积累基本图形，走入几何

湖北省武汉市第十二初级中学 裴 红

一、积累基本图形的意义

初学几何的同学总感觉证明题目太难了，苦于看不清图形，找不到证明的方法，特别是对于初一年级的学生而言，学会识图是几何入门的第一关。学会识图主要指：（1）能从不同角度、不同方位去看图形；（2）熟悉基本图形；（3）利用标准图形认识变式图形；（4）善于把复杂图形分解为基本图形。由此可知，在初一学生学习几何的过程中，识别基本图形的过程就是学会识图的过程。

二、积累基本图形的途径

1.课本学习的总结归纳

中学生的解题积累基本上就是课本的学习积累，因此，对课本学习内容进行总结归类，是积累基本图形的一个基本途径。比如：

（1）每一个关键概念、每一条重要定理都对应一个基本图形。相交线（垂线）、平行线是两条直线的位置关系，是基本图形；对顶角、邻补角、“三线八角”，也可以算是基本图形；三角形的边、内角、外角、中线、高、角平分线、面积等也组成基本图形。

（2）每一单元学习之后，对例题、作业进行一些总结，弄清一共有几个主要基本图形？每一基本图形对应哪些基本结论？对于这些基本结论各有哪几种解决方法？哪种方法比较简洁？这既是一个解题反思的过程，又是一个积累基本图形和基本结论的过程。下面举例说明。

例1：观察下面两个八年级上册的课本原题。

（第17 页习题9）如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=100°，求x 的值。

例1 变式1：将基本图形1 的条件变化，可得基本图形2 与基本图形3。

例1 变式2：将基本图形1 一般化，可得基本图形4 和基本结论4：如基本图形4，在四边形ABPC 中，∠P=∠A+∠ABP+∠ACP。

进一步观察基本图形4 可得下列结论：

基本结论5：∠P＞∠A。

基本结论6：AB+AC＞PB+PC。

2.解题过程的分析提炼

一方面，可以将题目加以组合或分解，使组合后的新问题或分解后的各个子问题成为基本图形；另一方面，也可以将基本图形加以深化或重组，用整合过的综合图形来解决所面临的问题。

例2：（节选自七年级下册课本第7 页练习2）如图2-1，∠1 与哪个角是同旁内角？它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？

例2 的图形比较复杂,要解决这个问题,就需要确定∠1 是哪两条直线被哪一条直线所截形成的,所以我们引导学生分类讨论截线,得到图2-2、图2-3、图2-4,从而解决问题。

3.基本图形网络化

这种积累基本图形途径的本质是：形成知识网络，优化认知结构，在这个积累知识的过程中，会形成越来越清晰的思维路径图，而这个思维路径图又会在基本图形积累中越来越牢固、越来越畅通。下面举例说明：

例3：

（1）“叠加”探究基本图形

学习了三角形外角定理后，可以得到基本图形5。将两个基本图形5 叠加可以组成基本图形2 和基本图形6，再将两个基本图形6 叠加又可以组成图3-2。

（2）“分解”探究基本图形

如图3-1，在基本图形4 中，延长BP 交AC 于M，可以得到两个基本图形5。

（3）“互推”探究基本图形

（4）“结网”探究基本图形

整体观察上述思维路径图，可以发现其核心图形为基本图形5，观察从基本图形2 到基本图形1、基本图形3 的互相转化的过程，它们主要是依据基本图形7 构造直角三角形，利用基本图形5 将这三个结论串联起来，就可以达到“忆一个出一串”的效果。

随着学生所学知识的增多，上述思维路径图还会不断生长。几何学习的过程就是通过不断完善思维路径图，提高学生识图、辨图、用图的空间能力，发展学生的空间观念。