基于t 准则的各向异性强度准则及变换应力法1)

万征 孟达

(中国建筑科学研究院地基基础研究所,北京 100013)

引言

自然界中的很多天然材料具备强烈的各向异性性质,比如岩石、木材、土壤等材料在宏观尺度的各个方向上表现出较大的差异性.显然,从变形以及破坏机理角度解释,则是由于材料在细观层次上具有显著的差异性所导致的.Oda 等[1]的试验结果证实:对于某些条件下,岩土材料的各向异性则是由于微观颗粒在自然沉积作用过程中颗粒的空间排列定向性以及土壤团粒胶结过程中的复杂作用而形成的结果.一般而言,对于层状水平分布的岩土材料,由于在水平方向内颗粒间的随机分布状态,颗粒长轴一般会平行于水平沉积面,因而形成了正交各向异性,也可称之为横观各向同性性质.

Abelev 等[2]针对大主应力与沉积面呈不同夹角下的试样开展了真三轴排水加载测试,结果表明:大主应力方向与沉积面法向一致的试样表现出了更高的应力比强度,而当大主应力方向与沉积面法向相互垂直时,则表现出了较低的应力比强度.Kirkgard等[3]针对旧金山湾区黏土的试验结果也得到了相同的结论.Duncan 等[4]首先发现饱和自然沉积黏土在不排水剪切加载测试中随着大主应力与沉积面夹角的变化会产生差异显著的应力应变关系结果.Yong等[5]针对灵敏性黏土开展的无侧限压缩强度测试表明,最小强度值仅为最高强度值的60%.Nishimura等[6]发现自然沉积黏土的强度具有很强的沉积方向依赖性.同样,Yamada 等[7],Ochiai 等[8],Miura 等[9],Hight 等[10],Tatsuoka 等[11]以及Pradhan 等[12]针对砂土所开展的一系列三轴压缩、真三轴加载以及空心圆柱扭剪等复杂加载测试结果表明:自然沉积砂土强度以及应力应变关系特性同样具有强烈的沉积方向依赖性.为描述横观各向同性性质,从细观机理上揭示与描述上述各向异性性质强弱程度,Oda 等[13]建议采用组构张量来描述微观颗粒形状信息的长细比以及长轴在空间中分布方向等宏观统计信息.为了能够考虑各向异性性质对于砂土应力应变关系以及强度特性的影响,Li 等[14]和Dafalias 等[15]建议将一般应力量σi j与组构张量Fij进行并乘以得到一组反映各向异性性质的联合应力不变量,使用上述联合应力不变量来构建弹塑性本构模型.Pietruszczak 等[16]和Mroz 等[17]建议了一个随组构量变化的黏聚力和内摩擦角的强度指标,以此反映各向异性对于临界状态的影响.Hashiguchi 等[18]为了能够反映原生各向异性性质,将组构张量中的三个主分量直接弓入到本构模型中屈服面的转轴分量中,通过屈服面在应力空间中初始位置的不同来反映各向异性程度.

国内学者对于各向异性的研究一直处于热点状态.张连卫等[19]基于SMP 准则,将构成SMP 面的三个平面的摩擦角表达为该平面随沉积面夹角变化的变量,构造了反映沉积面信息的ASMP 准则.曹威等[20]在SMP 准则基础上,将组构张量参量弓入到摩擦法则表达式中,以此能够反映横观各向同性砂土的各向异性性质.姚仰平等[21]采用SMP 空间滑移面与沉积面之间的夹角作为基本变量,构造了反映横观各向同性材料强度的应力比公式.Kong 等[22]采用考虑了岩土组构张量修正的加载应力量,并与各向同性SMP 准则相结合,得到了考虑微观结构影响的横观各向同性强度准则.路德春等[23]采用微观结构张量在滑动面法线方向上的投影,定义了一个反映三维横观各向同性强度参数,并利用此参数来修正SMP 准则,据此建立了一个反映横观各向同性土体的强度准则.刘洋等[24-26]也采用反映微观信息的组构张量与应力相结合的方法对各向异性性质进行了研究.此外,黄茂松等[27]从微观机理出发,也对各向异性性质进行了探讨.王国盛等[28]针对混凝土的加载速率效应提出了S 强度准则.高江平等[29]考虑菱形十二面单元体主剪面上三个主剪应力与三个正应力都会对材料破坏产生影响,建议了三剪应力统一强度准则.

上述已提出的各类各向异性准则,按照构建的思路来分类,可大致分为如下几类:(1)将大主应力与沉积面夹角作为反映各向异性程度的变量来对已有的各向同性强度准则进行修正; (2)根据组构张量来构造各向异性状态变量,用来修正既有各向同性准则;(3)利用组构张量与应力量进行并乘得到联合应力不变量来修正各向同性准则;(4)基于SMP 准则或者某一强度准则,用物理破坏面与沉积面夹角作为状态变量来修正各向同性准则;(5)扩展经典各向同性准则为各向异性强度准则.

