评价体系新实践 高考命题新突破——新高考Ⅰ卷数学试题评析

安学保

(济南市教育教学研究院 250002)

1 背景分析

2020年1月，教育部考试中心发布《中国高考评价体系》，意味着发轫于2014年的新高考综合改革正式落地生根，高考评价体系成为了“后考试大纲”时期的命题和考试的实践指南.

《中国高考评价体系》包含“一核”、“四层”、“四翼”.“一核”为核心功能：“立德树人、服务选材、引导教学”，回答了“为什么考”的问题；“四层”为考查内容：“基础知识、关键能力、学科素养、核心价值”，回答“考什么”的问题；“四翼”为考查要求：“基础性、综合性、应用型、创新性”，回答了“怎么考”的问题.而情境是高考考查的载体，承载考查内容，实现考查要求.其中“一核”作为“金线”贯穿始终，能力素养取向为“银线”，常做常新，“四层”、“四翼”则以情境作为考查的载体，是“金线”和“银线”的“串联线”，紧守“金线”和“银线”思维.

2019年11月，教育部考试中心依据新高考评价体系的指标，为山东省命制了适应性考试的试题，传递了重要的信号：新高考试题命制将更加重视试题情境的设计和创新，増加试题的开放性和探究性，加强独立思考能力的考査.创新试题呈现方式，设置多选题、逻辑题、数据分析题、结构不良试题、开放题、填空题的一题两空等新题型，突出数学应用、渗透数学文化内涵、培养核心价值观.

2 试题分析

2.1 整体分析

2020年的新高考I卷数学试题落实立德树人、服务选材和引导教学的根本任务，在2019年全国卷的基础上，从考查内容、题型结构、试题情境以及难度等多个角度继续进行了科学调控和改革创新，推进试题的价值引领和素养导向.更加重视数学本质，突出理性思维、数学应用、数学探索、数学文化等的引领作用.着重突出对关键数学能力的考查，充分体现了高考数学的科学选拔和育人导向的双重作用.

2.2 新理念、新突破

在《中国高考评价体系》的指导之下，新高考I卷呈现出新的命题理念——价值引领、素养导向、能力为重、知识为基，在“四层”“四翼”的考查内容和考查要求上都进行了有效的尝试和突破.

2.2.1 新内容

过渡时期的数学科考试依据《新高考过渡期数学科考试范围说明》，重点关注实验版高中数学课程标准和2017年版数学课程标准中的公共内容，并将这些内容确定为过渡时期的数学科考试的重点内容.全面考查基础知识，注重对主干知识，特别是对与大学教学相衔接内容的考查，助推了教、学、考的有机衔接.同时关注文理同卷的特点，关注高校对人才的选拔要求和数学在人才培养中的作用.

2.2.2 新结构

与山东省新高考模拟试卷提供给我们的信息一致，本次试卷创新了题型设计，优化了试题结构，采用8个单选题40分，4个多选题20分，4个填空题20分，再加6个解答题70分的结构，总题量22个题，取消了选考题，设置了开放式的解答题.

多选题的引入，为数学基础和能力在不同层次的学生提供了发挥空间，可以更好地体现区分选拔功能；结构不良试题具有很好的开放性，对数学理解能力、数学探究能力的考查能够起到积极的作用，引导学生更加注重思维的灵活性及策略选择.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

本题设计了条件开放，同时结论也开放，增强试题的探究性，考查学生熟练运用正弦定理和余弦定理求解三角形的基本方法，考查学生运算能力.试题难度不高，注重对学生探索精神和自主学习品质的考查，优化学生发现问题、提出问题的能力.

2.2.3 新调控

由于是山东新高考、文理合卷的第一年，过渡时期的试题命制整体显现了“低起点、多层次、高落差”等特点.“低起点”体现为试卷在选择题、填空题、解答题部分分别进行了系统设计，起始题起点低、入口宽，面向全体学生.“多层次”体现为试题的难度设计上重视难度和思维的层次性，给学生提供多种分析问题和解决问题的途径.“高落差”体现为重视数学科高考的综合性、创新性，在试题的难度设计上不仅有层次性，而且在思维的灵活性、深刻性，方法的综合性、探究性和创造性等方面，科学把握试题的区分度，发挥数学科高考的选拔性功能.

