一类带有媒体效应的谣言传播模型稳定性分析

宋 雪，武力兵

（辽宁科技大学 理学院，辽宁 鞍山 114051）

随着网络化的普及，人们在日常生活中获取信息的渠道增多。研究显示，微博、微信、抖音短视频等社交软件的注册人数逐年上升。社交网络的灵活性和开放性，极大地促进了信息的传播，给人们的工作和生活带来了诸多便利。但由于社交网络是虚拟式服务，对人们的约束较少，这极大地削弱了网络信息的真实性和准确性。一些涉及到人民生活、社会保障、国家发展等谣言信息，在社交网络媒介的影响下，在网络中迅速传播扩散，成为网络突发事件，给国家安全和社会稳定带来了极大的危害［1］。例如，2020年初，全世界爆发的新冠肺炎疫情，在整治过程中一些虚假信息的传播造成了一定程度的社会恐慌，给国家和社会的稳定发展带来了前所未有的挑战。因此，揭示谣言的传播特点，探寻最有效的谣言抑制策略，制定可行的谣言防范和控制策略，这些都是迫切需要研究和解决的关键问题。

已有研究发现，谣言在社交网络中的传播和传染病在人群中的传播方式非常相似。因此，现有的大多数谣言传播模型都借鉴了传染病模型的研究成果［2-4］。在 1965 年，Daley 和 Kendall［5］第一次提出了一种谣言传播的数学模型，后人将其简称为DK模型。之后，学者们对DK模型进行了各种各样的推广［6-8］。2014年，霍良安［9］等在DK模型的基础上，运用系统动力学的思想，分析了一类不实信息传播模型的稳定性，并利用数值仿真实验探讨了媒体报道效应对谣言传播的影响。2017年，梁新媛［10］等提出一种考虑媒体澄清对谣言传播影响的模型，分析了媒体介入对谣言传播过程的影响。2018年，赵敏［11］等结合媒体正面和负面报道对信息传播的影响，建立了新的谣言传播模型，在理论上分析了平衡点的存在性和全局稳定性。2019年，刘迪［12］等将媒体引入到股市谣言传播过程中，构建了股市谣言传播模型，有利于人们更好了解股市谣言传播机制。

媒体报道效应对谣言传播的规模以及网络谣言传播内容等有着至关重要的作用。本文在经典的DK模型基础上，进一步探讨了媒体报道效应对社交网络中谣言传播过程的影响，引入媒体报道效应因子，分别讨论了媒体正面报道和负面报道对谣言传播过程的影响。

1 模型建立

本文基于DK模型的框架，建立了一类带有媒体报道效应的谣言传播模型。运用仓室模型的方法，将社交网络中的人群分成三大类：谣言易染者S，也称谣言未知者，此类人从来没有听到过谣言；谣言传播者I，此类人不仅知道谣言而且会传播谣言；谣言免疫者R，此类人不会传播谣言。

模型的基本假设：

（1）个体以恒定的比率∧进入社交网络。

（2）谣言传播者I与谣言易染者S相遇时以一定概率μ传播谣言，但谣言的传播又受到媒体报道效应m的影响。当m＞0时，表示媒体正面报道对谣言传播的影响；当m＜0时，表示媒体负面报道对谣言传播的影响。又由于媒体报道不能阻止谣言的传播，故 μ＞m。

（3）谣言传播者I与谣言免疫者R相遇时，谣言传播者I失去了继续传播的兴趣；两个谣言传播者I相遇时，彼此都失去了继续传播谣言的兴趣，以概率δ变为谣言免疫者。

（4）一部分谣言易染者S对于谣言信息有正确的判断力，会以一定概率α成为谣言免疫者。

（5）随着时间的推移，每一类个体由于某种特定原因以一定的概率β离开系统。

由模型的基本假设可以得出单位时间内谣言易染者S的数量变化为∧-μSI+mSI-αS-βS；单位时间内谣言传播者I的数量变化为 μSI-mSI-δ(I+R)-βI；单位时间内谣言免疫者R的数量变化为δ(I+R)+αS-βR。由此得到考虑媒体效应的谣言传播示意图，如图1所示。

基于以上分析，进一步扩展DK模型，建立具有媒体报道效应的谣言传播模型

采用常微分方程稳定性理论对谣言传播模型进行分析。由于模型表示的是谣言传播的过程，因此所涉及的参数都非负，即初始条件满足S(0)≥0,I(0)≥0,R(0)≥0 。

2 模型分析

2.1 解的不变性

证明：设人口总数N=S+I+R，则

2.2 平衡点的存在性

令系统（3）等号右边为零，得：

（1）当I*=0时，，此时谣言传播者I消失，而谣言易染者S为常量。系统的平衡点为

2.3 基本再生数

基本再生数R0表示在易染者人群中引入一个传播者，该传播者在其谣言传播的平均周期内所能感染的人数的期望。当R0＜1时，传播者在其平均传播期内能传播的人数小于1，那么谣言会自行消失。当R0＞1时，传播者在其平均传播期内能传播的人数大于1，相信谣言的人数会逐渐增多直至到达顶峰。

采用下一代矩阵法计算R0［13-14］，也就是构造出再生矩阵FV-1，计算出再生矩阵的谱半径ρ(FV-1)，基本再生数R0的值就等于谱半径的值，也是再生矩阵FV-1的特征值中模的最大值。矩阵的构造以人群状态分类，具体形式多种多样，这里考虑系统（3）中的且无谣言传播的平衡点为，所以 R0=ρ(FV-1)=