上述各种方法各有利弊,采用大主应力与沉积面夹角来作为判断各向异性程度发挥的变量,显然比较直观,然而在某些情况下,比如平面应变条件下,各向异性强度值与上述夹角并不呈现单调关系,而是形成“V” 字形曲线,显然若采用上述加载角与沉积面夹角作为各向异性状态变量存在弊端.利用组构张量表达的各向异性程度状态变量来直接修正既有的强度准则,可能具有一定的实用性,但仍然不具有普适性.利用组构张量与普通应力量按照某种规则相结合为联合应力不变量的方法能够在一定程度上考虑了各向异性对于应力量的修正作用,但联合应力不变量的构造方法目前只是猜想阶段,缺乏严谨的理论证明.采用基于某种准则的破坏面与沉积面的夹角作为状态变量,由于破坏面与沉积面都具有明确的物理概念,且夹角与各向异性强度呈现单调关系,表明具有较好的归一性.但在某些路径下,如三轴压缩或三轴伸长加载情况下,会出现较多的破坏面,需要进行筛选,选择其中最小强度值,这可能会违背物质客观性原理.利用经典准则扩展为各向异性准则,只是对原有准则在一定程度上的修补,缺乏物理机理以及普适性.

基于已提出的适用于具有凝聚力以及摩擦性材料的t 强度准则[30-34],在有效滑移面的物理概念上,考虑沉积面的位置关系,利用有效滑移面与材料沉积面之间夹角作为反映各向异性程度的状态变量.由于t 准则在偏平面上是能够反映包括金属材料的Von-Mises 准则到岩土材料的SMP 准则,在子午面上是幂函数表达式,因而其适用范围大,且具有明确的物理涵义.按照上述各向异性状态变量所构建的各向异性强度准则,能够反映诸多材料的各向异性性质,如金属、岩石、混凝土、黏土、砂土等.通过上述各向异性强度准则公式,在主应力空间中按照将各向异性t 准则变换为Von-Mises 准则的变换思路,推导了变换应力公式,该变换应力公式实质上是从各向异性应力空间到各向同性应力空间的转换方程.

1 t 强度准则

根据已提出的t 强度准则,如图1 所示,立方体表示材料单元,当材料发生破坏时,按照应力比的思想,则假设存在空间有效滑移面ABC,在ABC面上等效主剪应力τen与主法向力σen之比成为一个材料常数.其中φe12表示由第一、第二主应力所构成的有效摩擦角,而φe23表示由第二、第三主应力所构成的有效摩擦角.

图1 空间坐标系中的滑移面Fig.1 The slip plane in three dimensional space coordinate

令EA=1,根据三角函数关系,可推导得到如下关系:

在直角三角形AEB中,tan(45°-φe13/2)=EA/EB,根据三角函数关系求解上式可得到如下公式

同理亦可得到

可设置一个表征摩擦性与凝聚性权重分配的参数t,且0 ＜t＜1,由此可得

弓入参数t用来反映摩擦力与凝聚力的比例权重,两者所对应的有效摩擦角可分别由τ–σ 空间内的摩尔圆外切直线的反正切值来表示,相应的直线截距则可分别表示为

由图可见,由于确定了∠ABE与∠ACE,则相应的空间滑移面为平面的假设前提下则已完全确定下来,另外的σ1,σ2之间构成的夹角则由三角函数的正切值定义可求出

可解出

根据式(1)、式(2)的关系,将其代入可得

式(10)即为空间有效滑移面中用以确定有效滑移面(ESMP)空间位置的三个角的关系式.

如图2 所示,若需确定有效滑移面ESMP,则需要先确定该面的法线方向,法线方向可由余弦来表示.

图2 空间坐标系中的滑移面与沉积面Fig.2 The slip plane and depositional plane in three dimensional space coordinate

空间滑移面的方向余弦可表示为ω1(l1,m1,n1),而岩土材料在空间坐标系中存在一个空间沉积面(DP),此空间沉积面可以用该面的方向向量表示,则可令空间沉积面的方向余弦表示为:ω2(l2,m2,n2),则两空间平面的夹角可由两方向向量点积反余弦值表示为

强度可由应力比表示,由于强度值随上述夹角α变化,显然,当α=αmin=0°时,则空间滑移面与空间沉积面相重合,此时由于沉积面之间联结最为薄弱,因而强度最低,当α=αmax时,则空间滑移面与空间沉积面呈现最大夹角状态,此时最难破坏,因而强度最高,而当0°＜α ＜αmax时,则应力比介于上述两者之间,由此可见,可利用上述两者极端应力比强度值,选用合理的插值函数进行表达,根据上述思路,可利用比较简单的内插函数来表示各向异性强度表达式

空间沉积面法向单位向量为ω2,法向量在3 个空间坐标方向的投影分别如图3 所示,ω2与xy平面夹角为α1,其在xy平面的投影向量与x轴夹角为α2.则显然,空间沉积面法向方向可表示为

图3 空间坐标系中沉积面方向投影Fig.3 The project vector of depositional plane in three dimensional space coordinate

首先先求出有效空间滑移面与沉积面夹角为90°时的强度值.