这是《中国高考评价体系》指导新高考数学试题命制进行的初步尝试，试题较好地把握了稳定与创新、稳定与改革的关系，发挥了高考数学的选拔功能和良好的导向作用.

例2(解答题21题)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna．

(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成三角形的面积；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．

本题第(1)问给定参数a的值，考查学生对函数的求导法则和导数四则运算法则及导数的几何意义等基本知识和方法的掌握程度，数“低起点”、“低层次”的命题设计.第(2)问要求考生利用恒成立的条件求出参数a的取值范围，可以考虑直接对a进行分类讨论，必要条件探路，构造同构式，利用指数、对数切线不等式进行放缩，或者利用隐值代换等多个角度进行分析、论证.方法灵活，综合性强，对学生运用函数和导数知识寻求正确的运算途径并进行合理论证的的能力提出了较高的要求.综合考查逻辑推理、运算求解等关键能力，是“多层次”、“高落差”的命题设计，彰显试题区分和选拔的功能.

2.2.4 新情境

新高考I卷将“四层”的考查内容、“四翼”的考查要求与国家经济社会发展、科学技术进步、生产生活实际紧密相连，创新试题情境.全卷22道试题中，除了数学课程学习情境、数学探索创新情境外，共出现了7道生活实践情境的题目，突出“应用性”和“创新性”的考查要求和命题导向.

(1)结合“战疫”真实情境，考查数学建模能力

例3(单选题第6题)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT．有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)

A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天

本题以新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数的数学模型的研究成果为试题情境，考查指数运算、对数运算法则，以及从资料中提取信息的能力、运算求解能力、数学建模能力.

解答题的第19题，也通过数学模型的形式，在考查学生独立性检验的相关知识和方法的同时，考查学生能在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，能对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题.

(2)突出学科综合情境，考查数学探究能力

例4(多选题第12题)信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量X所有可能的取值为1,2,…,n，且

A．若n=1，则H(X)=0

B．若n=2，则H(X)随着p1的增大而增大

D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2,…,m，且P(Y=j)=pi+p2m+1-j(j=1,2,…,m)，则H(X)≤H(Y).

本题的情境为信息论中的重要概念信息熵，注重了数学与其他学科的综合与交叉，作为开放式的多选题，对学生思维的考查更加深入，区分更加精细.本题重点考查对数运算性质、函数的性质和概率的相关知识，对学生获取新知识的能力，对新问题的理解和探究能力，逻辑推理能力做了重点考查.

当n=1时，H(X)=1·log21=0，很容易确定选项A正确，可以轻松拿到3分作为“保底”分数，从而提高了作为多选题压轴题的得分率.但是要想拿到满分5分，则需要较强的综合能力和耗费更多的时间，学生可以根据自身的具体情况，选择保分策略或是得分策略，所以非常有利于区分高能力的考生.这也是新高考试题“低起点、多层次、高落差”特征的又一体现.

(3)重视中华传统文化情境，考查阅读理解和空间想象能力

单选题的第4题，在2019年的“断臂维纳斯”的基础上，继续创新情境，设计了中国古代测定时间的仪器——日晷，突出中国古代智慧，传扬中华传统文化，提升民族自豪感.题目阅读量大，放在试卷的这个位置，同时考查学生的心理抗压能力.

例5日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成的角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成的角为( )

A.20° B.40° C.50° D.90°

本题是将古代测定时间的仪器——日晷的设计原理作为试题情境，以空间中的线线关系、线面关系、空间线面角的概念作为知识载体，考查学生的阅读理解能力、理性思维能力和空间想象能力.

理性思维是指按照对象本身的规律来认识对象，不受制于无关因素的干扰，以概念、判断、推理的方式进行逻辑的思考，从而得出概念清晰、逻辑严密的结论.本题只要能理解题意中表述的各种线与面之间的关系，并能根据条件做出正确图形，能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，能对图形进行分解、组合，会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质，就可以口算出答案.本题重思维能力的考查，轻计算，对学生是一个不小的“考验”.

(4)创设“五育”情境，实现价值引领

试题重视落实“立德树人”的根本任务，继续发挥数学文化情境育人的价值，“五育”并举，重视全面育人.