2.4 平衡点的稳定性

定理1 若R0＜1，则系统（3）的边界平衡点E0是局部渐近稳定的；若R0＞1，则E0是不稳定的。

证明：系统（3）在边界平衡点E0处的雅可比矩阵为

因为系统（3）的所有参数非负，显然有λ1＜0，当 β∧(μ-m)-αδ∧ -β2(α+β)＜0 时，也就是 R0=时，进而有 λ2＜0，根据劳斯-赫尔维茨（Routh-Hurwitz）稳定判据可得，若 R0＜1，则系统（3）的边界平衡点E0是局部渐近稳定的；若R0＞1，则E0是不稳定的。

定理2 若 R0＞1且 ῶ＞0时，则系统（3）的唯一正平衡点E*是局部渐近稳定的，其中

系统（3）在平衡点E*的雅可比矩阵为

其中

则矩阵的特征方程为

其中

显然E*的稳定性取决于方程（4）根的符号。由于 H1=a1=ῶ，=a2H1，把 S*带入 a2中可以得到

从而H2的符号与H1的符号相同。

由Routh-Hurwitz稳定判据可知，若R0＞1且ῶ＞0时，E*是局部渐近稳定的。

定理3 若R0＜1时，对于集合Ω，系统（3）的边界平衡点E0是全局渐近稳定的。

证明：由于各参数非负，且在系统（3）中，满足初始条件的任一解都是非负的。由系统（3）的第二个方程可以得到

因此，由比较定理［15-16］得，当 t→∞ 时，I→0 ，再由系统（3）可得，I=0时综上，若R0＜1时，对于集合Ω，系统（3）的边界平衡点E0是全局渐近稳定的。

3 数值仿真

3.1 边界平衡点的稳定性

基于对谣言传播模型的研究，以及实际调研结果，在系统（3）中选取参数值为∧=0.6，μ=0.2，β=0.3，δ=0.5，α=0.3。为了探讨媒体效应对谣言传播的影响，这里分别对m取不同的值。首先令m=0.1，通过计算求出E0=(1,0)，基本再生数 R0=0.125＜1；再令 m=-0.1时，计算求出 E0=(1,0)，基本再生数R0=0.375＜1。由于m＞0和m＜0时，都符合定理3的条件，所以不论正面的媒体效应还是负面的媒体效应，只要满足R0＜1的条件，系统（3）的边界平衡点就是全局渐近稳定的。

利用Matlab软件进行数值仿真，结果如图2所示。不论谣言传播的初始状态如何，谣言传播者的数量始终趋于零。在正面的媒体效应或负面的媒体效应影响下，谣言易染者的数量逐渐减少，最终稳定于常值，而谣言免疫者的数量经过一次波动后，最终也稳定于一个常值。即不论正面的媒体效应还是负面的媒体效应影响，系统（3）的边界平衡点都是全局渐近稳定的。

3.2 正平衡点的稳定性

在系统（3）中，选取参数值为∧=0.6，μ=0.5，β=0.1，δ=0.2，α=0.1。为了探讨媒体效应对谣言传播的影响，这里分别对取不同的值，首先令m=0.1，通过计算求出E*=(2.17,0.2)，基本再生数R0=1.714＞1，ῶ=0.278＞0。再令 m=-0.1，通过计算求出E*=(1.625,0.282)，基本再生数R0=2.571＞1，ῶ=0.369＞0。由于m＞0和m＜0时，都符合定理2的条件，所以不论媒体正面报道还是负面报道，只要满足 R0＞1,ῶ＞0 时，系统（3）的正平衡点就是局部渐近稳定的。

利用Matlab软件进行数值仿真，结果如图3所示。在正面的媒体效应或负面的媒体效应影响下，谣言传播者的数量、谣言易染者的数量和谣言免疫者的数量经过波动后，最终都稳定于一个常值。所以谣言会一直存在，而且一旦有外界因素打破了这种平衡状态，谣言将会继续传播，并对社会产生不良影响。媒体的正面报道会使人们正确地辨别谣言信息，降低谣言的传播，而媒体的负面报道会影响人们正确判断谣言信息的能力，从而加快谣言的传播。因此，在达到稳定状态时，前者影响下的谣言传播者数量比后者的谣言传播者数量少。

3.3 控制谣言传播的策略

数值仿真结果表明，媒体积极正面的报道，虽不能阻止谣言的传播，但在一定程度上会抑制谣言的大范围爆发，减少谣言传播者的数量，而媒体消极负面的报道反而会加快谣言的扩散速度。现给出三点抑制谣言的策略：（1）在谣言大范围爆发前，媒体要积极正面地报道信息，及时纠正谣言信息，从而让更多的人拒绝谣言，减少谣言传播者的数量，这样经过一段时间后，谣言便会消失。（2）在谣言传播过程中，政府等管理部门要鼓励媒体进行积极正面报道，阻止媒体对谣言信息的负面报道，从而减少谣言信息的肆意传播。（3）政府等管理部门要定期管理社交网络平台，加强舆论监督力度。并通过媒体等公众平台向人们普及基本知识，提高人们的综合素养，以及辨别信息真假的能力，从源头上阻止谣言的传播。

4 结 论

本文建立了一类带有媒体效应的谣言传播模型，分别考虑了媒体的正面宣传报道和负面宣传报道对谣言传播过程的影响，运用下一代矩阵法求得了模型的基本再生数，并利用常微分方程稳定性理论讨论了平衡点的存在性和稳定性。运用数值仿真分别绘出了媒体的正面宣传报道和负面宣传报道对谣言传播过程的影响图像。通过理论分析和数值仿真表明，媒体正面宣传报道，虽然不能阻止谣言的传播，但在一定程度上会抑制谣言的大范围爆发，减少谣言传播者的数量，而媒体负面宣传报道会影响人们正确辨别谣言信息的能力，从而加快谣言的扩散速度。总之，政府管理部门等要加强舆论监督，以降低谣言信息对社会产生的危害。