令

则有效空间滑移面法向向量分量可表示为

根据三角函数关系,可知

根据对正四面体AEBC 的力平衡关系,并利用上述公式,可得到等效正应力公式.

则等效正应力可表示为

经推导可得到如下公式

其中,φmo表示空间有效滑移面的内摩擦角.

当处于三轴压缩时,则式(27)可表达为

此时,大小主应力分别可表示为

将式(28)代入式(26)中,可得到关于p,qc的函数为

采用破坏时应力比的表示方法,M=qc/p,则可表示为

其中,M表示三轴压缩时所对应的破坏应力比.若三轴伸长下的破坏应力比为Me,且设三轴伸长破坏应力比与三轴压缩破坏应力比之比值为λ,则Me=λM

由于在三轴压缩路径下,方程式(26)、式(29)完全相等,因此得到

式(35)即为偏平面上广义偏应力强度公式.

子午面上可采用考虑静水压力效应的关于平均应力的双曲线函数来作为强度表达式

2 三维正交各向异性的特征沉积面

由上节可知,对于横观各向同性而言,其三维立方体只存在一个沉积面,对于一般情况而言,存在三维正交各向异性固体材料,其3 个方向都存在物理上的沉积面.如图4 所示.考虑沿着xyz三方向都存在着沉积面,3 个沉积面两两正交,且沿着3 个方向的特征沉积面的沉积厚度分别为hx,hy,hz.则显然由图可见

图4 三维空间坐标系中的三维特征沉积面Fig.4 Three dimension characteristic depositional plane in three dimensional space coordinate

上述3 个方向的沉积面厚度为沉积面的特征尺寸,表征沿该长度方向的性质均匀化的最小单位.而同理,在y以及z方向都存在类似的沉积特征厚度.由上述3 个特征沉积厚度,假定3 个正交沉积面同时发挥抵抗破坏的贡献影响力,可由此得到空间的三维特征沉积面,空间四面体为LMOP.空间特征沉积面的法向向量可由MO 与MP 的叉积得到.

空间特征沉积面法向单位向量为

当岩土材料为二维正交各向异性情况时,此时其中一个方向的特征尺寸显然为无穷大,此时存在3种情形:

(1)当hx=+∞时,则显然式(42)可退化为如下公式

显然由式(43)可知,该二维特征沉积面平行于x轴.

(2)当hy=+∞时,则显然式(42)可退化为如下公式

上述沉积面平行于y轴.

(3)当hz=+∞时,则显然式(42)可退化为如下公式

当岩土材料退化为一维各向异性,即为横观各向同性情形时,此时其沉积面仍分为3 种情形:

(1)当hx=+∞,hy=+∞同时满足,此时式(42)退化为显然此时法向方向为沿着z轴方向.

(2)当hy=+∞,hz=+∞同时满足,此时式(42)退化为

显然此时法向方向为沿着x轴方向.

(3)当hz=+∞,hx=+∞同时满足,此时式(42)退化为

显然此时法向方向为沿着y轴方向.

3 横观各向同性t 强度准则

对于各向异性的考虑,需要将式(36) 中应力比强度Mf表示为有效滑移面与三维特征沉积面夹角的函数即可.则显然需要构造一个表示夹角的关系式.首先需满足以下两个条件:

(1) 首先满足夹角越大,则强度值越大的单调规律;

(2)需要构造一个各向同性函数,以此满足物质客观性原理.

其中,右端的φmo表示有效滑移面的内摩擦角,在各向异性情形下,通常tanφmo并非恒定值,可由函数tanφmo=F(α,M)来表示.α 表示滑移面与三维特征沉积面的夹角,各向异性程度的度量参数,因此上述函数包含了描述各向异性方向以及各向异性程度双重信息.

同理由有效滑移面与三维特征沉积面夹角公式由两个面法向向量的点积反余弦来表示,可表示为如下公式

由于在三轴压缩条件下,可得到式(49) 的简化表达式为

采用大主应力与沉积面之间夹角δ 作为衡量各向异性对强度应力比的主要影响变量是惯常的一种做法,上述方法可以部分的考虑各向异性沉积面对于强度的贡献.然而,由Matsuoka 等[35]关于砂土在平面应变的强度测试结果表明,平面应变强度与δ 是非单调关系,两者关系出现先减小后增大的规律特点.但若是采用空间滑动面与沉积面夹角ζ 与强度值建立关系,则会发现两者具有单调关系.

