积累数学活动经验 引导学生学会思考——函数图象起始课的设计说明

陈 杰

(山东省威海市教育教学研究中心 264200)

在一次跨地区送教支教活动中，本人执教公开课“函数的图象”(人教版教科书§19.1.2第一课时)．课后有教师觉得教学设计与众不同，注重学习经验的积累，注重隐性学习目标的落实，注重学习习惯的培养，欲进行深度交流．现就函数图象起始课的教学谈个人的思考与建议，欢迎批评指正．

1 选择教学内容

本课时是在§19.1.1“变量与函数”学习了常量与变量、函数、函数值、函数的解析式、自变量的取值范围等知识的基础上开展学习的．本节教材编写线索：画s=x2(x>0)的图象，引出函数图象的概念；从气温与时间关系的图象上获取信息；通过5个问题引导学生从分段(直线型)函数图象上获取信息；画一次函数和反比例函数的图象，归纳画函数图象的一般步骤；总结三种函数表示法的优点；在实际情境中使用多种方法表示同一函数……以上内容约三课时完成，涉及函数图象的概念、描点法画函数图象的一般步骤、函数表示法等知识．经过思考确定，本课时知识内容：函数图象的概念、三种函数表示法．

中学阶段的函数知识涉及函数的表达式、定义域、值域，单调性、对称性、周期性、最值，以及函数与方程、函数与不等式的关系等内容．函数性质多可以从图象上“看”出．通过图象分析数量关系变化规律是研究函数的重要方法．获取图表信息的能力也是PISA测试、中考的命题热点．因此，学会从图表中获取信息的方法是本课时的隐性学习目标，是教学重点，也是函数图象起始课要实现的教育功能．

2 确定学习目标

数学课程标准涉及本节课的内容要求：“结合实例，了解函数的三种表示法”“能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析”“根据一次函数(或反比例)函数的图象和表达式探索……图象的变化情况”“通过图象了解二次函数的性质”．显然，观察图象探索函数性质是课标要求的学习目标．根据课标确定本课时学习目标：

(1)函数图象的概念：①会识别函数的图象；②会判断点是否在某函数图象上．

(2)学会从图表中获取信息的方法．③结合具体实例，说出图象反映的函数变化趋势和数值对应关系等信息(最少两条信息)；④结合具体实例，说出表格反映的函数变化趋势和数值对应关系等信息．

(3)三种函数表示法：⑤说出三种函数表示法的优点．

教学时，不仅关注每一节课的学习目标，更要关注大单元整体教学的长期、隐性目标，重视隐性目标对培养数学学科核心素养的教育价值．学生建立研究函数问题的“思维框架”是函数学习的长期、隐形学习目标．作为函数图象的起始课，目标③④实为最低要求．

将观察函数图象获取信息的方法用于从表格中获取信息，可形成两种函数表示法优点的对比．尝试用不同方法表示同一个函数也是比较三种函数表示法优点的有效策略．由于学生没有类似的学习经验，且方法的迁移对思维水平有一定的要求，所以，比较三种函数表示法的优点是本课时的教学难点．

3 设计学习路径

教学线索：①从表格获取信息，复习函数概念，函数表示法(表格→解析式)转换，确定自变量的取值范围，求函数值；②从图象获取信息，初步形成观察图象的经验；③函数图象的概念；④函数图象的识别；⑤总结观察图象获取信息的经验；⑥比较三种函数表示法的优点；⑦总结活动经验．之所以没有按照教材顺序教学，原因有三：其一，对孩子来说，画抛物线难度太大，尤其是对“平滑”曲线的含义难以理解．课堂教学需要花费较多时间感受“平滑”的含义．其二，画函数图象是研究函数性质的重要过程．在学习一次函数、二次函数、反比例函数时，还要重新认真画相关函数的图象．其三，从图象上获取信息的思维框架是学生发现函数性质的“钥匙”．应该在学生接触函数的图象概念之初形成获取信息的活动经验，为后续自主探究函数的性质指明方向，让学生“自然”地发现函数性质成为可能．

3．1 学习起点

问题1猪肉的总价y(元)与质量x(斤)之间的关系如下图所示：

x斤1.11.21.31.41.51.61.71.81.922.12.22.32.42.5y元0.880.961.041.121.21.281.361.441.521.61.681.761.841.922

