一类含有未知导函数的积分不等式中未知函数的界

蒲可莉

(阿坝师范学院 数学学院，四川 汶川 623002)

0 引言

和

在文献[3]中，Akin-bohner等人在此基础上进一步研究了时标上的线性积分不等式

及

除了对积分号内含有未知函数及其导函数的线性积分不等式的研究外，一些文献也讨论了非线性的情况。如Zareen[4]给出了非线性积分不等式

中未知函数u(t)的上界。

本文在前人的工作基础上，给出了一类被积函数中含有未知函数及其导函数的幂次并且积分号外含有非常数项的积分不等式

的界。

1 主要结果及证明

如果

则

同时有

其中

a(t)=c+(c3h(t)+1)b(t)=g(t)+(4c3h(t)+1)c(t)=ch(t)(6cg2(t)+1)

d(t)=g(t)h(t)(4cg2(t)+1)s(t)=h(t)g4(t)

将上式右端展开整理可得：

+g(t)h(t)(4cg2(t)+1)m3(t)+h(t)g4(t)m4(t)

不妨令

a(t)=c+(c3h(t)+1)b(t)=g(t)+(4c3h(t)+1)c(t)=ch(t)(6cg2(t)+1)

d(t)=g(t)h(t)(4cg2(t)+1)s(t)=h(t)g4(t)

由于c>0，g(t),h(t)为[0,+∞)上的非负连续函数，故a(t),b(t),c(t),d(t),s(t)均为[0,+∞)上的非负连续函数。

并且

(1)

对(1)式左右两端从0到t积分可得：

对任意非负实数T，当t∈[0,T]，有

令

因0

对上式两边同除v(t)

(2)

将(2)式左右两端同时从0到t积分可得

当t∈[0,T]时

又因0

对上式两端同除ev1(t)得

(3)

对(3)式左右两端同时从0到t积分，整理可得

当t∈[0,T]时

再令

又因ev1(t)≤v2-1(t)，故

对上式两端同乘v2(t)得：

(4)

对(4)式左右两端同时积分整理可得：

当t∈[0,T]时

(5)

对(5)式积分后整理可得：

所以

由于T具有任意性，故令T=t，因此

其中

a(t)=c+(c3h(t)+1)b(t)=g(t)+(4c3h(t)+1)c(t)=ch(t)(6cg2(t)+1)

d(t)=g(t)h(t)(4cg2(t)+1)s(t)=h(t)g4(t)

2 结束语

本文对一类特殊的积分不等式

进行了讨论，得到了该积分不等式中未知函数的估计。进一步地，本文的结果也可以用来研究相应类型的微分-积分方程解的性质。