通过类比横观各向同性沉积面与空间滑移面之间夹角与强度应力比的单调试验关系结果,进一步可将其推广为三维正交各向异性的情形,此时,三维特征沉积面综合考虑了3 个主方向的沉积面的影响,在各自3 个主方向上由沉积面特征厚度来确定该方向上的特征尺度,综合反映在三维特征沉积面上.该三维特征沉积面与空间滑移面之间的夹角与最终强度应力比表现为单调关系.可将其简单地由如下抛物线型公式来表达

其中,x 表示max 的简称,表示最大值,而n 为min 的缩写,表示为最小值.分析式(51) 可知,强度应力比随夹角β 呈现二次函数的单调递增关系,完全符合试验点的单调递增规律特点.

当为横观各向同性情形时,大主应力方向垂直于沉积面时,此时存在最大的角度βx.由类比可知,当大主应力方向与三维特征沉积面垂直时,此时存在最大角度βx.而当ESMP 面与三维特征沉积面相重合时,则显然存在最小的夹角βn=0.对于Mx的确定,可由图5 所示加载工况,根据三维特征沉积面与大主应力轴相垂直条件下的三轴压缩试验来确定最终的内摩擦角,由摩擦角可通过式(52)计算得到.而Mn则针对的是当β=0 时候的强度应力比,显然直接确定较为困难,可间接通过由顺沉积面的三轴压缩试验得到的强度值M0来求出,由图6 可见,采用的是大主应力方向与沉积面法向相互垂直时候的加载工况,M0为此种加载条件下的强度应力比.其中表达式可表示为

强度应力比最小值Mn可通过式(52)变形导出,可由通过常规试验测试得到的强度值M0以及最大值Mx的关系表达式表达.由于三轴压缩条件,因而EC0=1,联合式(51)可得到

图5 大主应力与三维特征沉积面垂直时的三轴压缩示意图Fig.5 Triaxial compression condition with major principal stress vertical to the depositional plane

图6 大主应力与三维特征沉积面平行时的三轴压缩示意图Fig.6 Triaxial compression condition with major principal stress parallel to the depositional plane

其中

考察各向异性性质对于三轴压缩强度的影响规律,由于微观颗粒在重力场及外部自然作用下会形成一定的排序分布,在空间中微观颗粒会产生定向性,若用空间椭球体作为对长方体颗粒的近似,则长轴会平行于沉积方向,而垂直于沉积面的法向方向是沉积面的空间对称轴.由于长轴方向平行于沉积面的分布形态是形成岩土体的一种稳态结构,因而,在这种作用下形成的岩土体在自然界非常普遍.下面关于空间沉积面在空间中的排布方式,按照研究方便考虑3 种特殊情况,分别对应空间有效滑移面与沉积面的3 个特殊位置.

当为横观各向同性情况时,此时只沿着一个方向分布沉积面.

(1) 考察式(49),若当沉积面法向方向与z轴相一致时,则可知,hx=∞,hy=∞,则滑移面与沉积面夹角表示为

(2)当沉积面法向方向与x轴相一致时,则可知,hz=∞,hy=∞,则滑移面与沉积面夹角表示为

(3)当沉积面法向方向与y轴相一致时,则可知,hz=∞,hx=∞,则滑移面与沉积面夹角表示为

而当处于二维各向异性情况时,此时也存在3 种情况.

(1)当沉积面沿x与y轴均存在分布时,则此时可知hz=∞,由此可知滑移面与特征沉积面夹角表示为

(2)当沉积面沿y与z轴均存在分布时,则此时可知hx=∞,由此可知滑移面与特征沉积面夹角表示为

(3)当沉积面沿z与x轴均存在分布时,则此时可知hy=∞,由此可知滑移面与特征沉积面夹角表示为

综合考虑偏平面与子午面上强度表达式,联立式(26)、式(35)、式(36)、式(51),可得到最终关于各向异性的岩土非线性强度准则

式(65)即为表示各向异性强度准则表达式.

下面具体讨论当参量取值不同时强度准则的表现形式.

(1) 对于各向异性强度准则偏平面表示式,式(51) 中当Mβ与Mx,M0各不相等时,则表示的是一般的横观各向异性强度应力比,此时,Mβ为一随β 角变化的强度值,此时强度准则为三维正交各向异性a准则.

(2) 对于各向异性强度准则偏平面表示式,式(51)中当Mβ=Mx=M0时,则由于其两相互垂直方向的应力比强度相同,则介于两者之间的任意应力比强度值都相同,则此时,Mβ为一恒定值.当a13=a23时,则此时强度准则退化为a准则.

(3)进一步,当a13=a23=0 时,则强度准则退化为偏平面上为SMP 准则的非线性强度准则.

(4)当Mx与M0都不为零,而a13=a23=0 时,则强度准则退化为偏平面上为各向异性SMP 准则的非线性强度准则.