问：(1)猪肉的总价y(元)是质量x(斤)的函数吗？为什么？

(2)这个函数可以用解析式表示吗？若能，如何表示？写出自变量的取值范围．

(3)当自变量x=12时的函数值是多少？

【说明】这是笔者小时候亲身经历的真实情境：卖肉的老大爷每次称出肉的质量之后，总要看看桌子上的表格，然后说出所需金额．本题既复习上节课内容，又为从表格中获取信息、用不同方法表示函数提供了生活情境素材．问题(1)呈现用表格表示的函数关系，从表格中获取信息，复习函数的概念；问题(2)用解析式表示函数关系，在实际问题背景中确定函数自变量的取值范围；问题(3)求对应的函数值．

问题2图1是某天24小时内北京、上海市气温的变化图．

图1

(1)北京市气温T(℃)是时间t(时)的函数吗？为什么？上海市气温T(℃)是时间t(时)的函数吗？为什么？

(2)观察图1，你能获取哪些信息？小组讨论，希望你能有条理地分类表达．

(3)思考：这种函数表示法有哪些优点？

【说明】问题(1)呈现用图象表示的函数关系，复习函数的概念．问题(2)初次尝试观察函数图象获取信息，积累活动经验．将两条图象呈现在一个坐标系中，为后续学习函数与方程、函数与不等式的关系做铺垫．若学生缺乏从图象获取信息的经验，找不出相关信息，则教师通过问题提醒学生：图上点的横坐标是具体的时间，纵坐标是对应的气温．小组代表发言时，教师设计好板书位置，分类呈现信息．板书顺序及引导性问题如下：

①变化趋势：上海市(北京市)什么时候气温上升？什么时候气温下降？

②两图交点：北京与上海何时气温相同？

③大小比较：哪段时间上海比北京的气温高？哪段时间上海比北京的气温低？

④最(大、小)值：什么时候上海(北京)气温最低？什么时候上海(北京)气温最高？

⑤点的坐标：0点北京的气温是多少℃？7点北京的气温是多少℃？

⑥值域：24小时内，北京的气温变化范围多大？温差是多少℃？

当学生回答气温上升或下降时，须说明判别的方法．强调沿着x轴的正方向(自变量增大)判断曲线的高低变化，为后续判断函数的增减性打下基础．

问题(3)初步感受图象法表示函数的优点，引出函数的图象的概念．若学生不会回答，则提示其观察问题(2)的板书内容．同时，也要提醒学生从图象上看到的某些时刻的气温是近似值．

教师：这种表示函数的方法称为图象法．问题2图中的曲线是气温与时间函数的图象．图象法具有直观、形象的特点．

3．2 函数的图象

教师：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

由学生随机给出函数的解析式，教师利用几何画板“生成点的动画”功能演示点动成线，得到相应函数的图象．

教师：用图象表示函数的方法称之为图象法．表示函数的方法还有哪些？

【说明】介绍函数图象的概念．通过问题2从气温与时间关系的函数图象上获取信息，学生对函数图象已有初步的认识．通过几何画板“生成点的动画”功能演示函数图象的形成过程，有助于加深学生对函数图象概念的理解．

评价1识别函数的图象.

问题3下列各曲线，哪些表示y是x的函数？试说明理由．

【说明】通过正、反例子，强调“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应”，强化对函数概念的理解，说明函数的图象是以图形直观地表示变量之间的对应关系．

评价2会判断点是否在某函数的图象上.

问题4下列各点不在函数y=x+2的图象上的是( )

A．(1，3) B．(-2，0)

C．(0，2) D．(-5，3)

问题5如图2，点P在函数y=x2-2x-1的图象上．

图2

若点P的横坐标为2，则点P的纵坐标为_____．

【说明】对学生的答案进行追问，要求说明理由．预计大部分学生能做对这两道题目，但不清楚做题依据．教师从函数图象概念的角度予以解释，说明：图象上所有点都满足函数解析式；满足函数解析式的所有点都在图象上．帮助学生理解函数概念，为后续学习做铺垫．

评价3结合具体实例，说出图象反映的函数变化趋势和数值对应关系等信息.

