考查中，引导学生不断提高运用几何图形解决问题的意识、提升数形结合的能力、感悟问题的本质，培养创新思维．

2.2 最小值求解

3.问题拓展——基于推广的视角

问题推广是指在一定范围内或一定层次上对问题进行拓展，使之在更大范围或更高层次上成立，此外，也指对条件、结论进行结构分析以后，进行适当变化，使得到的新命题为真．[2]问题推广首先应认清问题的成立条件或适用范围；其次，需要把握条件或结论中呈现的结构；最后，需要弄清解决问题的方法我们可以从元个数、次数、系数和代数结构进行推广．

3.1 最大值的推广

由前文方法可知取最大值时，与条件“x2+(y-2)2≤1”没有关系，推广时可省略．

评注：推广1让学生认识到“特殊性”到“一般性”的思维方式；推广2揭示了多元变量关系的实质．这对学生回归理性、认识数学本质有引导作用．

3.2 最大值与最小值同时推广

分析1：从最大值的解法10中受到启发，圆盘是关于y轴对称的，但ON与圆盘相切，一般情形下结果又怎样呢？

分析2：如果圆盘不关于y轴对称，结果又是怎样的呢？(具体推广，请读者自行探究.)