4 主要参数意义及确定方法

4.1 参数t 对于偏平面上强度准则曲线的影响

由于该强度准则的核心是由比例因子参数t作为控制偏平面上形状的主要因素,因此命名该准则为t 准则.由图7 可见,反映摩擦性与凝聚性权重的比例因子参数t对于偏平面上不同应力罗德角下材料的强度特性影响显著.当t=0 时,此时,由于有效滑移角为零,因而材料破坏只受到偏差应力强度控制,因而退化为广义Mises 强度准则,反映的是金属材料的宏观破坏性质.当t=1 时,则t 准则退化为SMP 准则,反映的是纯摩擦性的材料破坏特性,而当0 ＜t＜1 时,则反映的是具有部分摩擦部分凝聚性材料的破坏特性.而当t＞1 时,则反映的是受应力罗德角影响更为显著的材料破坏特性,如图中t=2 时的破坏曲线,反映了偏平面上破坏曲线逐渐趋向于等三角形曲线的特点.

图7 各向同性不同t 值下偏平面上的破坏曲面Fig.7 Failure surfaces with different a value at deviatoric plane in isotropic stress space

由图7 可见,显然对于任意t值下,在三轴压缩所对应的偏应力强度值恒定,但对于其他应力罗德角下的广义偏应力强度值,却均不同,因而,显然可将t值与描述偏平面上曲线形状特性相联系.观察图7 可知,由于对应三轴伸长的偏应力强度值各个不同,因而,可将三轴伸长偏应力强度值与对应的三轴压缩偏应力强度值的比值λ=qc/qe,作为确定t值参数的依据.根据近似,建议可取如下公式作为确定参数t的表达式

分析上式,显然当λ=1 时,则此时t=0,对应的是广义Mises 准则,而λ=3/(3+M)时,则此时t=1,对应的是SMP 准则.

图8 所示分别为不同t值下的破坏面形态,为了便于观察,取Mf不同值时,即对Mf由小到大分别为0.7,1.0,1.4,1.8,2.4 下的破坏面分别对应着图8 中由内到外的空间破坏面,其所对应的t值分别为0,0.3,0.6,0.8,1.0.由图可见,当t值由小到大变化时,对应的破坏面的形态在偏平面上由圆形逐渐过渡为较为尖锐的曲边三角形形态.

图8 主应力空间中参数t 及Mf 不同值下的三维空间破坏面Fig.8 Failure surfaces in 3d space under different values of parameters t and Mf in the principal stress space

对于各向同性a准则,当参数a变化时,由图9可见,随着a值由0～1 逐渐增大,偏平面上强度曲线由表示SMP 准则的曲边三角形逐步过渡到表示Von-Mises 准则的圆形曲线.由此可见,参数a关于中主应力对于强度应力比的影响非常明确直接,可以直接决定中主应力对于强度的贡献程度.

4.2 参数n 意义及确定

图9 大主应力与沉积面垂直时的三轴压缩及三轴伸长示意图Fig.9 Triaxial compression and triaxial extension conditions with major principal stress vertical to the depositional plane

图10 不同幂参数n 值下破坏曲线形态Fig.10 Failure curves with different n value

从图10 可看出,在子午面上,由下到上分别对应不同n值下的破坏曲线,分别对应n=0.2,0.4,0.6,0.8,1.0 时的破坏曲线.由此可看出,参数n对于破坏形态的影响主要体现在两个方面.第一,在子午面上,随着n值增大,则子午面上破坏线逐渐趋近于一条斜直线,随着n值减小逐渐趋近于零,则破坏线逐渐趋近于平行于球应力轴的水平直线,当为水平直线时,则破坏时对应的广义偏应力恒定不变,即不受静水压力影响,起决定作用的是广义偏应力.而当n值介于0 与1 之间时,则子午面上对应的是一条幂函数曲线,随着球应力的增大,则广义偏应力也逐渐增大,但增大率逐渐减小,体现了非线性特点,表明静水压力对于三轴压缩下的剪切强度有直接影响.第二,在偏平面上,随着n值的增大,则三轴压缩对应的广义偏应力强度相应增大,在相同的球应力下,随着三轴压缩剪切强度的增大,则不同罗德角作用下的强度值差异逐渐显著,也就是应力诱导各向异性程度逐渐加深.

通过式(36)变形可得到如下的关系式

以等式左右两端的对数分别为变量,则上述公式显然是关于参数n的一次函数,利用三轴压缩试验结果,可将对应不同静水压力下的剪切强度整理在对数坐标系内,拟合出的直线型曲线,斜率为n,而截距值为lnMf.

4.3 参数σ 涵义及确定

σ0为强度曲线与静水压力轴的左交点值,其物理意义表示材料在拉伸条件下的强度值,可以反映出材料的凝聚力特性.在实际状态中三向拉伸作用下的强度值,一般很难实现,对于无黏性土,则取为0.对于具有拉伸强度的材料,如混凝土等,根据过镇海的建议,可将其取为单轴拉伸强度值的0.9 倍.

4.4 参数pr 涵义及确定

参数pr反映在一定静水压力下,将剪切强度q归一化的特征压力.另外,也起到将静水压力无量纲化的作用,通常在砂土等散粒体条件下,可取为一个大气压力值.参数pr的确定可根据式(36),由对试验结果整理在对数坐标系内,根据拟合出来的直线来确定参数pr的值.