单选题第5题以中学生积极参加体育锻炼为情境，考查相对简单的集合运算，体现了对学生的体育教育的积极的导向作用.提升学生的健康和运动意识，吸引学生积极参加体育锻炼，享受运动中的乐趣，增强体质，健全人格.

填空题第15题，将平面几何问题融入到“劳动实习”这一社会生产劳动实践情境中，在考查几何知识的同时，培养学生的数学应用意识，发挥高考试题在培养劳动观念中的引领作用，引导学生弘扬劳动精神.

生活实践情境是需要学生将问题情境与学科知识、方法建立联系，应用学科工具解决问题.生活实践情境关注与其他学科和社会实践的关联，是考查学生数学应用素养、理性思维素养和数学文化素养的重要载体.

2.2.5 新导向

《中国高考评价体系》要求高考命题坚持素养导向.数学试题要以数学基础知识为载体，重点考查学生的理性思维素养、数学应用素养、数学探索素养和数学文化素养.理性思维是在理解数学概念、数学思想方法、本质规律以及内部联系的基础上，将其“灵魂”内化的结果.试卷中多个题目的设计直击数学核心概念，突出数学本质.

(1)通过探寻数学本质，考查运算求解能力

(1)求C的方程；

(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．

2020年新高考I卷将传统的解析几何问题设置在了压轴题的位置，突出核心知识和常规方法的考查.本题以椭圆知识为背景，通过椭圆上的定点，构造以该定点为直角顶点的椭圆内接三角形(一般称为富瑞吉定理)设计试题情境，考查椭圆的几何性质、解析几何的几何背景及几何关系的理解和解析.本题考查的关键能力有逻辑思维能力、数学运算能力和创新能力.

理性思维是按照数学对象本身的规律来认识数学对象，即不受制于无关因素的干扰，以概念、判断、推理的方式进行逻辑的思考，从而得出概念清晰、逻辑严密的结论.解析几何是其重要的考查载体，对算理分析、算法优化的要求非常高.通过运算寻找几何关系，探寻数学问题的本质.

(2)借助数学核心概念，考查空间想象能力

例7(解答题20题)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l.

(1)证明：l⊥平面PDC；

(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.

本题设计在四棱锥(《九章算术》称“阳马”)中探求两平面的交线，以及直线与平面的位置关系.考查学生对两平面交线的概念和基本性质、线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理、线面角的定义和求法等知识和方法的掌握和应用.本题对学生的空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力等关键能力做了重点考查，同时对数学语言表达能力的逻辑性和条理性提出了较高的要求.

本题第(1)问的关键是抓住“两平面的交线”的概念，抓住l必定过P点及一定与AD(或BC)平行，即可轻松搞定.与模拟卷第19题考查异面直线公垂线的概念的命题思路类似，试题更注重考查数学概念和数学本质，甄别学生的素养导向.

试卷中的填空题16题，结合底面为菱形的直四棱柱，考查球与平面的交线问题，对“交线”这一概念的理解和应用同样是破解此题的关键.

3 教学建议

新高考数学试题(新高考I卷)在山东省新高考模拟卷的基础上，为我们更清晰地指明了《中国高考评价体系》指导下的高考命题的“新规则”.

高考命题已经实现了改革上的突破，原有的复习套路、试题类型已经不适应改革的要求.在《中国高考评价体系》的指导下，“反刷题、反套路、反押题”将是新高考数学试题一以贯之的主题.新高考的复习备考要培养学生解决“新题”、“长题”、“难题”的能力，要重视独立思考、逻辑推理、数学应用、数学阅读与表达等关键能力的培养，不要盲目追求题量，而要注重引导学生经历数学知识的发生过程，以及问题的发现、提出、分析和解决的全过程，充分挖掘典型问题的内在价值与迁移功能，培养学生思维的灵活性与创新性.

我们解决数学问题，是为了更好的理解数学，而理解数学，也是为了更好的解决数学问题.理解数学意味着让学生知其然，知其所以然，何以知其所以然，何以由然.《中国高考评价体系》指导下的新高考数学教学和复习备考，要关注数学概念的理解，关注数学本质的探求，强化数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性和思维的系统性.关注数学情境，关注学生从“解题”到“解决问题”的能力的培养.