问题6骆驼被称为“沙漠之舟”．图3是自动测温仪记录骆驼的体温T(℃)随时间t(时)变化的图象．图中25时、49时表示凌晨1时．从图象中，你能得到了哪些信息？每人至少写三条．

【说明】这是一道改编的习题．一方面，检测学生能否将在问题2中从图象获取信息的学习经验应用于新的问题情境；另一方面，提醒学生要观察图象的形状特征：函数图象的周期性、对称性，为高中学习做铺垫．大部分学生由于此种学习经历太少，没有迁移学习经验解决新问题的意识．教师将学生的回答，按照从整体形状特征、局部变化趋势，最(大、小)值、函数的取值范围、点的坐标等顺序板书．并与问题2板书对照，强化“有条理地思考”的要求．若学生不易发现该函数图象具有周期性、局部对称性等特点，则教师可从具体点的坐标(最值)、变化趋势特点等多方面说明其周期性．

3．3 总结活动经验

问题7从图象获取信息的“套路”是什么？

【说明】总结从图象获取信息的的“思维框架”，为学习函数性质积累活动经验，为完成评价4观察表格获取信息，形成两种函数表示法的对比，做必要的学习经验准备．若学生不会总结，则可对照问题6的板书，说明按照整体特征—变化趋势—点的坐标的“思维框架”有条理地获取信息．

3．4 比较函数表示法的优点

评价4结合具体实例，说出表格反映的函数变化趋势和数值对应关系等信息.

问题8在某变化过程中，测得y与x的函数关系如下表所示．你能从表格中看出哪些信息？你认为用表格表示函数有哪些优点？

x…-1.5-101235.5…y…-4-3-113510…

【说明】通过迁移从图象获取信息的活动经验，从表格中获取信息，借此形成两种函数表示法的比较，为实现评价5做准备．第一问具有发散性，引导学生参照从图象获取信息的思维框架获取信息，形成对比．总结：部分自变量与函数值之间的对应关系——准确；部分变化趋势——直观．

评价5说出三种函数表示法的优点.

问题9从前面的实例看，你认为三种函数表示法的优点各是什么？

【说明】完成评价目标5．根据学生回答情况，对照板书进一步强化学习经验．若学生不会回答，则针对本课时的具体问题情境，回顾三种表示法获取的信息，进行分析对比．本问要求不高，学生能初步感受即可．

通过比较三种函数表示法的优点，强调数形结合思想的必要性．呈现华罗庚先生的诗“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休”，说明数形结合思想方法的重要性．

3．5 课堂小结

学生总结、交流学习收获．

【说明】学生互相补充完善．若学生习惯盘点知识层面的收获，而忽视数学活动经验总结，教师可通过问题予以提示，以达到再次提升活动经验的效果．

作业略．板书设计略．

4 关于起始课的几点思考

4．1 基础知识的教学要有学科观念的高度

“学会学习”是每一节课的教学目标．落实学科核心素养是长期隐性目标．数学教学须以此立意，整体设计，一以贯之．学会观察函数图象获取信息的“思维框架”，就可以借助函数图象自主探究函数性质，解决问题．这种思维方法的教学须在起始课时系统渗透，逐步深化．问题1体验从表格中获取信息，问题2初次形成从函数图象中获取信息的“思维框架”，问题6、7逐步完善这个“思维框架”，形成心理“图式”．此后学习一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、正弦函数、余弦函数……性质时，不断地运用、完善这个“思维框架”，学生学习就会越来越自觉，越来越自信．

4．2 隐性目标的落实要有教学细节的掌控

如何将长期隐性的学习目标落实？首先，将隐性目标分解成本课时学生的行为表现，使之显性化．目标③④，可检测、可评价．体现了目标、评价、教学一致性的要求．然后，依此设计问题串、活动任务链逐一落实．通过问题2、3、5、6多次引导学生观察图象获取信息，问题7总结观察图象获取信息的方法；通过问题3、4、5及课堂上教师的追问巩固函数图象概念；通过三种函数表示法的比较，学生初步体会“数”与“形”各自的优势，初步感悟数形结合的数学思想．

4．3 学习经验的获得要有体验反思的环节

以问代讲，适时总结，迁移运用，做中感悟．获取信息的“思维框架”不是教师直接讲授的，而是学生通过实践活动感悟、总结出来的．通过环环相扣的问题串多次引导学生自主探究，多次引导学生反思、总结活动经验，多次迁移经验解决新的问题，在活动过程中丰富、完善活动经验．部分问题思维空间大，具有发散性，能引导学生深度思考．这些问题的设计有助于学生养成有条理地思考、有步骤地做事的习惯，提升元认知水平．

数学教学，既要高立意，在知识中植入生长的“基因”，教会学生“数学地思考”，又须低起点，将长期、隐性目标显性化，显性化目标可测、可评，还要适时总结、提升活动经验．滴水穿石，久久为功，后续学习就会逐步显现成效．