4.5 参数Mx 与M0 涵义及确定

作为反映各向异性的参数,通常只需确定沉积面与空间有效滑移面的呈现最大夹角和最小夹角状态下的三轴压缩强度值,即可得到相应的Mx与Mn值.Mx根据大主应力方向垂直于沉积面加载条件下的三轴压缩强度值来测试得到,而Mn可间接通过M0用式(53)求取得到,而M0则是利用大主应力与沉积面顺层方向的三轴压缩强度测试得到.

5 各向异性对强度曲线影响

由图3 可知,当空间沉积面的法线不与三维空间坐标轴的任一轴重合时,即空间沉积面处于三维空间的一般位置时,则沉积面与有效滑移面的夹角可由式(49)来表述,通过式(51)可知,应力比强度值是夹角β 的单增函数.当沉积面空间位置一旦确定后则是固定不变的,而随着主应力大小以及方向的调整,显然有效滑移面始终是动态变化的,在非三轴压缩条件下,则其强度值始终是小于Mx,随着夹角β在零度附近变化,则强度值也会相应的升高或降低,若按照大主应力与沉积面法向夹角为加载角的定义,则强度值会随着加载角产生先减小后增大的规律.

如图11 所示,为便于描述,按照主应力的变化在偏平面上将全部区域分为3 个象限I,II,III.

图11 描述横观各向同性状态的偏平面空间区划图Fig.11 Zones describing transverse isotropic state in deviatoric plane

(1)当沉积面法线方向与x轴,即σ1方向相一致时,则显然,由图12 可见,当为各向同性强度准则时,如图12 中的虚线与点划线,即当Mf为恒定值时,则破坏曲线在偏平面上为一个几何对称图形,对于实线,及Mf为一个变量时,则此时的破坏曲线仅仅关于材料主轴对称.

由图13 可见,当沉积面垂直于y轴时,则此时最大应力比为位于与σ2轴相重合的纵轴上,而两侧的几何破坏线关于该轴几何对称分布.

由图14 可见,当沉积面垂直于z轴时,则此时最大应力比为位于与σ3轴相重合的轴线上,而两侧的几何破坏线关于该轴几何对称分布.

图12 各向异性强度准则(沉积面垂直于x 轴)Fig.12 Failure surface of anisotropic criterion(depositional plane vertical to the x axis)

图13 各向异性强度准则(沉积面垂直于y 轴)Fig.13 Failure surface of anisotropic criterion(depositional plane vertical to the y axis)

图14 各向异性强度准则(沉积面垂直于z 轴)Fig.14 Failure surface of anisotropic criterion(depositional plane vertical to the z axis)

综合图12～图14 可见,采用考虑有效滑移面与沉积面的夹角作为反映各向异性程度的状态量,能够有效地反映出材料本身沉积面对于强度应力比的影响规律.

6 基于横观各向同性t 准则的变换应力公式

为了可简单合理的将已有的基于p-q空间的二维弹塑性模型推广到能应用于描述原生各向异性特性对本构关系的影响规律,基于所提的横观各向同性a准则,将其应用于构造变换应力方程[36-38],由此可将横观各向同性应力空间转变为各向同性应力空间.其基本思路是,先将一般的考虑各向异性的广义偏应力q进行归一化处理,即将对于某一特定加载条件下的q转换为qf,即第一步实现了将各向异性转换为各向同性,qf即为对应大主应力方向与沉积面法向方向一致的三轴压缩的广义偏应力强度值.然后再通过将各个偏应力分量放大到对应von-Mises圆的对应点上,第二步是将各向同性应力空间中主应力对应力比强度的影响归一化处理.通过上述两步骤,即可实现由各向异性应力空间与各向同性应力空间的转换.

由Satake 等针对纯摩擦特性所提出的基于SMP准则的形状函数,基于摩擦角的概念而提出,因而本文中的有效摩擦角可将其替换以得到基于有效摩擦角的形状函数

EB,EC是σ1,σ2,σ3的函数,具体见式(6)、式(7)、式(26).

其中,θ 为应力罗德角,可表示为

对应a准则的偏平面上的形状函数可表示为

由于已知有基于a准则的形状函数,因此,可得到在对应任意一个球应力p下的三轴压缩路径下的广义偏应力qc,表示为

考虑到偏平面上各向异性的修正,最终得到偏平面上考虑各向异性的a准则

基于各向异性强度准则的转换应力公式可表达为

将其推广为一般应力表示的转换应力公式

式(77)中∂qac/∂σi可表示为

式(55)～式(63)为将普通应力转换为变换应力空间的变换应力公式,而式(64)～式(88)为将变换应力空间中变换应力应用到具体本构模型中时微分的导函数公式.

