用向量法推证的三角形一个有趣定理

广州大学附属中学 (510006) 朱惊涛

图1

图2

该结论的简单形式如下：

在该定理中，分别令x=1、y=1、z=1可以得到它的三种特殊化情形，如图3、图4、图5所示：

图3 图4 图5

该定理有助于解决一些三角形内的线段比例问题，并可以推出一些有趣结论或证明一些经典的定理，试看以下一些例子.

图6

图7

图8

该结论说明形如图9的图形模块，必有性质：

图9

例4 (证明梅涅劳斯定理)如图10，如果一条直线与ΔABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么

图10

通过例4、例5、例6可知该定理的特殊情况实质上是与梅氏定理、塞瓦定理、三角形比例线段和定理相通的.利用该定理还可以解决一些立几和解几中的相关问题，试再看以下两例：

图11

例7 如图11，证明正四面体的内切球与外接球的半径之比是1∶3.

图12

例8 (2019年高考浙江卷)如图12，已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得ΔABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记ΔAFG,ΔCQG的面积分别为S1,S2．

(1)求p的值及抛物线的准线方程；

析解：(1)易得抛物线方程为y2=4x，p=2，准线方程为x=-1.

图13

类似于梅氏定理和塞瓦定理，该定理亦可逆向用于判断三点共线，如下所述：

图14

证明过程可用“同一法”，即连接D、E交直线AF于点G′，证明G′与G重合即可，过程略.