冰雹猜想中的白言规则

中国林业科学研究院 林产化学工业研究所 李 科

冰雹猜想：对于任一正整数，如果它是奇数，那么对它乘3 加1；如果它是偶数，那么对它除以2。如此循环，终将回到1（被称为数学不可及的问题）。它风靡全球，无论是中小学还是高校师生都为之着迷，但近百年无人能破解其中秘密，然而白言规则（LiKe’s rule）指出了其变化规律：正整数在考拉兹算法下都会转变为3n-1形式的数，3n-1 再转变为更小的3m-1 并最终经32-1、31-1 回到1（让猜想变得触手可及）。那么正整数为何会按此规律变化呢？文献中虽做了详细证明，但过于学术。为便于理解和推广，本文避开相关证明，仅从变化规律入手，加以简化，尽量做到让广大中学生一目了然。详见下文：

一、冰雹猜想

冰雹猜想是一个风靡全球的数字游戏。按照上述规则，6 和23的变化过程如下：

6：6， 3， 10， 5， 16， 8， 4， 2， 1；

23：23， 70， 35， 106， 53， 160， 80， 40， 20， 10， 5， 16， 8， 4， 2， 1。

无论你选什么正整数，都将会回到1。不信你可以试试，不在此赘述。

二、白言规则

对于上述的两个数6 和23，它们在变化过程中分别经历了8 和80。而8=32-1，80=34-1，它们均是3n-1 可表示的偶数；且23 在变化到80 后又降至8（32-1），这都完美符合白言规则。其他数也是如此，比如27 经过242（35-1）再降至80（34-1），8（32-1），回到1。

三、变化规律

那么为什么所有正整数都会符合白言规则呢？这就不得不从LiKe 揭示的变化规律说起。LiKe 在研究猜想时不仅巧妙地研究奇数，且灵活地根据奇数乘3 加1 后必可除以2 将这两步归为1 步，并出奇地只研究仅有该变化的数（2n-1），制作表格后使得潜藏规律奇迹般地跃然纸上，详见表1。

表1：LiKe 研究奇数变化的简表

从表1 中可以看出以下5 条明显的规律：

（1）偶数经除以2 都会转变为奇数。这是因为所有偶数除以2 得到的是全体整数，若将偶数再除以2 又是整数，不断循环。最终所有偶数都可以转化为奇数，所以只需研究表1 中的奇数L0(1,3,5,7,…,0) = {2n-1 ∣n ∈Z+}即可。

（3）对经乘3 加1 再除以2 后为偶数的奇数，经过考拉兹运算也会转变到On1和Ln。这是因为L0产生的偶数会再次降至L0并最终100%可转变到1 或L1；同理，Ln-1产生的偶数同样是100%可转变到L0或Ln，并最终转变到On1和Ln。

（4）所有奇数L0(1,3,5,7,…,0)都可转变为On1数列集合(1，5，17，53，…，On1)中的项。这是因为对所有奇数L0(1，3，5，7，…，O)可转变到O01和L1，L1可转变到O11和L2，并最终得到数列Ln(On1，On2，On3，…，Onm)，且无确定的奇数可一直增至L∞。而这其中，又只有Ln的首项On1是不可延续的，所有给定的奇数必将转变为最小奇数On1数列集合(1，5，17，53，…，On1)={2×3n-1|n ∈Z}中的项。

（5）综上，On1∈(1，5，17，53，…，2×3n-1)={2×3n-1|n ∈Z} 奇数，那么On1也必然会经过上述变化再次回到数列On1{2×3n-1|n ∈Z}中；

对于以上结论，只要扩展表1 并耐心推演，都是显而易见的。还有一点同学们恐怕难以理解，且在表1 中也并非一目了然，需稍加说明。

（6）2×3n-1 经过奇数乘3 加1 和偶数除以2 的操作，只会转变为更小的2×3m-1，即m ＜n。

本文避开烦琐的证明过程，仅用显而易见的规律及逻辑推理诠释了一个重要的数学概念——冰雹猜想中的白言规则（LiKe’s rule）：对于所有正整数，如果按照奇数乘3 加1，偶数除以2 来不断运算，偶数中2 的幂可直接降至1，非2 幂的偶数均可转化为奇数；所有奇数均可转变到LiKe 第二数列{3n-1 ∣n ∈Z+}=（2，8，26，80，…，3n-1）中的数；3n-1 再不断降低至8（32-1）回到1。全文化繁为简，旨在便于中学生理解，从而进一步加强对未知问题的求索兴趣。