7 平面应变条件下的t 准则公式

平面应变条件是自然界以及工程实践中常常遇到的某种约束条件,指的是三维条件下材料某一方向的尺寸远大于另两个相近的方向上的尺寸,比如堤坝、路基或者挡土墙等工程中的土体约束作用.将所提t 准则应用于平面应变约束下的工况,一方面可将其具体应用化,另一方面可对于所提准则进行相应的检验.

假设屈服准则表达式为

且屈服准则为理想弹塑性屈服面,则对中主应变的塑性增量,可由一致性条件表达为

由于理想弹塑性的流动法则可知,当进入塑性流动状态后,应变增量完全为塑性应变增量,此时,弹性应变增量为零,而由平面应变条件可知,中主应变增量为零,因此可得

由于塑性因子λ 在加载阶段为大于零的数值因此显然可知,平面应变条件的等价方程为

由链式法则,可依次求取得到

其余变量可参见式(85)～式(88).

8 准则及变换应力法的试验验证

为了便于对所提各向异性t 准则及其变换应力公式进行验证,分别采用如下的岩土材料,在真三轴以及平面应变加载条件下的破坏以及应力应变关系试验结果进行对比分析.表1 为所有岩土材料的参数.

8.1 真三轴强度准则预测

图15 中圆圈表示Lade 等[39]关于Grundite 黏土的真三轴加载测试结果,对该试验结果在图15 所示的偏平面进行预测对比.黏土除了具备应力诱导各向异性,也就是随着应力罗德角的不同而表现出不同的偏应力强度以外,还具有一定程度的原生各向异性,也就是由于沉积过程的特点所形成的近似为横观各向同性的材料.采用所提t 准则可以较好地描述该黏土在真三轴下的强度特性.

表1 岩土材料参数Table 1 Geomaterial parameters

图15 偏平面Grundite 黏土的真三轴测试结果与预测对比Fig.15 Comparison results with test data and prediction for Grundite clay in deviatoric plane

图16 中测试点为Lam 等[40]关于Toyoura 砂土的真三轴测试结果.由图可见,测试点在偏平面上形成了较为尖锐的曲边三角形形态,且三轴伸长较三轴压缩强度值具有显著的减小特点.采用所提准则可以较好地模拟砂土的这种特性.

图17 中离散点为Mogi[41]关于粗面岩岩石的真三轴测试结果.岩石具有更为显著的原生各向异性性质,且应力诱导各向异性对于强度值的影响也很明显.图中采用所提准则可以很好地预测岩石的真三轴强度特性.

图16 偏平面Toyoura 砂土的真三轴测试结果与预测对比Fig.16 Comparison results with test data and prediction for Toyoura sand in deviatoric plane

图17 偏平面粗面岩石的真三轴测试结果与预测对比Fig.17 Comparison results with test data and prediction for Trachyte rock in deviatoric plane

8.2 平面应变条件强度准则预测

图18 中离散点为Park 等[42]关于3 种砂土在平面应变条件下的内摩擦角特性得到的试验研究结果.其中角度δ 表示大主应力与沉积面法线的夹角,而φ 表示内摩擦角.由试验曲线可见,随着大主应力与沉积面法线夹角δ 的单调增大,从0°到90°区间,内摩擦角呈现先减小后增大的规律特点,而对于Monetary 砂土,则呈现了单调减小的规律,与Hostun 砂土和Silica 砂土的规律不一致,表明Monetary 砂土在δ趋近90°时的测试值有待商榷.采用所提的t 准则在平面应变条件下,3 条曲线也呈现了先减小后增大的规律特点,且δ=0°对应的值要大于δ=90°对应的值.

图18 平面应变下3 种砂土内摩擦角测试结果与预测对比Fig.18 Comparison results with test data and prediction for three kinds of sand in plane strain condition

图19 平面应变下两种砂土内摩擦角测试结果与预测对比Fig.19 Comparison results with test data and prediction for two kinds of sand in plane strain condition

图19 中测试点为Oda 等[43]关于两种Toyoura砂土在平面应变条件下的内摩擦角值.δ 角仍与前述相同,由两种测试结果可见,内摩擦角曲线随δ 角的曲线形态表现为明显的“汤匙”形状.一方面仍然是δ=0°对应的值要大于δ=90°对应的内摩擦角值,另一方面,最小的内摩擦角所对应的δ 角向右侧偏移,集中在60°～80°之间.说明当δ 角在最低曲线时刻,此时破坏面与沉积面相互平行,此时达到最小的内摩擦角.采用所提准则可以较好地描述上述特性.

8.3 变换应力法应用预测

图20 中测试点为Ward 等[44]和Indraratna 等[45]关于伦敦裂隙黏土所做的常规不排水三轴压缩测试结果.显然裂隙可以视为某种沉积面的弱化物态状态,则图中广义偏应力强度分为大、中、小3 条曲线,分别对应着大主应力方向与裂隙面法线夹角为0°以及某种锐角,和90°三种情况下的测试结果.采用基于t 准则的变换应力法修正UH 模型[46],用于反映超固结度以及裂隙等原生各向异性对应力应变关系的影响.由图可见,采用基于t 准则的变换应力法能够有效地反映原生各向异性所带来的对应力应变关系的影响.

