数学问题解答

2020年8月号问题解答

(解答由问题提供人给出)

图1

2556如图1，已知Rt△MNT，∠MTN=90°，点O是MN中点，点I、J是TM、TN上的点，满足OI⊥IJ，点X是IJ中点，点Y是MN上的点，满足∠NIY=∠TMN，证明：XY⊥MN.

(安徽省滁州中学 李伟健 239000)

图2

证明如图2，延长IO至点Q，使得OQ=IO，

连接QM、QN、QJ，

则四边形IMQN是平行四边形，

则∠TNQ=90°，

所以点I、J、N、Q共圆，

得∠IQJ=∠INJ.

连接OX，那么OX∥QJ，

所以∠IOX=∠IQJ，

得∠IOX=∠INJ，则∠IXO=∠TIN，

又∠NIY=∠TMN，

所以∠IYM=∠TIN，则∠IXO=∠IYM，

得点I、Y、O、X共圆，

所以∠XYO=90°，即XY⊥MN.

2557已知正数a，b，c满足a+b+c=3，求证：

(河南省南阳师范学院软件学院2017级9班 李居之 孙文雪 473061)

证明不妨令x=ab+bc+ca，

由舒尔不等式及其变形得

(a+b+c)3-4(a+b+c)(ab+bc+ca)+9abc≥0，

所以3abc≥4x-9，

则所证不等式等价于

abc(x+3)+48≥9(x+3)，

所以只需证明

(x+3)(4x-9)+144≥27(x+3)

⟺4x2-24x+36≥0

⟺(x-3)2≥0显然成立，

从而原不等式成立，

当且仅当a=b=c=1时等号成立.

(浙江省慈溪市慈溪实验中学 华漫天 315300)

解不妨令m=x+y+z，

所以x、y是方程

的两根

显然m-z>0，

则m2-11zm+14z2≤0，

yzm+zxm+xym=14xyz，

而(x,z)=1，(y,z)=1，所以z|m；

代入原方程逐一检验知，

代入得

则5x2-26xy+5y2=0，得x=5y或y=5x，

解得原方程的解为(10,2,3)或(2,10,3).

(河南质量工程职业学院 李永利 467001)

证明设△ABC的半周长为p，

由上式可知，(1)式等价于

(2)

由于(b+c)2-a2=(b+c-a)(b+c+a)>0，

于是(2)式等价于

(b+c)2(2b2+2c2-a2)

≥2(b2+c2)[(b+c)2-a2]

⟺-a2(b+c)2≥-2a2(b2+c2)

⟺(b+c)2≤2(b2+c2)⟺2bc≤b2+c2.

由二元均值不等式b2+c2≥2bc可知上式显然成立，故(2)式成立，从而(1)式成立.

2560⊙O的半径等于等边△ABC的高，且⊙O在BC边上滚动时与AB、AC两边将于E、F，求证：无论⊙O滚到什么位置，△OEF总是等边三角形.

(安徽省淮南三中 王秉春 232007)

证明设⊙O滚到如下图所示的位置，它与BC相切于D点，连结OD、OA，因为OD等于△ABC的高，那么OA∥BC，此时∠OAE=180°-∠ABC=120°,∠OAF=60°.

在△OEA中，由正弦定理，得

在△OAF中，由正弦定理，得

因为OE=OF，则sin∠AEO=sin∠AFO.

显然∠AEO、∠AFO都是锐角，∠AEO=∠AFO.那么E、F在线段OA同侧，对OA弦等角，于是A、E、F、O四点共圆.∠EOF=∠EAF=60°,又OE=OF，故△OEF为等边三角形.

2020年9月号问题

(来稿请注明出处——编者)

2561已知(如图)，在△ABC中，点D1、D2在BC上，且∠BAD1=∠CAD2.过点D1、D2分别作AC的平行线D1E1、D2E2，与AB分别交于点E1、E2.

(北京市朝阳区教育研究中心 蒋晓东 100028；北京市朝阳区芳草地国际学校富力分校

郭文征 100121)

2562设a，b，c> 0，且a+b+c=3，证明:

(河南辉县一中 贺基军 453600)

2563△ABC，E、F分别在AB、AC上且EF∥BC交△ABF的外接圆于D，EG∥AC交CD于G，求证：∠ABF=∠CBG

(江西师范高等专科学校 王建荣 335000)

(安徽省太和县第二小学 任迪慧 236630 )

2565如图1，圆上依次有A1、A2、A3、A4、A5五个点，连结A1A3、A3A5、A5A2、A2A4、A4A1，得一五角星，A1A2、A3A4交于A,A1A4、A3A5交于B，若过点A1的圆的切线和A2A5的延长线交于C，则A、B、C三点共线.

图1

(成都市金牛区蜀江路369号2-2-35 张殿书 610036)