图20 伦敦裂隙黏土应力应变关系测试结果与预测对比Fig.20 Comparison results with test data and prediction of stress-strain relationship for fissured London clay

图21～图28 中离散点为Yang 等[47]关于Leighton Buzzard 砂土在原生各向异性以及应力罗德角影响下的应力应变关系测试结果.图中连续曲线为采用所提的变换应力法修正的UH 模型做出的预测结果.其中,对于原生各向异性的影响,利用大主应力与沉积面法线夹角δ 呈现为0°,30°,60°,90°四种情况作为初始加载条件,在上述4 种工况下再分别考察b=0,0.2,0.5,1 下的应力应变关系曲线.

图21 为大主应力垂直于沉积面加载时的测试与预测对比结果,由图21 可见,应力比与偏应变的关系,采用修正后模型可以较好地反映b值增大,而应力比强度减小的规律,以及应变软化现象.图22 为所对应的体应变随偏应变的关系对比结果,随着b值的增大剪胀体应变逐渐减小,所用模型可较好地反映上述特点.

图23 与图24 为对应δ=30°下的应力应变关系对比结果.除了反映随b值增大应力比峰值减小的规律以外,由于δ 的增大,对应的各条曲线的峰值应力比较δ=0°工况下有所减小,采用所提变换应力法修正后模型可较好地反映上述规律.图24 中体变特性也能用模型较好的描述.

图21 δ=0° 条件下Leighton Buzzard 砂土应力比与偏应变关系测试结果与预测对比Fig.21 Comparison results with test data and prediction of stress ratio and deviatoric strain relationship for Leighton Buzzard sand under δ=0°

图22 δ=0° 条件下Leighton Buzzard 砂土体应变与偏应变关系测试结果与预测对比Fig.22 Comparison results with test data and prediction of volume strain and deviatoric strain relationship for Leighton Buzzard sand under δ=0°

图25 与图26 为对应δ=60°下的应力应变关系对比结果.由图可见,随着δ 的增大,各条曲线的应力比强度值出现小幅度的减小,用修正后模型能够反映上述规律.图26 中的体应变的剪胀量较δ=30°工况有所减小,用修正模型可以反映上述特点.

图27 与图28 为对应δ=90°下的应力应变关系对比结果.由图可见,测试结果表明,各条曲线峰值应力比仍出现了小幅度的减小,但所用修正模型过高地预估了应力比强度值.图28 中的预测的剪胀体变值也稍大于实测值.

图23 δ=30° 条件下Leighton Buzzard 砂土应力比与偏应变关系测试结果与预测对比Fig.23 Comparison results with test data and prediction of stress ratio and deviatoric strain relationship for Leighton Buzzard sand under δ=30°

图24 δ=30° 条件下Leighton Buzzard 砂土体应变与偏应变关系测试结果与预测对比Fig.24 Comparison results with test data and prediction of volume strain and deviatoric strain relationship for Leighton Buzzard sand under δ=30°

9 结论

基于已提出的t 强度准则,考察横观各向同性性质,利用由主应力构成的空间滑移面与材料宏观上的物理沉积面之间的夹角作为度量各向异性程度的状态量.同理,将其推广于三维正交各向异性的描述,提出了用于描述三维各向异性的状态量.并在此基础上,给出了基于各向异性t 准则的变换应力方程.主要完成了如下几点工作:

图25 δ=60° 条件下Leighton Buzzard 砂土应力比与偏应变关系测试结果与预测对比Fig.25 Comparison results with test data and prediction of stress ratio and deviatoric strain relationship for Leighton Buzzard sand under δ=60°

图26 δ=60° 条件下Leighton Buzzard 砂土体应变与偏应变关系测试结果与预测对比Fig.26 Comparison results with test data and prediction of volume strain and deviatoric strain relationship for Leighton Buzzard sand under δ=60°

(1)基于已有的t 准则公式,通过弓入有效滑移面与沉积面之间的夹角作为各向异性程度状态量,建立了三维各向异性t 准则.

(2) 基于上述所提出的各向异性t 准则,得到了变换应力方程,可方便的将既有的以p-q为变量的二维模型推广为可考虑各向异性影响的三维应力应变关系模型.

(3)通过真三轴、平面应变条件的强度测试对比,以及真三轴下的应力应变关系预测对比,进一步验证了所提准则及变换应力法的合理性与适用性.

图27 δ=90° 条件下Leighton Buzzard 砂土应力比与偏应变关系测试结果与预测对比Fig.27 Comparison results with test data and prediction of stress ratio and deviatoric strain relationship for Leighton Buzzard sand under δ=90°

图28 δ=90° 条件下Leighton Buzzard 砂土体应变与偏应变关系测试结果与预测对比Fig.28 Comparison results with test data and prediction of volume strain and deviatoric strain relationship for Leighton Buzzard sand under δ=90°